第2章一元二次方程同步 达标测评（Word版 附答案） 2021-2021学年北师大版九年级数学上册

2021-2021学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》
同步能力达标测评（附答案）
一、单选题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．若一元二次方程的常数项是0，则a为（ ）
A．2 B．±2 C．－2 D．－10
2．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程x2﹣6x﹣3＝0，此方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6
C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5．关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（　　）
A．13或11 B．12或﹣11 C．13 D．12
6．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．某市2020年投入教育经费万元，计划2022年投入教育经费比2020年增加万元，若2020年至2022年该市投入教育经费的年平均增长奉为则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_________．
12．已知m，n是方程的两实数根，则_______．
13．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为____________．
14．已知，是一元二次方程的两实根，且，则的值是________．
15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则：
（1）字母k的取值范围为____________；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，那么k的值为____________．
16．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为______．
17．如图，在△ABC中，AC＝50cm，BC＝40cm，∠C＝90°，点P从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q从点C出发沿CB边向点B以3cm/s的速度匀速移动，当△PCQ的面积等于300cm2时，运动时间为__．
18．若方程的两根为，，则_____．
19．在美丽乡村建设中，某村2017年新增绿化面积为20000平方米，计划到2019年新增绿化面积要达到28800平方米．如果每年新增绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．
20．已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则+3β的值为________．
三、解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．用指定方法解下列方程：
（1）（配方法）；
（2）（因式分解法）；
（3）（公式法）．
22．阅读下列材料，解答问题．
．
解：设，则，
原方程可化为，
，即．
或，解得．
请利用上述方法解方程：．
23．已知关于的一元二次方程．
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
25．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000．
（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台．若商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应为多少元？
26．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AC，交边AD，AB于点F，H，连接CF，CH．
（1）求证：CF＝CH；
（2）若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 C A A B D B D A D





1．C解：由题意得 ，解得：a=﹣2．故选C．
2．A
解：A、，方程没有实数根，故本选项正确；
B、，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C、，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；
D、，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故选：A．
3．D
解:由原方程移项得：x2﹣6x＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x2﹣6x+9＝12，
配方得；（x﹣3）2＝12．
故选：D．
4．D
解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，解得且k≠0．故选：D．
5．C
解：∵关于x的一元二次方程x2-kx+2k-1=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=k，x1x2=2k-1，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7，即k2-4k-5=0，
解得：k1=-1，k2=5．
当k=-1时，原方程为x2+x-3=0，
∴△=12-4×1×（-3）=13＞0，
∴k=-1符合题意，此时x1+x2=-1，x1x2=-3，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=13；
当k=5时，原方程为x2-5x+9=0，
∴△=（-5）2-4×1×9=-11＜0，
∴k=5不符合题意，舍去．
综上可知：（x1-x2）2的值是13．故选C．
6．B
解：∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴a2-2a=2020，
由根与系数的关系可知：a+b=2，
∴原式=a2-2a+2a+2b-3，=2020+2（a+b）-3=2020+2×2-3=2021，
故选B．
7．B
解：设的两根分别为

关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，
＜
＜
＜
＜
符合题意，所以不符合题意，符合题意，
故选：
8．D
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程：1+x+x（1+x）＝121．
解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），
即每轮传染中平均一个人传染了10人，
故选：D．
9．A
解：2020年至2022年该市投入教育经费的年平均增长率为，
2020年投入教育经费万元，
2021年投入教育经费为，2022年投入教育经费为，
由题意得，，
故选A．
10．B
解：∵四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，，
∴，四边形AEMH是矩形，
∴AH=EM，HM=AE，
∵，
∴，
由可设，
∴，
∴，
∵BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
故选B．
11．-2
解：方法一，把-1代入方程，得，
，
解得，m=2，
代入原方程得，，
解得，，故答案为：-2；
方法二，设另一个根是a，
根据根与系数关系，a×（-1）=2，a=-2，
故答案为：-2
12．-2
解：∵m，n是方程x2?2x?1＝0的两实数根，
∴m＋n＝2，mn＝?1，
∴＝＝?2．故答案为：-2．
13．8
解：由题可知：
．
不成立，
由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，
三角形周长为2+3+3=8．
故答案为：8．
14．
解：∵，是一元二次方程的两实根，
∴
∴
∵，，
又∵，
∴，
解得：；
∵
∴
故答案为：．
15． 2
解：（1）根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0，
解得：k＜，
故答案为：k＜；
（2）由k为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=-1±，
∵方程的解为整数，
∴5-2k为完全平方数，
则k的值为2，
故答案为：2．
16．
解：，
,
解得，
，
故答案为：．
17．5s
解：设x秒后，△PCQ的面积等于300m2，有：
（50﹣2x）×3x＝300，
∴x2﹣25x＋100＝0，
∴x1＝20，x2＝5．
当x＝20时，CQ＝3x＝3×20＝60＞BC＝40，
即x＝20s不合题意，舍去．
答：5秒后，△PCQ的面积等于300cm2．
故答案是：5s．
18．7
解：∵x1、x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2=-5，x1x2=-6，
∴；
故答案为：7
19．20%
解：设这个增长率为x，由题意得
20000(1+x)2=28800，
(1+x)2=1.44，
1+x=±1.2，
所以x1=0.2，x2=-2.2（舍去），
故x=0.2=20%．
故答案是：20%．
20．10
解：∵α2+3α﹣1＝0，
∴（）-3（）-1=0，
∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，
∴、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴+β＝3， ＝﹣1，，
∴原式＝1++3β＝1+3（+β）＝1+3×3＝10，
故答案为10．
21．（1）；（2）；（3）．
解：（1）等式两边加6，得
由完全平方公式得，
或
所以原方程的解为；
（2）移项得，
提取公因式，得
解得
所以原方程的解为；
（3）
由求根公式得
即
所以原方程的解为．
22．x1=，x2=
解：（4x-5）2+（3x-2）2＝（x-3）2，
设m＝4x-5，n＝3x-2，则m-n＝（4x-5）-（3x-2）＝x-3，
原方程化为：m2+n2＝（m-n）2，
整理得：mn＝0，
即（4x-5）（3x-2）＝0，
∴4x-5＝0，3x-2＝0，
∴x1=，x2=．
23．解：（1）依题意得：
，
∴方程有两个实数根．
（2）依题意得：
∴，即，．
∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，
∴，
∴．
24．解：（1）∵△=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3)
=k2+2k+1﹣8k+12
=(k-3)2+4，
∵无论k为何实数，(k-3)2≥0，
∴(k-3)2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根，
由（1）可得，AC≠BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AC=AB=3或BC=AB=3，
∴方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根为x=3，
∴32﹣3(k+1)+2k﹣3=0，
解得k=3．
25．（1）10%；（2）每台售价为2750元
解：（1）设每次降价的百分率为x，
由题意可得：，
∴
∴
解得：（舍），
答：每次降价的百分率是10%；
（2）假设下调a个50元，依题意得：5000=（2900-2500-50a）（8+4a）．
解得a=3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
26．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FAE＝∠HAE＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠AEH＝90°，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（ASA），
∴EF＝EH，
∴AC垂直平分FH，
∴CF＝CH；
（2）解：设AE＝x，则AF＝x，DF＝1-x，FH＝2AE＝2x，
∵△AFH与△CDF的面积相等，
∴?2x?x＝×1?（1?x），
整理得2x2＋x ?1＝0，解得，（舍去），
∴AE＝．