12.3复数的几何意义同步练习-2020-2021学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

复数的几何意义
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
3．在复平面内，O为原点，向量O对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量O对应的复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．
7．设复数z＝－1－i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________.
8．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
三、解答题
9．已知复数z＝1＋ai(a∈R)，w＝cos α＋isin α，α∈(0，2π)，若z＝＋2i，且|z－w|＝，求角α的值．
10．已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限．
能力过关
11．复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是 (　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
12．(多选题)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是(　　)
A．P0点的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
13．已知复数z满足(z－2)i＝7－i，其中i为虚数单位，则|z|＝________，复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第________象限．
14．已知O为坐标原点，O1对应的复数为－3＋4i，O2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若O1与O2共线，则a的值为________．
15．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|，|z2|的值；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D　[∵sin 2>0，cos 2<0，
∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.]
2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
D　[由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.]
3．在复平面内，O为原点，向量O对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量O对应的复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
B　[因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以O对应的复数为－2＋i.]
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
D　[依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
B　[设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2，2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]
二、填空题
6．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．
2＋4i　[∵复数6＋5i，－2＋3i对应点分别为A，B，
∴点A(6，5)，B(－2，3)．
∴中点C(2，4)，其对应复数2＋4i.]
7．设复数z＝－1－i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________.
　[＝－1＋i，则|(1－z)·|＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝.]
8．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆　[∵|z|＝3，
∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆．]
三、解答题
9．已知复数z＝1＋ai(a∈R)，w＝cos α＋isin α，α∈(0，2π)，若z＝＋2i，且|z－w|＝，求角α的值．
[解]　由题意知1＋ai＝1＋(2－a)i，
则a＝2－a，即a＝1，∴z＝1＋i.
由|z－w|＝得(1－cos α)2＋(1－sin α)2＝5，
整理得sin α＋cos α＝－1，∴sin＝－，
∵0<α<2π，
∴<α＋<，
∴α＋＝或α＋＝，∴α＝π或α＝.
10．已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限．
[解]　(1)由(z－2)i＝a＋i，
得z－2＝＝1－ai，∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3故当a∈(－3，0)时，z2对应的点在第一象限．
能力过关
11．复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是 (　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
A　[|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A. ]
12．(多选题)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是(　　)
A．P0点的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
ACD　[复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入
|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即
＝，整理得，y＝x，即Z点在直线y＝x上，C正确；
易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0，Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为＝，故D正确．故选ACD.]
13．已知复数z满足(z－2)i＝7－i，其中i为虚数单位，则|z|＝________，复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第________象限．
5　一　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
(z－2)i＝(a－2＋bi)i＝(a－2)i－b＝7－i，
因此，解得，所以z＝1－7i，故|z|＝5，
＝1＋7i，其在复数平面内对应点位于第一象限．]
14．已知O为坐标原点，O1对应的复数为－3＋4i，O2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若O1与O2共线，则a的值为________．
－　[因为O1对应的复数为－3＋4i，O2对应的复数为2a＋i，所以O1＝(－3，4)，O2＝(2a，1)．因为O1与O2共线，所以存在实数k使O2＝k1，即(2a，1)＝k(－3，4)＝(－3k，4k)，
所以所以
即a的值为－.]
15．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|，|z2|的值；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
[解]　(1)|z1|＝＝2，
|z2|＝＝1.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
|z|≥1表示以原点为圆心，1为半径的圆的外部所有点组成的集合(包含圆周)，|z|≤2表示以原点为圆心，2为半径的圆的内部所有点组成的集合(包含圆周)，故满足条件的点Z的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包含边界)，如图所示．