11.3余弦定理、正弦定理的应用（1）同步练习-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册（Word含答案解析）

1125220011455400余弦定理、正弦定理的应用（1）
课本温习
1. 甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是(　　)
A. a　 B. a C. a　 D. a
2. 某人从出发点A向正东走xm后到B，向左转150°再向前走3m到C，测得△ABC的面积为m2，则此人这时离开出发点的距离为(　　)
A. m　 B. m C. m　 D. m
3. 海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)
A. 4 n mile　 B. 5n mile C. 6 n mile　 D. 5 n mile
48926752844804. 如图所示，设A，B两点在河的两岸，测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点之间的距离为(　　)
A. 50 m　 B. 50 m C. 40 m　 D. 25 m
固基强能
38360354762505. 如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°.若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于(　　)
A. －　 B. －1 C. －1　 D.
37014155448306. 如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN为(　　)
A. 100 m　 B. 120 m C. 130 m　 D. 150 m

7（多选）四边形false内接于圆false，false，下列结论正确的有（ ）
A．四边形false为梯形 B．圆false的直径为7
C．四边形false的面积为false D．false的三边长度可以构成一个等差数列
8（多选）对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（ ）
A.若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；B.若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；
C.若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形．
4005580415290D.若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
9.如图所示，一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动．已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？
490093056959510. 甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向的B处，两船相距a n mile，乙船正在向正北方向行驶．若甲船速度是乙船速度的倍，则甲船应向北偏东________的方向行驶才能最快追上乙船，甲船追上乙船时，甲船行驶了________n mile.
11.如图，已知海中一小岛A周围38 n mile内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°的方向上，船航行30 n mile后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°的方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，______(选填“有”或“无”)触礁危险．(参考数据：≈1.732)
规范演练
329374543624512.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1) 若·＝3，求△ABC的面积；
(2) 若BC＝2，AD＝5，求CD的长度.
13.如图，已知⊙O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC两侧．
(1)若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值？
3821430144780
正、余弦定理的应用（1）
1. B　解析：甲楼的高为atan60°＝a，乙楼的高为a－atan30°＝a－a＝a.故选B.
2. C　解析：在△ABC中，S＝AB×BCsinB，∴ ＝×x×3×sin30°，
∴ x＝.
由余弦定理，得
AC＝
＝＝(m)．故选C.
3. D　解析：在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得＝，
∴ ＝，解得BC＝5(n mile)．故选D.
4. A　解析：由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理得＝，
∴ AB＝＝＝50(m)．故选A.
5. B　解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得AC＝100.在△ADC中，＝，∴ cosθ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.故选B.
6. D　解析：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，∴ AC＝100m.在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°.由正弦定理得＝，因此AM＝100m.在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，由＝sin60°，得MN＝100×＝150(m)．故选D.
7.【答案】ACD
【解析】false
false
可证false
false
false
false
显然false不平行false
即四边形false为梯形，故false正确；
在false中由余弦定理可得false
false
false
false圆的直径不可能是false，故false错误；
在false中由余弦定理可得false
false解得false或false（舍去）
false
false
false
故false正确；
在false中，false，false，false，满足false
false的三边长度可以构成一个等差数列，故false正确；
故选：false
8.【答案】 CD
42926001174750【解析】对于A：sin2A＝sin2B，∴A＝B?△ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π?A＋B＝，即△ABC是直角三角形．故A不对；对于B：由sinA＝cosB，∴A－B＝或A＋B＝.∴△ABC不一定是直角三角形；对于C：sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2
sinC＝＝.而c>b，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.
∴S△ABC＝bcsinA＝或.D正确
故选CD。
9.解：设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝.∴ AC＝17－2x＝7或AC＝－(舍去)．∴ 该机器人最快可在线段AD上离A点 7 dm的点C处截住足球．
10. 30°　a　解析：设在C点处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝vt，AC＝vt，B＝120°.由正弦定理＝，得＝，∴ sin∠CAB＝，∴ ∠CAB＝30°，∴ BC＝AB＝a，∴ AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴ AC＝a.
11. 无　解析：在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠CAB＝45°－30°＝15°.由正弦定理得＝，解得AC＝15(＋)．∴ A到直线BC的距离为AC·sin 45°＝15(＋1)≈40.98(n mile)．∵ 40.98＞38，∴ 船不改变航向，继续向南航行，无触礁危险．
12.解：(1) 因为·＝3，
所以·＝－3，
即||·||cos∠ABC＝－3.
因为∠ABC＝π，AB＝1，
所以1×||cos＝－3，则||＝3.
所以S△ABC＝||·||sin∠ABC＝.
(2) 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos＝1＋8－2×1×2×＝13，
解得AC＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sin∠BAC＝.
所以cos∠CAD＝cos＝sin∠BAC＝.
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠CAD，解得CD＝3.
13.【解析】(1)在△OPC中,由余弦定理得
PC2=OP2+OC2?2OP?OC?cosθ???????=1+4?4cosθ=5?4cosθ.y=S△OPC+S△PDC??=12?OP?OC?sinθ+34PC2??=sinθ?3cosθ+534(0<θ<π)…7分
(2)y=sinθ?3cosθ+534?=2sin(θ?π3)+534，∴当θ=5π6时,y?max=2+534