广东省惠州市2022届高三上学期7月第一次调研考试数学试题 （Word含答案解析）

惠州市2022届高三第一次调研考试试题
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．
2、作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．
3、非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，作图题可先用铅笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知集合false，false，若false，则实数a的取值范围为（　　）
A．false B．false C．false D．false
2．已知i是虚数单位，复数false在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量false，false则“false”是“false”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．若false，则false（　　）．
A．false B．false C．false D．false
5．函数false的大致图象是（　　）．
A．B．C． D．
6．若随机变量X满足正态分布false，则有false，false．现有20000人参加数学测试，成绩大致服从正态分布false，则可估计本次测试数学成绩120分以上的学生人数约为（　　）
A．1587 B．228 C．455 D．3174
7．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是false，其中false，false．若从该数列的前300项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（　　）
A．false B．false C．false D．false
8．已知等比数列false的各项均为正数，公比为q﹐且false，false，记false的前n项积为false，则下列选项错误的是（　　）．
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知函数false，则下列结论正确的有（　　）
A．函数false的最小正周期为false．
B．将函数false的图象右移false个单位后，得到一个奇函数．
C．false是函数false的一条对称轴．
D．false是函数false的一个对称中心
10．在空间中．false、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的有（　　）
A．若false，false，false，则false
B．若false，false，false，则false
C．若false，false，false，则false
D．若false，false，false，false，则false
11．下列不等关系中，正确的有（　　）
A．若false，则false B．若false，则false
C．false D．false
12．在平面直角坐标系false中，已知双曲线C：false，若圆false与双曲线C的渐近线相切，则下列选项中，正确的有（　　）
A．双曲线C的实轴长为6
B．双曲线C的离心率false
C．点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为false，false，则false
D．直线false与C交于A，B两点，点D为弦false的中点，若false（其中O为坐标原点）的斜率为false，则false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数false，则曲线false在点false处的切线方程为__________．
14．某市场去年各月份的收入、支出的统计数据如下图所示，已知利润P=收入—支出，请根据此统计图写出一个关于利润P的正确统计结论：__________．
15．已知点P在抛物线false上，点F为该抛物线的焦点，又已知点A的坐标为false，则false周长的最小值为__________．
16．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同．南粤流行的“五角粽子”（又称“塔粽”），其形状可以看成所有棱长均相等的正四棱锥．现制作一个棱长均为false的五角粽子，需要在该粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的体积与粽子体积的比值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知条件①false面积false，条件②false；
请从上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
如图，在平面四边形false中，false，false，__________，false，false，求false．
【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．】
18．（本小题满分12分）
已知数列false中，false，且false（false且false）
（1）求数列false的通项公式；
（2）若bfalse，求证：false．
19．（本小题满分12分）
如图，已知四边形false为直角梯形，false，false，false，false，且平面false平面false，false是边长为2的等边三角形．

（1）证明：false；
（2）求二面角false的大小．
20．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为false，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
（1）求第4局甲当裁判的概率；
（2）用随机变量X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列及数学期望．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系false中，已知椭圆C：false右焦点为false，且经过点false．
（1）求椭圆C的方程：
（2）直线false与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线false与x轴交于点M，直线false与x轴交于点N，若false，求证：直线l经过定点．
22．（本小题满分12分）
设函数false，false．
（1）若false恒成立，求a的取值范围；
（2）若false有两个不同的实数根，求a的取值范围．
惠州市2022届高三第一次调研考试
数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
C
B
C
A
D
1．【解析】由false，结合数轴可得false；
2．【解析】∵false，∴复数false对应复平面上的点为false，在第二象限：
3．【解析】由false或false，因此“false”是“false”的充分不必要条件；
4．【解析false由false，得false，∴false．
5．【解析】因为false，所以false，函数false为奇函数，排除A；false时，false恒成立，排除D；因为false，false，排除C．
【另解】当false时，根据一次函数与指数函数的增长速度，可知false，再结合奇偶性可选B．
6．【解析】依据题意可知false，false由于false，
所以false．因此本次考试120分以上的学生约有false人．
7．【解析】依题意数列第1、2项为奇数，第3项为偶数，第4、5项为奇数，第6项又为偶数，依次循环，因此共有偶数false，因此false；
8．【解析】∵false，∴false由false，∴false，
又∵false，∴等比数列false是递减数列，且false，false，∴选项A，B正确：又
false，false，∴选项C正确，选项D错误；
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
题号
9
10
11
12
全部正确选项
AD
ABD
CD
BCD
9．【解析】false，∴false，A正确；﹐将false的图象右移false个单位后得函数false的图像，不满足false，所以false不是奇函数，B错误；因为false，所以false不是函数false的对称轴，而是函数false对称中心的横坐标，C错误，D正确．
10．【解析】由false，false得false，又由false，得false，A正确：由false，false，得false，又由false，得false，B正确；若false，false，false，m，n可能平行也可能是异面直线，C错误；由面面垂直的性质定理知D正确．
11．【解析】：对于A：若false，false，则有false，不正确：对于B：若false，则false，不正确；对于false：因为false，false，false，所以false，正确；对于D：false，false，所以false，正确．
【另解】当判断出A、B选项不正确后，根据多选题的规则可选C、D．
12．【解析】由题意知false的渐近线方程为false，所以false，解得：false，所以半焦距false，所以efalse，故A错误，B正确；设false，由false知：false，所以false，false，所以false．故C正确：
设false，false，false，则false，相減得：false，
则false，则false，则false，故D正确．故选B、C、D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．false；（或“false”）
14．利润最小值为10万元【也可以是：利润最大值为30万元，全年总利润为250万元，月平均利润为20.8万元，利润众数为20万元，等……】；
15．13；16．false【结果可以写成false】
13．【解析】false，false，则false，
故所求切线方程为false，整理得false；
14．【解析】本题为开放题，由图可得，1月到12月的利润分别为20，20，30，20，20，20．20，10，20，30，20，20，故8月份利润低为10万元，3月和1月利润最高，为30万元，全年总利润为250万元，月平均利润为20.8万元，利润众数为20万元，利润方差约为24.3……等正确结论都可以．
15．【解析】因为A在抛物线内部，抛物线的焦点false，抛物线的准线方程为false，false的周长为false，false，∴当过A作准线的垂线交抛物线于点P时，false最小，此时false，false周长的最小值为false．
16．【解析】球的体积要达到最大，则需要球与正四棱锥五个面都相切，
正四棱锥的高为false设球的半径为r，
所以四棱锥的体积false，
故解得false，则false．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骙．
17．（本小题满分10分）
【解析1】选择条件①false的面积false
【解法1】根据三角形面积公式false，
∴false，
由选择条件得false，∴false
在false中，由余弦定理false
∴false
false，
∴false
【注】1、若解答过程无定义a，b，c而使用此三个符号，需扣1分．
2、能正确写出对解题有用的三角形面积计算公式和余弦定理表达式（非文字），可各给1分．
【解法2】根据三角形面积公式false
∴false
∴false，
所以false为等腰三角形，
过B作false
则false
由勾股定理false得false
所以false．
【解析2】选择条件②false；
设false，则false，false
在false中，由正弦定理false，
即false，∴false
在false中，由正弦定理false，
即false，∴false
∴false，∴false
又false，∴false
则false，
所以false．
【注】1、若解答过程无写出false，需扣1分．
2、能正确写出对解题有用的正弦定理表达式（非文字），可给1分，但不重复给分．
3、无过程直接得出false或false，最多可得4分（公式1分及8—10分点）
18．（本小题满分12分）
【解析】
（1）【解法1】由已知得false，
∴false，
即false，
又false，∴false
所以false
【注】1、过程有体现累加的思想，可得1分．
2、若等差数列求和出现项数或首项错误，但能写出等差数列求和公式表达式，可得1分．
【解法2】（数学归纳法）
由false得false
false，false
猜测false．
下面用数学归纳法加以证明：
（1）当false时，false，显然成立．
②假设当false时成立，即false
则当false时，false
false
false
false成立．
所以false
【注】1、只有猜测结果且正确，没有证明过程，只可得2分．
2、根据满分卷无瑕疵原则，证明可给满分的情况下，没有写出递推莫基或未指出k的范围（即false，false）需扣1分．
3、证明过程化简未正确写出false的形式，5分点不得分．
（2）∵false∴false
记false，
∴false，①
∴false②
①—②，得false，
false
∴false
又false
∴false，
即false
【注】1、解答过程有错位相减法的思想，可得1分．
2、其它类似解法可按本过程得分点对应给分即可．
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）【解法1】在直角梯形false中，因为false，false，false，
所以false；
因为平面false平面false，平面false平面false，
false平面false且false，
所以false平面false，
因此在false中，false．
因为false所以false平面false，
所以在false中false．
所以在false中，false，
所以false．
【解法2】如图，取false中点O，连结false，false，false，则false
在直角梯形false中，因为false，false，false，
false；
在false中，false．
在false中，false
所以在false中，false，即false．
因为平面false平面false，平面false平面false，
false平面false且false，
所以false平面false，
又false平面false，false
又false平面false，false平面false，false
所以false平面false，
又false平面false，
所以false
（2）【解法1】设线段false的中点为O，连接false，false
因为false是等边三角形，所以false，
因为平面false平面false，平面false平面false，
所以false平面false，又false平面false，false，
由（1）知false，
所以false平面false，所以false，
因此false是二面角false的平面角，
在false中，false，
因为false，
所以false
即二面角false为false．
【注】1、能正确指出二面角的平面角，可得1分．
2、二面角的平面角证明过程得2分，注意可能在第（1）小问证明中已经有这个过程．
【解法2】如图，以O为false点，过O作平行于false的直线为x轴，
以false方向直线为y轴，以false方向直线为z轴建立空间直角坐标系，
false，false，∴false
false，∴false，
设面false的法向量为false，由false面false得：
false，即false，
∴false，
令false，∴falsefalse，∴false
又false面false，∴面false的法向量为false，
∴false，
因为false∴false，
由图可得二面角false为锐角，∴二面角false为false．
【注】1、本过程7分可分解为：建系1分，向量1分，法向量方程组1分，法向量各1分，余弦值1分，结论1分．
2、空间点的坐标没有得分点．
20．（本小题满分12分）
【解析】（1）记false表示事件“第2局结果为甲胜”，
false表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则false
false
false
false
所以第4局甲当裁判的概率为false．
（2）X的所有可能取值为0、1、2，【无此步骤，该得分点不得分】
记false表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，
false表示事件“第1局结果为乙胜丙”，
false表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，
false表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”
则false，
false，
false，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P
false
false
false
false
false
【注】1、分布列无列表，则不给列表的1分．
2、计算结果出错，则期望值公式给1分．注意期望值公式必须包含false即期望值公式写成false则公式分为0分．
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）设椭圆的焦距为false，则false
false
解得false（或写成false）
∴椭圆C的方程为false；
（2）证明：设false，false，由false
消去y得：false，
由韦达定理得false，false①
由false与false可得直线false的方程为：false，
∴false，
同理：false），
又false，∴false，
化简得false，
∴false
将①代入上式得false
化简得：false，
因为false，∴false
∴直线l的方程为：false，经过定点false．
【注】1、10分点11分点的每一步都不能省略．
22．（本小题满分12分）
【解析】（1）∵false，false，∴false，
令false，则false，
令false，则false，且函数false单调递减，
∴false在false上单调递增，false上单调递减，
∴false，
∴false．
（2）【解法1参变分离】
由false，得false，得false，
令false，其中false，
则false，
令false，false，
当false时，false，此时函数false单调递增
当false时，false，此时函数false单调递减．
∵false，false，
当false，false，
当false时，false，则false；
当false时，false，则false．
∴函数false在区间false上单调递增，在区间false单调递减，
则false，
且当false时，false，
当x→0时，false，
则false
即a的取值范围是false．
【解法2带参讨论】
false有两个不同的实根，即false有两个不同的正根，
令false，false
false
当false时，false在false恒成立，则false在false上单调递增，不满足题设；
当false时，令false，由false可知
存在false，false，使false且false，
则由false得false（*）
因为false在false上单调递增，在false上单调递减，
∴false
将（*）式代入上式，得false．
令false，则false在false上单调递增且false，
欲使false有两个零点，则需false，
则false，
∴false，即false，
化解得false，即false，
∴a的取值范围为false．