《第1章勾股定理》同步能力达标测评2021-2022学年 北师大版八年级数学上册 （Word版 含答案）

2021-2022年度北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　）
A．18 B．15 C．12 D．8
3．如图，∠C＝90o，AB＝12，BC＝3，CD＝4，若∠ABD＝90°，则AD的长为（　　）
A．8 B．10 C．13 D．15
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（　　）
A．25 B．175 C．600 D．625
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．a：b：c＝3：4：6
C．a2＝c2﹣b2 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高是（　　）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．5
7．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则∠ABC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．60°
8．如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（　　）
A．8m B．10m C．12m D．15m
9．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是（　　）
A．8m B．5m C．9m D．7m
10．如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管AB的长为（　　）
A．40m B．45m C．30m D．35m
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 　 　m．
12．面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为 　 　．
13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 　 　．
14．在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，则△ABC的周长为 　 　．
15．如图，线段CE的长为4，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为S1，正方形DEFG的面积为S2，则S2﹣S1的值为 　 　．
16．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则芦苇长 　 　尺．
17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接BE．则BE的长为 　 　．
18．将一根笔直的铁丝放进一个内部长、宽、高分别是12cm、4cm、3cm的木箱中，则这根铁丝的长度最大可以是 　 　cm．
19．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 　 　．
20．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．某中学校园有一块四边形草坪ABCD（加图所示），测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求这块四边形草坪的面积．
22．如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米．
（1）求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点A'，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗？请说明你的理由．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，求AE的长．
24．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．
25．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
26．综合与实践．
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
（1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形说明a2+b2＝c2．
（2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．请你利用这个图形说明c2+a2＝b2．（提示：连接EC，CD）
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：设直角三角形两直角边长为a，b，
∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10，
∴24﹣（a+b）＝10，
即a+b＝14，
由勾股定理得：a2+b2＝102＝100，
∵（a+b）2＝142，
∴a2+b2+2ab＝196，
即100+2ab＝196，
∴ab＝48，
∴直角三角形的面积＝ab＝24，
故选：B．
2．解：将台阶展开，如图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2+BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：B．
3．解：在Rt△BCD中，∠C＝90o，
由勾股定理得：BD＝5，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，
由勾股定理得：AD＝13，
故选：C．
4．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴225+400＝S
∴S＝625．
故选：D．
5．解：A、∠A+∠B＝∠C，∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∵设a＝3x，b＝4x，c＝6x，（3x）2+（4x）2≠（6x）2，不是直角三角形，符合题意；
C、a2＝c2﹣b2，a2+b2＝c2，是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
6．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝5
又∵．
∴．
∴CD＝2.4．
故选：B．
7．解：如图，连AC，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
故选：B．
8．解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
即旗杆的高度为12米．
故选：C．
9．解：∵AC＝4米，BC＝3米，∠ACB＝90°，
∴折断的部分长为AB＝5，
∴折断前高度为BC+AB＝5+3＝8（米）．
故选：A．
10．解：∵OA是东北方向，OB是东南方向，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝24m，OB＝18m，
∴AB＝30（m）．
故选：C．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故答案为：17．
12．解：如图所示：
△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，
则 BC?AD＝48，BD＝CD，
即BC×6＝48，
∴BC＝16，
∴BD＝BC＝8，
∴AB＝10，
故答案为：10．
13．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，
∴∠BEA＝90°，
∵BC＝7，
∴BE+CE＝7，
∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，
又∵AC＝5，
在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，
解得：CE＝3，
又∵点F是AC的中点，
∴，
∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．
故答案为：8．
14．解：∵AD是中线，AB＝13，BC＝10，
∴BD＝BC＝5．
∵52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AB＝13，
∴△ABC的周长＝13+13+10＝36，
故答案为：36．
15．解：在Rt△CDE中，由勾股定理得：
DE2﹣CD2＝CE2，
∵CE＝4，
∴DE2﹣CD2＝16，
∵S2＝DE2，S1＝CD2，
∴S2﹣S1＝DE2﹣CD2＝16，
故答案为：16．
16．解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，
在Rt△CAB′中，
AC2+B′C2＝AB′2，
即x2+52＝（x+1）2．
解得：x＝12．
∴x+1＝13．
故芦苇长13尺．
故答案为：13．
17．解：设CE＝x，
∵DE是线段AB的垂直平分线且AC＝3，
∴BE＝AE＝AC+CE＝3+x，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△ACE中，
∵BE?＝BC?+CE?，
∴（3+x）?＝4?+x?，
解得：x＝，
∴BE＝3+＝，
故答案为：．
18．解：如图，连接AB、AC，
由勾股定理得，AC＝5（cm)，
∴AB＝13(cm)，
故答案为：13．
19．解：设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，
依题意得：AB2+BC2＝AC2,
即（x﹣6.8）2+x2＝102．
故答案为：（x﹣6.8）2+x2＝102．
20．解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD＝9，
在Rt△ACD中，
CD＝5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD＝9，
在Rt△ACD中，CD＝5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周长为：15+13+4＝32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
综上所述，△ABC的周长是42或32．
故填：42或32．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解：连接AC，如图：
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，
∴AC＝25（m）．
又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝?AB?BC+?AD?DC
＝×24×7+×20×15
＝234（m2）．
答：这块四边形草坪的面积是234m2．
22．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，
即AB2+72＝252，
所以AB＝24（m），
即这个梯子的顶端距地面的高度AB的长度是24m；
（2）梯子的底端在水平方向滑动了8m．
理由：∵云梯的顶端A下滑了4m至点A′，
∴BA′＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（m），
在Rt△BA′C′中，由勾股定理得BA′2+BC′2＝A′C′2，
即202+BC′2＝252．
所以BC′＝15（m）
CC′＝BC′﹣BC＝15﹣7＝8（m），
即梯子的底端在水平方向滑动了8m．
23．解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB＝20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴AE＝BE＝AB＝10．
24．（1）证明：连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；
（2）解：∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝8，
在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，
∵CE＝BE，
∴62+AE2＝（8﹣AE）2，
解得：AE＝，
∴AE的长为．
25．解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得：BC＝15，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
答：AB的长为25，BC的长为15．
26．解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，
即c2＝a2+b2；
（2）连接EC，CD，
∵Rt△ABC≌Rt△DAE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠AED，
∴∠AFE＝90°，
∴AC⊥DE，
∵四边形ABCD的面积＝（BC+AD）×AB＝，
四边形AECD的面积＝S△AEC+S△ACD＝AC×DE＝b2，
∴△BEC的面积＝四边形ABCD的面积﹣四边形AECD的面积＝﹣b2＝ac﹣a2，
∴c2+a2＝b2．