2020-2021学年贵州省黔南州八年级（下）期末数学试卷(word解析版)

2020-2021学年贵州省黔南州八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题2分，共24分）
1．＝（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
2．一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是（　　）
A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量
3．如图，在?ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．45° C．70° D．60°
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．第十六届中国国际文化产业博览交易会以“云上文博会”形式举办，各省通过搭建VR虚拟展馆的形式进行展览．在展会期间，很多有贵州地方特色的文化产业发展成果精彩亮相．借此机会，某手工艺术品展台通过网络平台销售了100件安顺奇石圆形摆件，销售情况统计如表：
直径（cm） 25 38 48 55 60
销量/件 22 28 20 13 17
则圆形摆件直径的众数为（　　）
A．43cm B．38cm C．48cm D．46cm
6．下列曲线中表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝5，则矩形的对角线BD的长是（　　）
A．5 B．5 C．10 D．5
8．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c）
9．若函数y＝3x和y＝ax+5（a＜0）的图象交于点A（n，4），则关于x的不等式3x≥ax+5的解集为（　　）
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤ D．x≥
10．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
11．若m、n为实数，且+﹣n＝2，则直线y＝mx+n不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题4小題，每题3分，共12分）
13．函数y＝的自变量x的取值范围是　 　．
14．将直线y＝x+1向下平移4个单位后，所得直线的解析式是 　 　．
15．在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）　 　．
16．如图，一个直角三角形与一个正方形在同一水平线上，此三角形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，三角形与正方形重叠部分的面积为y，在下面的平面直角坐标系中，线段AB表示的是三角形在正方形内部移动的面积图象，C点表示的是停止运动后图象的结束点，下面有三种补全图象方案，正确的方案是　 　．
三、解答题（本大题9小题，共64分）
17．计算：．
18．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝6，求BD的长．
19．在如图所示的平面直角坐标系中直接画出一次函数y＝﹣x+2与y＝﹣x﹣1的图象，并指出两条直线的位置关系．
20．老师在黑板上出示了这样一道题；化简．
嘉嘉的解法：原式＝．
琪琪的解法：原式＝．
（1）关于嘉嘉和琪琪的解法，说法的正确是 　 　．
A．只有嘉嘉的解法正确；
B．只有琪琪的解法正确；
C．都正确；
D．都错误．
（2）请选择一种最适合你的方法化简．
21．直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上一点C在第一象限且点C的横坐标与纵坐标相等，求△BOC的面积．
22．埃及人曾用下面的方法得到直角，如图1，他们用13个等距的结将一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．
（1）你能说说其中的道理吗？（可设相邻两个结点之间的距离为a）
（2）仿照上面的方法用31个等距的结将一根绳子分成等长的30段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第31个结，两个助手分别握住第6个结和第18个结，拉紧绳子，将得到一个直角三角形其直角在第6个结处，请你在图2中，画出示意图即可．
23．为迎接中国共产党建党100周年，某校组织开展了丰富多彩的系列庆祝活动，红歌歌咏比赛是其中一项受欢迎的活动，某校的七年级和八年级以班为单位参加比赛，每个班级比赛得分总分为10分，现从两个年级各抽取10个班级的比赛得分，对两个年级的比赛情况进行分析：
一、收集并整理数据．
班级 得分
年级 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 八班 九班 十班
七年级 8 9 7 8 9 6 7 8 10 8
八年级 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10
二、分析数据．
平均数 众数 中位数 方差
七年级 a b 8 1.2
八年级 8 7 c 1.8
三、应用数据．
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）若规定9分及以上为优秀，请估计全校40个班级中，成绩优秀的班级共有几个班？
（3）你认为哪个年级的比赛成绩较好一些，请至少从以上统计的两个数据进行分析．
24．“又是一年春光好，植树添绿正当时”，进入春季后，全国各地开始大规模开展植树造林活动，贵州各地也正在积极响应．植树节当天，某校购买了A，B两种树苗共100棵进行种植，其中A种树苗的种植单价为30元，成活率为90%，B种树苗的种植单价为37元，成活率为95%．设购买A种树苗x棵，这批树苗种植后成活y棵，请解答下列问题．
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）为保证这批树苗种植后至少成活93棵，求该校用于植树造林活动的总费用的最小值．
25．操作发现：
已知正方形ABCD的边长为1，在边BC，CD上任取一点P（不与顶点B，C，D重合），连接AP，分别过点D，B作DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F．
（1）如图1，当点P在CD上时，求证：BF＝DE+EF．
（2）如图2，当点P在CD上时，过点C作CG⊥AP交AP的延长线于点G，试判断线段DE，BF，CG间的数量关系，并说明理由．
拓广探索：
（3）如图3，当点P在BC上时，过点C作CG⊥AP交AP的延长线于点G，请直接写出线段DE，BF，CG之间的数量关系，不用写理由．
参考答案
一、选择题（本大题12小题，每题2分，共24分）
1．＝（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】利用二次根式的性质进行计算．
解：＝＝4，
故选：B．
2．一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是（　　）
A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，所以5和y分别是常量，变量，据此判断即可．
解：一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是常量，变量．
故选：C．
3．如图，在?ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．45° C．70° D．60°
【分析】由平行四边形的性质得出∠A+∠B＝180°，再由已知条件∠A＝2∠B，即可得出∠B的度数，再根据平行四边形的对角相等即可求出∠D的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝180°，
解得：∠B＝60°；
∴∠D＝60°，
故选：D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法运算法则判断A，根据二次根式的减法计算法则判断B，根据二次根式的除法运算法则判断C，根据二次根式的乘法运算法则判断D．
解：A、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、2﹣5＝﹣3，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
5．第十六届中国国际文化产业博览交易会以“云上文博会”形式举办，各省通过搭建VR虚拟展馆的形式进行展览．在展会期间，很多有贵州地方特色的文化产业发展成果精彩亮相．借此机会，某手工艺术品展台通过网络平台销售了100件安顺奇石圆形摆件，销售情况统计如表：
直径（cm） 25 38 48 55 60
销量/件 22 28 20 13 17
则圆形摆件直径的众数为（　　）
A．43cm B．38cm C．48cm D．46cm
【分析】根据众数的意义，结合统计表中的数据进行判断即可．
解：根据表格中的数据可知，销售圆形摆件中，直径为38cm的最多，共销售28件，
因此销售圆形摆件直径的众数为38cm，
故选：B．
6．下列曲线中表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义解答即可．
解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、能表示y是x的函数，故此选项合题意；
D、不能表示y是x的函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝5，则矩形的对角线BD的长是（　　）
A．5 B．5 C．10 D．5
【分析】由矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可求BO＝AB的长，即可求BD的长．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝CO＝BO＝DO
∵∠BOC＝120°
∴∠AOB＝60°，且AO＝BO
∴△ABO为等边三角形
∴AO＝BO＝AB＝5
∴BD＝10
故选：C．
8．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c）
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，即可判断选项A；根据三角形内角和定理求出∠C的度数，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理判定选项C和选项D即可．
解：设△ABC中，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c，
A．∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B＝∠A，∠C＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝（）°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵a：b：c＝3：4：5，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
即a2+c2＝b2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
9．若函数y＝3x和y＝ax+5（a＜0）的图象交于点A（n，4），则关于x的不等式3x≥ax+5的解集为（　　）
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤ D．x≥
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后利用函数图象，写出直线y＝ax+5在直线y＝3x下方所对应的自变量的范围即可．
解：把A（n，4）代入y＝3x得3n＝4，解得n＝，则A（，4），
根据图象得，当x≥时，3x≥ax+5．
故选：D．
10．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【分析】先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+2）尺，根据勾股定理可得方程x2+82＝（x+2）2，再解即可．
解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
11．若m、n为实数，且+﹣n＝2，则直线y＝mx+n不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据非负数的性质求出m、n的值，再根据一次函数的性质得到答案．
解：因为m、n为实数，且+﹣n＝2，
所以m﹣1＝0，n+2＝0，
即m＝1，n＝﹣2，
所以直线y＝x﹣2经过一、三、四象限，不过第二象限，
故选：B．
12．如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接OE，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到∠EFO，∠EGO，∠FOG都是直角，即可得到四边形OFEG是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形OFEG的面积．
解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故选：B．
二、填空题（本大题4小題，每题3分，共12分）
13．函数y＝的自变量x的取值范围是　x＞﹣2　．
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
解：由题意，得
x+2＞0，
解得x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
14．将直线y＝x+1向下平移4个单位后，所得直线的解析式是 　y＝x﹣3　．
【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
解：将直线y＝x+1向下平移4个单位后，所得直线的解析式为y＝x+1﹣4，即y＝x﹣3．
故答案为y＝x﹣3．
15．在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）　AB∥CD（答案不唯一）　．
【分析】题中已知一组对边相等，可添加另一组对边相等，或已知的对边平行，都可．
解：根据平行四边形的判定，可添加AB∥CD（答案不唯一）．
故答案为：AB∥CD（或AD＝BC）．
16．如图，一个直角三角形与一个正方形在同一水平线上，此三角形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，三角形与正方形重叠部分的面积为y，在下面的平面直角坐标系中，线段AB表示的是三角形在正方形内部移动的面积图象，C点表示的是停止运动后图象的结束点，下面有三种补全图象方案，正确的方案是　乙　．
【分析】当三角形从图①的位置开始，匀速向右平移到②的位置时，y＝EF×DE＝tanα?x2，该函数的表达式为开口向上的抛物线；直角三角形在正方形内部时，则y为常数，即为直角三角形的面积；当三角形通过正方形内部，匀速向右平移到②的位置时，同理可得：y＝s﹣（x﹣a）2?tanα，进而求解．
解：设正方形的边长为a，直角三角形的面积为s，
①如下图，当三角形从图①的位置开始，匀速向右平移到②的位置时，如下图：
设重叠的图形为△DEF，∠DFE＝α，
则EF＝x，DE＝EFtanα＝xtanα，
则y＝EF×DE＝×x?xtanα＝tanα?x2，该函数的表达式为开口向上的抛物线，
②当直角三角形在正方形内部时，
则y为常数，即为直角三角形的面积，对应函数图象AB段；
③当三角形通过正方形内部，匀速向右平移到②的位置时，
同理可得：y＝s﹣（x﹣a）2?tanα＝﹣tanα?x2+2a?tanα?x﹣a2tanα+s，该函数的表达式为开口向下的抛物线，
故答案为：乙．
三、解答题（本大题9小题，共64分）
17．计算：．
【分析】利用二次根式的性质进行化简，然后先算乘法，最后算加减．
解：原式＝2﹣2﹣
＝2﹣2﹣1
＝﹣1．
18．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝6，求BD的长．
【分析】根据平行四边形ABCD得到，BD＝2OD，CD∥AB，由AB⊥AC，可得AC⊥CD，进而根据勾股定理即可得BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，BD＝2OD，CD∥AB，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∵∠DAC＝45°，
∴CD＝AC＝6，
在Rt△COD中，，
∴．
19．在如图所示的平面直角坐标系中直接画出一次函数y＝﹣x+2与y＝﹣x﹣1的图象，并指出两条直线的位置关系．
【分析】首先分别作出y＝﹣x+2与y＝﹣x﹣1这两个函数的图象，然后根据图象可以直接观察即可．
解：一次函数y＝﹣x+2经过点（2，0），（0，2），
y＝﹣x﹣1的图象经过点（﹣1，0），（0，﹣1），
如图所示，
所以直线y＝﹣x+2与直线y＝﹣x﹣1平行．
20．老师在黑板上出示了这样一道题；化简．
嘉嘉的解法：原式＝．
琪琪的解法：原式＝．
（1）关于嘉嘉和琪琪的解法，说法的正确是 　C　．
A．只有嘉嘉的解法正确；
B．只有琪琪的解法正确；
C．都正确；
D．都错误．
（2）请选择一种最适合你的方法化简．
【分析】（1）嘉嘉利用平方差公式进行了二次根式分母有理化计算，琪琪利用平方差公式进行因式分解，然后再利用分式的基本性质进行约分，所以两位同学的解法都是正确的；
（2）利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算．
解：（1）嘉嘉利用平方差公式进行了二次根式分母有理化计算，
琪琪利用平方差公式进行因式分解，然后再利用分式的基本性质进行约分，
两位同学的解法都是正确的，
故答案为：C；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
21．直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上一点C在第一象限且点C的横坐标与纵坐标相等，求△BOC的面积．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）设点C的横坐标为m，代入解析式得m＝2m﹣2，求得C（2，2），然后根据三角形面积公式求得即可．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将A（1，0），B（0，﹣2）代入解析式，得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2；
（2）设点C的横坐标为m，代入得m＝2m﹣2，解得m＝2，
∴C（2，2），
∵B（0，﹣2），
∴S△BOC＝×2×2＝2．
22．埃及人曾用下面的方法得到直角，如图1，他们用13个等距的结将一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．
（1）你能说说其中的道理吗？（可设相邻两个结点之间的距离为a）
（2）仿照上面的方法用31个等距的结将一根绳子分成等长的30段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第31个结，两个助手分别握住第6个结和第18个结，拉紧绳子，将得到一个直角三角形其直角在第6个结处，请你在图2中，画出示意图即可．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）设相邻两个结点之间的距离为图中1个小正方形的边长，则此三角形三边的长分别为5、12、13，画出示意图即可．
解：（1）设相邻两个结点之间的距离为a，则此三角形三边的长分别为3a、4a、5a，
∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2，
∴以3a、4a、5a为边长的三角形是直角三角形；
（2）如图所示：
23．为迎接中国共产党建党100周年，某校组织开展了丰富多彩的系列庆祝活动，红歌歌咏比赛是其中一项受欢迎的活动，某校的七年级和八年级以班为单位参加比赛，每个班级比赛得分总分为10分，现从两个年级各抽取10个班级的比赛得分，对两个年级的比赛情况进行分析：
一、收集并整理数据．
班级 得分
年级 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 八班 九班 十班
七年级 8 9 7 8 9 6 7 8 10 8
八年级 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10
二、分析数据．
平均数 众数 中位数 方差
七年级 a b 8 1.2
八年级 8 7 c 1.8
三、应用数据．
（1）a＝　8　，b＝　8　，c＝　7.5　．
（2）若规定9分及以上为优秀，请估计全校40个班级中，成绩优秀的班级共有几个班？
（3）你认为哪个年级的比赛成绩较好一些，请至少从以上统计的两个数据进行分析．
【分析】（1）根据中位数、平均数、众数的概念进行解答；
（2）总数乘以样本中9分及以上的班级数所占比例即可解答；
（3）分别从平均数和中位数、众数及方差的意义逐一分析可得．
解：（1）a＝×（8+9+7+8+9+6+7+8+10+8）＝8，
七年级10个班级的比赛得分8出现的最多，有4次，
∴b＝8，
八年级10个班级的比赛得分从低到高重新排列为：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，
∴c＝×（7+8）＝7.5，
故答案为：8，8，7.5；
（2）估计全校40个班级中，成绩优秀的班级共：40×＝14（个）；
（3）从平均数看，七年级和八年级平均数相等，两个年级的平均成绩相等；
从中位数和众数看，七年级的中位数和众数大于八年级的中位数和众数，所以七年级高分的人数多于八年级高分人数，七年级的成绩较好；
从方差看，七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级的成绩比八年级的成绩稳定，七年级的成绩较好；
综上可知，七年级的比赛成绩较好一些．
24．“又是一年春光好，植树添绿正当时”，进入春季后，全国各地开始大规模开展植树造林活动，贵州各地也正在积极响应．植树节当天，某校购买了A，B两种树苗共100棵进行种植，其中A种树苗的种植单价为30元，成活率为90%，B种树苗的种植单价为37元，成活率为95%．设购买A种树苗x棵，这批树苗种植后成活y棵，请解答下列问题．
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）为保证这批树苗种植后至少成活93棵，求该校用于植树造林活动的总费用的最小值．
【分析】（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（100﹣x）棵，根据成活y棵＝A种树苗成活的棵树+B种树苗成活的棵树，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据这批树苗至少成活93棵，列出关于x的不等式，可求出x的范围，再根据总费用w＝购买A种树苗的费用+种植A种树苗的费用得出w与x的函数关系式，利用一次函数的性质即可求解．
解：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（100﹣x）棵，由题意得：
y＝90%x+95%×（100﹣x）＝﹣0.05x+95（0≤x≤100）；
（2）由题意，可得﹣0.05x+95≥93，
解得x≤40，
设总费用为w元，
由题意，得w＝30x+37×（100﹣x）＝﹣7x+3700，
∵﹣7＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝40时，该校用于植树造林活动的总费用最少，最小值为：﹣7×40+3700＝3420（元），
答：该校用于植树造林活动的总费用的最小值为3420元．
25．操作发现：
已知正方形ABCD的边长为1，在边BC，CD上任取一点P（不与顶点B，C，D重合），连接AP，分别过点D，B作DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F．
（1）如图1，当点P在CD上时，求证：BF＝DE+EF．
（2）如图2，当点P在CD上时，过点C作CG⊥AP交AP的延长线于点G，试判断线段DE，BF，CG间的数量关系，并说明理由．
拓广探索：
（3）如图3，当点P在BC上时，过点C作CG⊥AP交AP的延长线于点G，请直接写出线段DE，BF，CG之间的数量关系，不用写理由．
【分析】（1）由DE⊥AP，BF⊥AP，可得∠AED＝∠AFB＝90°，进而可证△ADE≌△BAF（AAS），再根据全等三角形性质即可证得结论；
（2）如图2，过点C作CH⊥BF于点H，同（1）可证得△DAE≌△BCH（AAS），即可得出答案；
（3）如图3．过点C作CH⊥BF交BF的延长线于点H．再由四边形ABCD为正方形，可证得△DAE≌△BCH（AAS），进而可证四边形HFGC为矩形，即可得出答案．
解：（1）如图1，∵DE⊥AP，BF⊥AP，
∴∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠DAE+∠BAF＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，而AB＝AD，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴DE＝AF，AE＝BF，
∵AE＝AF+EF，
∴BF＝DE+EF．
（2）线段DE、BF、CG间的数量关系是BF＝DE+CG．
理由如下：
如图2，过点C作CH⊥BF于点H，
∵∠CHF＝∠HFG＝∠CGF＝90°，
∴四边形HFGC为矩形，
∴CG＝FH．
同（1）可证得△DAE≌△BCH（AAS），
∴DE＝BH，
∴BF＝FH+BH＝CG+DE．
（3）DE＝BF+CG．理由如下：
如图3．过点C作CH⊥BF交BF的延长线于点H．
则∠CHB＝∠AED＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BGF，
∵DE⊥AP，BF⊥AP，CG⊥AP，
∴∠AED＝∠BFP＝∠CGF＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝∠BPF+∠CBH＝90°，
∴∠ADE＝∠CBH，
∴△DAE≌△BCH（AAS），
∴DE＝BH．
∵∠BHC＝∠HFG＝∠CGF＝90°，
∴四边形HFGC为矩形，
∴HF＝CG，
∵BH＝BF+HF，
∴DE＝BF+CG．