4.5.3函数模型的应用（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案）

函数模型的应用
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似地满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0).如表记录了铅球飞行中的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离为(　　)
x/m 0 3 6
y/m 1.8 3 2.7
A．2.5 m　　B．3 m　　C．3.9 m　　D．5 m
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝·m
B．y＝·m
C．y＝·m
D．y＝(1－)·m
3．某特种冰箱的食物保鲜时间y(单位：h)与设置储存温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝3kx＋b(k，b为常数)，若设置储存温度0 ℃的保鲜时间是288 h，设置储存温度5 ℃的保鲜时间是144 h，则设置储存温度15 ℃的保鲜时间近似是
(　　)
A．36 h B．48 h
C．60 h D．72 h
4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017)(　　)
A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8%
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某服装公司生产的衬衫每件销售价80元，在某城市年销售8万件．现服装公司将每件衬衫的销售价降低到元，但降价后每年的销售量会增加0.62r万件，则降价后，公司在该城市的销售额(销售额＝销售价×销售量)等于________(单位：万元).
6．光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k·0.9x，那么至少通过________块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下(lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0).
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明， 声音强度D (dB)由公式D＝a lg I＋b (a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为30 dB；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40 dB.当声音能量大于60 dB时属于噪音，一般人在100～120 dB的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
8．已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足P(x)＝(其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求b，k的值；
(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知样本中碳14的质量N随时间t(年)的衰变规律满足：N＝N0· (N0表示碳14原来的质量)，经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(　　)
(参考数据：log2 3≈1.6，log2 5≈2.3)
A．3440年 B．4010年
C．4580年 D．5160年
2．(多选题)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与存储温度x(单位：℃)满足函数关系t＝且该食品在4℃的保鲜时间是16 h．
已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，则以下四个结论正确的是(　　)
A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8 h
B．当x∈时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少
C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内
D．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是________.
(参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)
4．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
6．某纪念章从2018年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的数据如下：
上市时间x/天 4 10 36
市场价y/元 90 51 90
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似地满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0).如表记录了铅球飞行中的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离为(　　)
x/m 0 3 6
y/m 1.8 3 2.7
A．2.5 m　　B．3 m　　C．3.9 m　　D．5 m
分析选C.把(0，1.8)，(3，3)，(6，2.7)分别代入y＝ax2＋bx＋c，可得
解得a＝－，b＝，c＝，
则y＝－x2＋x＋，
所以当x＝－＝3.9时，y取得最大值，故可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离为3.9 m．
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝·m
B．y＝·m
C．y＝·m
D．y＝(1－)·m
分析选A.设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝，所以从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝·m.
3．某特种冰箱的食物保鲜时间y(单位：h)与设置储存温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝3kx＋b(k，b为常数)，若设置储存温度0 ℃的保鲜时间是288 h，设置储存温度5 ℃的保鲜时间是144 h，则设置储存温度15 ℃的保鲜时间近似是
(　　)
A．36 h B．48 h
C．60 h D．72 h
分析选A.由题意可知
所以35k＋b＝35k×3b＝144，所以35k＝＝，
所以当x＝15时，y＝315k＋b＝315k×3b
＝(35k)3×3b＝×288＝×288＝36，故设置储存温度15 ℃的保鲜时间近似是36 h．
4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017)(　　)
A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8%
分析选C.设每年世界人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg (1＋x)＝lg 2，所以lg (1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，
得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某服装公司生产的衬衫每件销售价80元，在某城市年销售8万件．现服装公司将每件衬衫的销售价降低到元，但降价后每年的销售量会增加0.62r万件，则降价后，公司在该城市的销售额(销售额＝销售价×销售量)等于________(单位：万元).
分析降价后每件衬衫的销售价为元，
降价前的销售量为8万件，降价后每年的销售量为(8＋0.62r)万件，
由销售额＝销售价×销售量可得，降价后，公司在该城市的年销售额等于(8＋0.62r)万元．
答案：(8＋0.62r)
6．光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则经过x块这样的玻璃后光线强度为：y＝k·0.9x，那么至少通过________块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下(lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0).
分析由题意0.9xk<，即0.9x<，
两边同取对数，可得x lg 0.9因为lg 0.9所以x>＝≈≈13.1，
又x∈N*，所以至少通过14块玻璃，光线强度能减弱到原来的以下．
答案：14
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明， 声音强度D (dB)由公式D＝a lg I＋b (a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为30 dB；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40 dB.当声音能量大于60 dB时属于噪音，一般人在100～120 dB的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
分析(1)因为D1＋2D2＝3D3，所以a lg I1＋b＋2(a lg I2＋b)＝3(a lg I3＋b)，
所以lg I1＋2lg I2＝3lg I3，所以I1·I＝I.
(2)由题意得所以
所以100<10lg I＋160<120，
所以10－6当声音能量I∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．
8．已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足P(x)＝(其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求b，k的值；
(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．
分析(1)由题中图象知
即
解得
(2)当P＝Q时，有＝，
即(1－6t)(x－5)2＝11－?2(1－6t)
＝＝＝－.
令m＝，则2(1－6t)＝17m2－m.
因为x≥9，所以m∈.
当m＝时，2(1－6t)取最大值，故t≥，
即税率的最小值为.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知样本中碳14的质量N随时间t(年)的衰变规律满足：N＝N0· (N0表示碳14原来的质量)，经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(　　)
(参考数据：log2 3≈1.6，log2 5≈2.3)
A．3440年 B．4010年
C．4580年 D．5160年
分析选B.由题意，可得0.6N0＝N0·，
即＝0.6＝，两边取以2为底数的对数，
可得＝log23－log25≈1.6－2.3＝－0.7，
所以t≈0.7×5730＝4011年．
2．(多选题)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与存储温度x(单位：℃)满足函数关系t＝且该食品在4℃的保鲜时间是16 h．
已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，则以下四个结论正确的是(　　)
A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8 h
B．当x∈时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少
C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内
D．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间
分析选AD.因为食品的保鲜时间t与储藏温度x满足函数关系式t＝，且该食品在4 ℃时保鲜时间是16 h.
所以24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－.
所以t＝.
A．当x＝6时，t＝8，所以该食品在6 ℃的保鲜时间是8 h，故A正确；
B．当x∈[－6，0)时，时间t不变，故B错误；
C．由图象可知，当到此日12时，温度超过12度，此时的保鲜时间不超过1 h，所以到了此日13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故C错误；D由C知，D正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是________.
(参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)
分析设经过n年后，投入资金为y万元，
则y＝2 000(1＋20%)n，
由题意令2 000(1＋20%)n＝10 000，
即1.2n＝5，
则n·lg 1.2＝lg 5，
所以n＝≈＝8.75，
所以n＝9，即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元．
答案：2029年
4．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________．
分析经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x(x∈N*)，
由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，
所以(1＋a)3＝，
所以1＋a＝，
故a＝＝25%.
答案：y＝6.4(1＋a)x(x∈N*)　25%
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
分析先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×，
即＝，
解之，得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×，
当T＝32时代入上式，
得32－24＝(88－24)×，
即＝＝＝，
所以t＝30.
因此，需要30 min，可降温到32 ℃.
6．某纪念章从2018年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的数据如下：
上市时间x/天 4 10 36
市场价y/元 90 51 90
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
分析(1)选取②y＝ax2＋bx＋c.理由如下：
因为随着时间x的增加，y的值先减后增，
而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，所以选取y＝ax2＋bx＋c.
(2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入y＝ax2＋bx＋c中，得
解得a＝，b＝－10，c＝126.
所以y＝x2－10x＋126
＝(x－20)2＋26，
所以当x＝20时，y有最小值ymin＝26.
故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元．