4.4.3 不同函数增长的差异（习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修（第一册）（Word含答案）

不同函数增长的差异
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
2．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －1.01 0.01 0.98 2.00
则x，y最合适的函数是(　　)
A．y＝2x　　　　　　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
3．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x万元(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 5≈0.7)(　　)
A．y＝0.4x　　　　　　 B．y＝lg x＋1
C．y＝x D．y＝1.125x
4．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是(　　)
A．①③　　B．①④　　C．②③　　D．②④
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到表中的实验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________.
6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
三、解答题
7．(10分)有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30 h以内(含30 h)90元，超过30 h的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15 h，也不超过40 h.
(1)设在甲健身中心活动x h的收费为f(x)，在乙健身中心活动x h的收费为g(x)，试求f(x)和g(x)；
(2)选择哪家健身中心比较合算？为什么？
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x　　　 B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
2．(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有(　　)
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．
有以下说法：
①第4个月时，残留量就会低于；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________.
4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则a＋b＝________，此厂3月份该产品的产量为________万件．
三、解答题
5．(10分)若已知函数f(x)＝，g＝log2x，x∈.
(1)计算f，f，g，g；
(2)利用图象比较出和log2x的大小关系．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
分析选D.对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B、C，当01，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立．
2．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －1.01 0.01 0.98 2.00
则x，y最合适的函数是(　　)
A．y＝2x　　　　　　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
分析选D.根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
3．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x万元(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 5≈0.7)(　　)
A．y＝0.4x　　　　　　 B．y＝lg x＋1
C．y＝x D．y＝1.125x
分析选B.由题意，知符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[4，10]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过2；③y≤x.选项A中，y＝0.4x满足①，但当x>5时，y>2，不满足②；选项B中，y＝lg x＋1满足①，当x≥10时，y取得最大值2，作出函数y＝lg x＋1和函数y＝x的图象(图略)，可知该函数满足③，故B项满足公司要求；选项C中，y＝满足①，但当x>4时，y>2，不满足②；选项D中，y＝1.125x满足①，但当x>时，y>2，不满足②.
4．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是(　　)
A．①③　　B．①④　　C．②③　　D．②④
分析选B.结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到表中的实验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________.
分析画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.
答案：④
6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
分析当x变大时，x比ln x增长要快，
所以x2要比x ln x增长的要快．
答案：y＝x2
三、解答题
7．(10分)有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30 h以内(含30 h)90元，超过30 h的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15 h，也不超过40 h.
(1)设在甲健身中心活动x h的收费为f(x)，在乙健身中心活动x h的收费为g(x)，试求f(x)和g(x)；
(2)选择哪家健身中心比较合算？为什么？
分析(1)f(x)＝5x，15≤x≤40，
g(x)＝
(2)当5x＝90时，x＝18，
即当15≤x<18时，f(x)当x＝18时，f(x)＝g(x).
当18g(x).所以当15≤x<18时，选甲健身中心比较合算；当x＝18时，两家健身中心一样合算；当18能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x　　　 B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
分析选C.用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．
2．(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有(　　)
分析选BCD.由题图知，当t＝6时，C(t)＝0，故C不正确；当t＝12时，C(t)＝10，故D不正确；在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃，故B不正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．
有以下说法：
①第4个月时，残留量就会低于；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________.
分析由于函数的图象经过点，
故函数的解析式为y＝.
当t＝4时，y＝<，故①正确；
当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确；
分别令y＝，，，解得t1＝，t2＝，t3＝，t1＋t2＝t3，故③正确．
答案：①③
4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则a＋b＝________，此厂3月份该产品的产量为________万件．
分析因为y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y＝1.5，则有
解得
所以a＋b＝0，
所以y＝－2×0.5x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件).
答案：0　1.75
三、解答题
5．(10分)若已知函数f(x)＝，g＝log2x，x∈.
(1)计算f，f，g，g；
(2)利用图象比较出和log2x的大小关系．
分析(1)f＝2，f＝4，g＝2，
g＝4；
(2)作出f(x)＝和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0，4)内，>log2x；
当x＝4或x＝16时，＝log2x；
在(4，16)内，log2x.