2020-2021学年山东省淄博市沂源县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2020-2021学年山东省淄博市沂源县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共12小题）.
1．下列各数不是不等式6﹣2x＞0的解的是（　　）
A．1 B．﹣1.5 C．4 D．0
2．下列命题的逆命题是正确的是（　　）
A．若a＝b，则a2＝b2
B．若a＞0，b＞0，则ab＞0
C．等边三角形是锐角三角形
D．同位角相等，两直线平行
3．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（　　）
类型 健康 亚健康 不健康
数据（人） 32 7 1
A．32 B．7 C． D．
4．如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点p，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5．在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列说法不正确的是（　　）
A．8是不等式y﹣1＞6的解
B．不等式m﹣1＞2的解有无数个
C．x＞﹣3是不等式﹣2x＞6的解集
D．不等式x+1＜2只有一个非负整数解
8．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
C．打开电视机，正在播放广告
D．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
9．如图，△ABC为等边三角形，BO为中线，延长BA至D，使AD＝AO，则∠DOB的度数为（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
10．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
11．若不等式组无解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞4 B．a≤4 C．0＜a＜4 D．a≥4
12．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：
①AD是△ABC的高；
②AD是△ABC的中线；
③ED＝FD；
④AB＝AE+BF．
其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果.
13．若不等式（m﹣3）x＞m﹣3的解集是x＜1，则m的取值范围是　 　．
14．某商店举办有奖销售活动，活动规则如下：凡购满100元者得奖券一张，每1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个．那么，买100元商品中奖概率是 　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 　 　．
16．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A（﹣1，0），B（2，0），观察图象直接写出关于x的不等式组的解集 　 　．
17．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材共50套，A，B两种型号健身器材的购买价格分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．若购买支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买 　 　套．
三、解答题：本大题共7小题，共70分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．计算：
（1）解方程组：；
（2）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
19．如图是某产品商标的示意图，已知AB＝CD，∠A＝∠D，有人认为△ABC≌△DCB，他的思考过程是：
∵AB＝CD，∠A＝∠D，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
你认为这个思考过程对吗？
如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件？
如果不正确，写出你的思考过程．
20．列二元一次方程组解应用题：
某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1510元，两种客房各租住了多少间？
21．先阅读理解下面的例题，再按要求完成后面的问题：
例：解不等式（x﹣2）（x+1）＞0．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”得：
①或②，
解不等式组①，得：x＞2；
解不等式组②，得：x＜﹣1．
所以（x﹣2）（x+1）＞0的解集为x＞2或x＜﹣1．
根据上述方法解一元二次不等式x2﹣4＞0．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
23．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．
1．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m的代数式表示）
2．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期内完成总任务？
24．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各数不是不等式6﹣2x＞0的解的是（　　）
A．1 B．﹣1.5 C．4 D．0
解：移项，得：﹣2x＞﹣6，
系数化为1，得：x＜3，
故选：C．
2．下列命题的逆命题是正确的是（　　）
A．若a＝b，则a2＝b2
B．若a＞0，b＞0，则ab＞0
C．等边三角形是锐角三角形
D．同位角相等，两直线平行
解：A、若a＝b，则a2＝b2，逆命题不成立，a，b可能互为相反数．
B、若a＞0，b＞0，则ab＞0，逆命题不成立，a，b可能是负数．
C、等边三角形是锐角三角形，逆命题不成立，锐角三角形不一定是等边三角形．
D、两直线平行，同位角相等，逆命题成立．
故选：D．
3．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（　　）
类型 健康 亚健康 不健康
数据（人） 32 7 1
A．32 B．7 C． D．
解：∵抽取了40名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有32人，
∴测试结果为“健康”的频率是：＝．
故选：D．
4．如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点p，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P的坐标为（2，﹣1），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是．
故选：D．
5．在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：∵袋子中共有6个小球，其中白球有1个，
∴摸出一个球是白球的概率是，
故选：A．
6．用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，由题意可得，
，
故选：B．
7．下列说法不正确的是（　　）
A．8是不等式y﹣1＞6的解
B．不等式m﹣1＞2的解有无数个
C．x＞﹣3是不等式﹣2x＞6的解集
D．不等式x+1＜2只有一个非负整数解
解：A、解不等式y﹣1＞6得y＞7，故8是不等式y﹣1＞6的解的说法正确；
B、不等式m﹣1＞2的解集是m＞3，解有无数个，原题说法正确；
C、解不等式﹣2x＞6得x＜﹣3，原题说法不正确；
D、解不等式x+1＜2得x＜1，故只有一个非负整数解x＝0，原题说法正确．
故选：C．
8．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
C．打开电视机，正在播放广告
D．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，不合题意；
B、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，符合题意；
C、打开电视机，正在播放广告是随机事件，不合题意；
D、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数是随机事件，不合题意．
故选：B．
9．如图，△ABC为等边三角形，BO为中线，延长BA至D，使AD＝AO，则∠DOB的度数为（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
解：∵△ABC是等边三角形，BO是中线，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∠DBO＝30°．
又∵AD＝AO，
∴∠D＝∠AOD．
又∵∠BAO＝∠D+∠AOD，
∴∠D＝∠AOD＝∠BAO＝30°．
∴∠D＝∠DBO＝30°．
∴∠DOB＝180°﹣30°﹣30＝120°．
故选：B．
10．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y＝﹣；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
解：关于x，y的二元一次方程组，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
（3）方程组，解得，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
即；y＝﹣+
因此④是正确的，
故选：D．
11．若不等式组无解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞4 B．a≤4 C．0＜a＜4 D．a≥4
解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到a≥4．
故选：D．
12．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：
①AD是△ABC的高；
②AD是△ABC的中线；
③ED＝FD；
④AB＝AE+BF．
其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵BC恰好平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBD，
∵AC∥BF，
∴∠C＝∠FBD，
∴∠C＝∠ABC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝BD，所以①②正确；
过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE＝DH，
∵AC∥BF，DE⊥AC，
∴DF⊥BF，
∵BD平分∠ABF，DH⊥AB，
∴DH＝DF，
∴DE＝DF，所以③正确；
在△ADE和△ADH中，
，
∴△ADE≌△ADH（HL），
∴AH＝AE，
同理可得BH＝BF，
∴AB＝AH+BH＝AE+BF，所以④正确．
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果.
13．若不等式（m﹣3）x＞m﹣3的解集是x＜1，则m的取值范围是　m＜3　．
解：不等式（m﹣3）x＞m﹣3的解集是x＜1，
∴m﹣3＜0，
解得，m＜3，
故答案为：m＜3．
14．某商店举办有奖销售活动，活动规则如下：凡购满100元者得奖券一张，每1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个．那么，买100元商品中奖概率是 　　．
解：买100元商品的中奖的概率＝＝．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 　　．
解：过B点作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，
，
∵AB＝AC，∠ABC＝15°，
∴∠C＝∠ABC＝15°，
∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝30°，
∵AB＝AC＝8，
∴BD＝AB＝4，
∴AD＝，
∴CD＝AC+AD＝8+，
∴△ABC的面积为：．
故答案为．
16．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A（﹣1，0），B（2，0），观察图象直接写出关于x的不等式组的解集 　﹣1＜x＜2　．
解：根据图象可以得到关于x的不等式组的解集﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
17．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材共50套，A，B两种型号健身器材的购买价格分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．若购买支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买 　34　套．
解：设A种型号健身器材购买了x套，则B种型号健身器材购买了（50﹣x）套，
依题意，得：310x+460（50﹣x）≤18000，
解得：x≥33，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为34，
即A种型号健身器材至少要购买34套，
故答案为：34．
三、解答题：本大题共7小题，共70分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．计算：
（1）解方程组：；
（2）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
解：（1）整理，得：，
②×2，得：4x+2y＝20③，
①+③，得：5x＝20，
解得：x＝4，
把x＝4代入①，得：4﹣2y＝0，
解得：y＝2，
∴方程组的解为；
（2），
解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤，
∴不等式组的正整数解为1；2；3；4．
19．如图是某产品商标的示意图，已知AB＝CD，∠A＝∠D，有人认为△ABC≌△DCB，他的思考过程是：
∵AB＝CD，∠A＝∠D，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
你认为这个思考过程对吗？
如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件？
如果不正确，写出你的思考过程．
解：他的思考过程不正确，
理由是：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE(AAS），
∴AE＝DE，BE＝CE，
∴AC＝BD，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
20．列二元一次方程组解应用题：
某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1510元，两种客房各租住了多少间？
解：设租住三人间x间，租住两人间y间，由题意，得
，
解得：．
答：租住三人间8间，租住两人13间．
21．先阅读理解下面的例题，再按要求完成后面的问题：
例：解不等式（x﹣2）（x+1）＞0．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”得：
①或②，
解不等式组①，得：x＞2；
解不等式组②，得：x＜﹣1．
所以（x﹣2）（x+1）＞0的解集为x＞2或x＜﹣1．
根据上述方法解一元二次不等式x2﹣4＞0．
解：∵x2﹣4＞0，
∴（x+2）（x﹣2）＞0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”得：
①或②，
解不等式组①，得：x＞2；
解不等式组②，得：x＜﹣2．
所以x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
23．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．
1．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m的代数式表示）
2．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期内完成总任务？
【解答】（1）解：设x人加工G型装置，y人加工H型装置，由题意可得：
解得：，
6×32÷4＝48（套），
答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH型电子产品．
（2）?由题意可知：3（6x+4m）＝3（80﹣x）×4，
解得：．
?×4＝240（个），
6x+4m≥240
6×+4m≥240．
解得：m≥30．
答：至少需要补充30名新工人才能在规定期内完成总任务．
24．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
解：（1）AF＝BD；
证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC＝AC，∠BCA＝60°（等边三角形的性质）；
同理知，DC＝CF，∠DCF＝60°；
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠DCF﹣∠DCA，即∠BCD＝∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD＝AF（全等三角形的对应边相等）；
（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF＝BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF＝BD仍然成立；
（3）Ⅰ．AF+BF′＝AB；
证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD＝AF；
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′＝AD，
∴AF+BF′＝BD+AD＝AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF＝AB+BF′；
证明如下：在△BCF′和△ACD中，
，
∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′＝AD（全等三角形的对应边相等）；
又由（2）知，AF＝BD；
∴AF＝BD＝AB+AD＝AB+BF′，即AF＝AB+BF′．