4.5.2用二分法求方程的近似解（习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修（第一册）（Word含答案）

用二分法求方程的近似解
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1，1.25)　　　　　　 B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是(　　)
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是(　　)
A．(2，4) B．(2，3)
C．(3，4) D．无法确定
4．某同学用二分法求方程ln x＋2x－6＝0的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程ln x＋2x－6＝0的近似解，那么该近似解的精确度应该为(　　)
A．0.1 B．0.01
C．0.001 D．0.0001
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060
据此数据，可得方程 3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．
6．用二分法研究方程x3＋3x－1＝0的近似解时，令f(x)＝x3＋3x－1，第一次计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
三、解答题
7．(10分)已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1).
参考数值：
x 1.25 1.281 25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.378 2.430 2.484 2.594 2.828
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．设关于x的方程4x－2x＋1－b＝0(b∈R)，若该方程有两个不相等的实数解，则b的取值范围是(　　)
A．[－1，0]　　　　　 B．[－1，0)
C．(－1，0)　　 D．(0，1)
2．(多选题)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．　　　　 B．[－2，1]
C． D．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
4．(2021·重庆高一检测)关于x的方程2 020x＝有实数根，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
5．(10分)证明方程6－3x＝2x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度为0.1)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1，1.25)　　　　　　 B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
分析选B.因为f(1)<0，f(1.5)>0，所以在区间(1，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点，又因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以在区间(1.25，1.5)内函数f(x)＝3x＋3x－8存在一个零点，由此可得方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(1.25，1.5)内．
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是(　　)
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
分析选A.使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是(　　)
A．(2，4) B．(2，3)
C．(3，4) D．无法确定
分析选B.因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，所以f(3)·f(4)>0，所以x0∈(2，3).
4．某同学用二分法求方程ln x＋2x－6＝0的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程ln x＋2x－6＝0的近似解，那么该近似解的精确度应该为(　　)
A．0.1 B．0.01
C．0.001 D．0.0001
分析选B.根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，区间的长度为1，每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的，则该同学第6次用二分法时，确定区间的长度为＝，不能确定方程的近似解，当他第7次使用二分法时，确定区间的长度为＝，所以0.001<<0.01.近似解精确度应为0.01.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060
据此数据，可得方程 3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．
分析由f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取1.562 5.
答案：1.562 5
6．用二分法研究方程x3＋3x－1＝0的近似解时，令f(x)＝x3＋3x－1，第一次计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
分析二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)<0，f(0.5)>0，知x0∈(0，0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的准确位置．
答案：(0，0.5)　f(0.25)
三、解答题
7．(10分)已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1).
参考数值：
x 1.25 1.281 25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.378 2.430 2.484 2.594 2.828
分析(1)令f(x)＝2x＋2x－5.
因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．
因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值符号
(1，2) 1.5 f(1.5)>0
(1，1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25，1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)>0
(1.25，1.312 5) 1.281 25 f(1.281 25)<0
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，
且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以函数的零点近似值为1.312 5，
即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．设关于x的方程4x－2x＋1－b＝0(b∈R)，若该方程有两个不相等的实数解，则b的取值范围是(　　)
A．[－1，0]　　　　　 B．[－1，0)
C．(－1，0)　　 D．(0，1)
分析选C.令t＝2x(t>0)，则原方程可化为：t2－2t－b＝0(t>0)，关于x的方程4x－2x＋1－b＝0(b∈R)，若有两个不相等的实数解，即方程t2－2t－b＝0有两个不相等的正根．因为t1＋t2＝2>0，所以
解得－12．(多选题)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．　　　　 B．[－2，1]
C． D．
分析选ACD.因为第一次所取的区间是[－2，4]，
所以第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，
所以第三次所取的区间可能为，，，.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
分析第1次取中点把焊接点数减半为＝32，第2次取中点把焊接点数减半为＝16，第3次取中点把焊接点数减半为＝8，第4次取中点把焊接点数减半为＝4，第5次取中点把焊接点数减半为＝2，第6次取中点把焊接点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6.
答案：6
4．(2021·重庆高一检测)关于x的方程2 020x＝有实数根，则实数a的取值范围为________．
分析设y＝2 020x，则y的值域为(0，＋∞)，
所以2 020x＝有实数根?>0，
即<0，所以(3a＋2)(a－5)<0.
解得a∈.
答案：
三、解答题
5．(10分)证明方程6－3x＝2x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度为0.1)
分析设函数f(x)＝2x＋3x－6，
因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又因为f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，
设该解为x0，则x0∈[1，2]，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
所以x0∈(1，1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，所以x0∈(1，1.25).取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，f(1.125)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.125，1.25)，
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，
f(1.187 5)·f(1.25)<0，
所以x0∈(1.187 5，1.25)，
因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
所以1.187 5可作为这个方程的实数解．