2021--2022学年北师大版九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定习题精练（Word版 含答案）

初中数学北师大版九年级第一章1菱形的性质与判定习题精练
一、选择题
若菱形的周长为48cm，则其边长是(? ? )
A. 24cm B. 12cm C. 8cm D. 4cm
如图所示，方格纸中有一个四边形ABCD(A,B，C，D均为格点).若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则四边形ABCD是(??? )
A. 矩形 B. 菱形 C. 梯形 D. 以上都不是
如图，在菱形ABCD中，∠D=135?，BE⊥CD于点E，交AC于点F，FG⊥BC于点G.若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为(? ? )
A. 42 B. 82 C. 16 D. 162
如图，菱形ABCD的对角线BD=12，AC=10，则该菱形的面积为(? ? )
A. 60
B. 80
C. 100
D. 120
下列条件中，能判定四边形是菱形的是(? ? )
A. 对角线互相垂直且相等的四边形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 对角线相等的平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形
如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是(? ? )
A. AE=AF B. EF⊥AC
C. ∠B=60? D. AC是∠EAF的平分线
如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为(? ? )
A. 仅甲正确 B. 仅乙正确 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误
下列说法中不正确的是(????)
A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等
如图，在平行四边形ABCD上，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于12BF的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接EF若BF=12，AB=10，则AE的长为
A. 18 B. 17 C. 16 D. 14
如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是(????)
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 无法判断
二、填空题
________的平行四边形叫菱形．
如图，在菱形ABCD中，AC=2，∠ABC=60°，则BD=________．
如图，将两条宽度都为6的纸片重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．
如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD______菱形(填“是”或“不是”)．
如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120?，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为??????????cm．
如图，在△ABC中，已知∠ACB=90?，∠A=30?，BC=6，D为斜边AB上的一点，以CD，CB为边作?CDEB，当AD=??????????时，?CDEB为菱形．
如图，如果四边形ABCD中，AD=BC=6，点E、F、G分别是AB、BD、AC的中点，那么△EGF面积的最大值为______．
三、解答题
如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点O是直线BD上的动点.OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F．
(1)对角线AC的长是??????????，菱形ABCD的面积是??????????．
(2)如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化?请说明理由．
(3)如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化?若不变，请说明理由;若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．
如图，在△ABC中，BA=BC，点D是△ABC的外心，∠ABC=∠DBE，BD=BE，试判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．
如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】略
2.【答案】B
【解析】解：根据题意得出AB=13，
同理可证得BC=CD=AD=13，
∴四边形ABCD是菱形．
故选B．??
3.【答案】B
【解析】解：∵在菱形ABCD中，∠D=?135?，
∴∠BCD=45?．
∵BE⊥CD，FG⊥BC，?
∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形.?
∵∠GCF=∠ECF，CF=CF，
∴△CGF≌?△CEF(AAS)．
∴FG=FE，CG=CE．
设BG=FG=EF=x，∴BF=2x
∵△BFG的周长为4，
∴x+x+2x=4．
∴x=4?22.?
∴BE=22．
∴BC=2BE=4．
∴菱形ABCD的面积为4×22=82．
故选B．
4.【答案】A
【解析】略
5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】C
【解析】略
7.【答案】C
【解析】
解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
又∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵AD//BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF//BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选C．??
8.【答案】C
【解析】解：A.四边相等的四边形是菱形；正确；
B.对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C.菱形的对角线互相垂直但不一定相等；不正确；
D.菱形的邻边相等；正确；
故选C．??
9.【答案】C
【解析】
解：依据作图可得，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE//AF，
∴∠BEA=∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
由作图可得，AB=AF，
∴BE=AF，
又∵BE//AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，AE=2AO，BF=2BO，
∵BF=12，AB=10，
∴BO=6，
则AO=AB2?BO2=102?62=8，
∴AE=16．
故选C．??
10.【答案】B
【解析】解：∵DC//AB,AD//BC
∴四边形ABCD为平行四边形，
过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两张长方形纸条的宽度相等，
∴DE=DF．
又∵平行四边形ABCD的面积=AB?DE=BC?DF，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
故选：B．
11.【答案】一组邻边相等
12.【答案】23
??13.【答案】243
【解析】
解：∵纸条的对边平行，即AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条的宽度都是6，
∴S四边形ABCD=AB×6=BC×6．
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°?60°=30°，
∴AB=2BE．
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，即AB2=14AB2+62，解得AB=43，
∴S四边形ABCD=BC?AE=43×6=243．
??
14.【答案】是
【解析】解：如图，
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
∴AE=AF，
∴S平行四边形ABCD=BC?AE=DC?AF，
∴BC=DC，
∴?ABCD是菱形．
故答案为：是．
15.【答案】(103?10)
【解析】如图，连接BD，AC，在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120?，AB=BC=AD=CD=?10cm，
∴∠BAD=∠BCD=60?．
∴△ABD，△BCD都是等边三角形．
?①若以边BC为底，则BC的垂直平分线上(在菱形的边上及其内部)的点满足题意，此时就转化为“直线外一点与直线上所有点连接的线段中，垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值为10cm;
?②若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P为弧BD与AC的交点时，AP最小，最小值为(103?10)cm;
?③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC长为半径作圆，则弧AC上的点D满足△PBC为等腰三角形，此时PA=10cm．
综上所述，PA的最小值为(103?10)cm．
16.【答案】6【解析】略
17.【答案】4.5
【解析】解：取CD的值中点M，连接GM，FM．
∵AG=CG，AE=EB，
∴EG=12BC，
同理可证：FM=12BC，EF=GM=12AD，
∵AD=BC=6，
∴EG=EF=FM=MG=3，
∴四边形EFMG是菱形，
∴当EF⊥EG时，四边形EFMG是矩形，此时四边形EFMG的面积最大，最大面积为9，
∴△EGF的面积的最大值为12S四边形EFMG=4.5，
故答案为4.5．
18.【答案】解：(1)12；96
(2)OE+OF的值不会发生变化.?
理由如下：如图1，连接AO，则S△ABD=?，
∴12S菱形ABCD=12AB?OE+?12AD?OF，即12×96=12×10?OE+?12×10?OF．
解得OE+OF=9.6是定值，不变．
(3)OE+OF的值变化，OE，OF之间的数量关系为OE?OF=9.6．
理由如下：如图2，连接AO，则，?
∴12S菱形ABCD=12AB?OE?12AD?OF，即12×96=12×10?OE?12×10?OF，
解得OE?OF=9.6，是定值，不变．
19.【答案】解：四边形BECD是菱形．
证明如下：
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE．
又∵BA=BC，BD=BE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE．
∵点D是△ABC的外心，
∴AD=BD=CD．
又∵BD=BE，
∴BD=BE=EC=CD，
∴四边形BECD是菱形．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠ADC=∠CBA，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∵DE=BF，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．