2021暑假北师八上第一章预习测试卷（含解析）

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2021暑假北师八上第一章预习测试卷
满分120分 时间120分钟
一．选择题（每小题3分，共36分）
1．（2021春?孟村县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形面积分别记为S1，S2，S3．若S2＝6，S3＝10．则面积为S1的正方形的边长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021春?平定县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（　　）
A．8 B．12 C．18 D．20
3．（2021春?射阳县校级期末）若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（　　）
A．9 B．41 C．9或41 D．不确定
4．（2021春?依安县期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，则最大的正方形F的面积为（　　）
A．50 B．36 C．47 D．64
5．（2021春?川汇区期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若c2＝a2﹣b2，则∠C是（　　）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定
6．（2021春?西平县期末）下列几组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，6
B．5，6，7
C．a，a+1，a﹣1（a是大于4的数）
D．6，8，10
7．（2021春?顺平县期末）下列各组数中，不是勾股数的一组是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13
8．（2021春?威宁县期末）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆AB＝10.2m，则绳子AP的长度不可能是（　　）
A．12m B．11m C．10.3m D．10m
9．（2020?巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
10．（2021?厦门模拟）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（　　）
A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
11．（2021春?武昌区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab的值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．（2021春?封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　）
A．18 B．15 C．12 D．8
二．填空题（每小题4分，共24分）
13．（2021春?凤山县期末）如图，A代表所在的正方形的面积，则A的值是 　 　．
14．（2020春?东湖区校级期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组：　 　．
15．（2021春?肇州县期末）如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC边于点E，若BC＝5，AC＝13，则△AEC的面积是　 　．
16．（2020秋?福田区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于　 　．
17．（2021春?道里区期末）在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，则△ABC的周长为 　 　．
18．（2020秋?长春期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为5m，则所需彩带最短是　 　m．
三．解答题（共60分）
19．（6分）（2021春?济南期末）已知：如图，在△ABC中，BC⊥AC，若AC＝8，BC＝6，求AB的长．
20．（12分）（2021春?津南区月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
21．（10分）（2021春?中山市期末）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC＝12，AE＝5，BE＝13，证明：△ABC是直角三角形．
22．（12分）（2021春?长寿区期末）如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
23．（10分）（2021春?恩施市期末）如图是一个零件的示意图，测量AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．
24．（10分）（2020秋?长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．
2021暑假北师八上第一章预习测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2021春?孟村县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形面积分别记为S1，S2，S3．若S2＝6，S3＝10．则面积为S1的正方形的边长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴BC2＝AC2﹣AB2，
∵BC2＝S1、AB2＝S2＝6，AC2＝S3＝10，
∴S1＝S3﹣S2＝10﹣6＝4．
故选：D．
2．（2021春?平定县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（　　）
A．8 B．12 C．18 D．20
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC＝AC2＝20，
故选：D．
3．（2021春?射阳县校级期末）若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（　　）
A．9 B．41 C．9或41 D．不确定
【解答】解：当5为直角边时，第三边的平方为：42+52＝41；
当5为斜边时，第三边的平方为：52﹣42＝9．
故第三边的平方为9或41，
故选：C．
4．（2021春?依安县期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，则最大的正方形F的面积为（　　）
A．50 B．36 C．47 D．64
【解答】解：∵A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，
∴SA＝25，SB＝9，SC＝9，SD＝4，
∵所有的三角都是直角三角形，
∴SA+SB+SC+SD＝SF，
∴S＝47，
故选：C．
5．（2021春?川汇区期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若c2＝a2﹣b2，则∠C是（　　）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定
【解答】解：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若c2＝a2﹣b2，
则a2＝b2+c2，
则△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
则∠C是锐角．
故选：A．
6．（2021春?西平县期末）下列几组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，6
B．5，6，7
C．a，a+1，a﹣1（a是大于4的数）
D．6，8，10
【解答】解：A、因为32+42≠62，所以不能构成直角三角形；
B、因为52+62≠72，所以不能构成直角三角形；
C、因为a2+（a﹣1）2≠（a+1）2，所以不能构成直角三角形；
D、因为62+82＝102，所以能构成直角三角形；
故选：D．
7．（2021春?顺平县期末）下列各组数中，不是勾股数的一组是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项错误；
B、42+52≠62，不是勾股数，此选项正确；
C、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；
D、52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项错误．
故选：B．
8．（2021春?威宁县期末）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆AB＝10.2m，则绳子AP的长度不可能是（　　）
A．12m B．11m C．10.3m D．10m
【解答】解：∵旗杆的高度为AB＝10.2米，
∴AP＞AB，
∴绳子AP的长度不可能是：10米．
故选：D．
9．（2020?巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
10．（2021?厦门模拟）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（　　）
A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【解答】解：标记如下：
∵S正方形PQMN＝S正方形ABCD﹣4SRt△ABN，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4×
＝a2﹣2ab+b2．
故选：C．
11．（2021春?武昌区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab的值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积是9，
∴a2+b2＝9，
∵小正方形面积是1，
∴（a﹣b）2＝1，
∴a2+b2﹣2ab＝1，
∴9﹣2ab＝1，
∴ab＝4，
故选：A．
12．（2021春?封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　）
A．18 B．15 C．12 D．8
【解答】解：将台阶展开，如图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2+BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：B．
二．填空题
13．（2021春?凤山县期末）如图，A代表所在的正方形的面积，则A的值是 　144　．
【解答】解：如图，∵∠BCD＝90°，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝132﹣52＝144，
∴A＝BC2＝144，
故答案为：144．
14．（2020春?东湖区校级期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组：　（11，60，61）　．
【解答】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；
（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；
（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；
（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；
∴下一组数为：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，
故答案为：（11，60，61）．
15．（2021春?肇州县期末）如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC边于点E，若BC＝5，AC＝13，则△AEC的面积是　15.6　．
【解答】解：过点E作EF⊥AC于点F，
在直角△ABC中，∠B＝90°，
由勾股定理得：AB＝，
∵AE平方∠BAC，EF⊥AC，EB⊥BA，
∴BE＝EF，
∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，
∴，
∴12×5＝13×EF+12×BE，
∴25EF＝60，
∴EF＝，
∴S△ACE＝＝＝15.6，
故答案为：15.6．
16．（2020秋?福田区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于　6　．
【解答】解：∵AB＝10，AH：AE＝3：4，
设AH为3x，AE为4x，
由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴5x＝10，
∴x＝2，
∴AH＝6，
故答案为：6．
17．（2021春?道里区期末）在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，则△ABC的周长为 　36　．
【解答】解：∵AD是中线，AB＝13，BC＝10，
∴BD＝BC＝5．
∵52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AB＝13，
∴△ABC的周长＝13+13+10＝36，
故答案为：36．
18．（2020秋?长春期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为5m，则所需彩带最短是　13　m．
【解答】解：如图，将这个圆柱体侧面展开得，
由勾股定理得，
AC＝＝13，
故答案为：13．
三．解答题
19．（2021春?济南期末）已知：如图，在△ABC中，BC⊥AC，若AC＝8，BC＝6，求AB的长．
【解答】解：∵BC⊥AC，
∴∠C＝90°．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则BC2+AC2＝AB2．
∵AC＝8，BC＝6，
∴62+82＝AB2．
∴AB＝10．
20．（2021春?津南区月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得：BC＝＝＝15，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：AD＝＝＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
答：AB的长为25，BC的长为15．
21．（2021春?中山市期末）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC＝12，AE＝5，BE＝13，证明：△ABC是直角三角形．
【解答】证明：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE＝13，
∵AC＝12，AE＝5，
∴CE2＝AC2+AE2，
∴△AEC是直角三角形，
∴△ABC是直角三角形．
22．（2021春?长寿区期末）如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AC＝＝5，
又∵CD＝12，AD＝13，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD＝×3×4+×5×12＝36．
故四边形ABCD的面积是36．
23．（2021春?恩施市期末）如图是一个零件的示意图，测量AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．
【解答】解：∠ACD＝90°，
理由：∵在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5（cm），
在△ACD中，∵AD＝13cm，CD＝12cm，AC＝5cm，
∴AD2＝169，CD2+AC2＝169，
∴AD2＝CD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°．
24．（2020秋?长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．
【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：
AB＝底面周长＝×π×＝8（cm），BP＝BC＝6（cm），
所以AP＝＝10（cm），
故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．
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