4.3.3对数函数y=logax的图像和性质(第二课时） 课件（共63张PPT）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

(共63张PPT)
第二课时
（☆重点题型全解☆）
北师大（2019）必修1
看看这一节我们要学什么
1.函数求值
2.奇偶性
3.单调性及其应用
4.两种特殊的恒成立不等式
环节一
复习对数函数的图像和性质
函数
y＝logax(a＞1)
y＝logax(0＜a＜1)
图像
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;
当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;
当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大
函数
y＝logax(a＞1)
y＝logax(0＜a＜1)
性质
定义域：_____________
值域：___________
过点_______，即x＝1时，y＝______.
x______1时,y＞0;
_________时,y＜0.
x______1时，y＜0;
_________时,y＞0.
单调性：在(0，＋∞)上是增函数.
单调性：在(0，＋∞)上是减函数.
(0，＋∞)
R
(1,0)
0
＞
＞
0＜x＜1
0＜x＜1
环节二
对数型函数求值
1.对数型函数求值
直接代入
1.对数型函数求值
分段代入
1.对数型函数求值
换元代入
1.对数型函数求值
换元代入
1.对数型函数求值
求参代入
环节二
对数型函数求式
2.对数型函数求式
待定系数法
解析:由对数函数的概念可设该函数的解析式为y=logax(a>0,且a≠1,x>0),则2=loga4=loga22=2loga2,即loga2=1,得a=2.故所求函数的解析式为y=log2x.
答案:A
2.对数型函数求式
反函数
解析:易知函数y=f(x)是函数y=ex的反函数,
所以f(x)=lnx.答案:C
2.对数型函数求式
抽像关系
解析:因为f(x)=logax(a>0,且a≠1),
所以f(xy)=loga(xy).又f(x)+f(y)=logax+logay=loga(xy),
所以f(xy)=f(x)+f(y).
2.对数型函数求式
利用奇偶性
解析:设x<0,则-x>0.
又x>0时,f(x)=log2x,∴f(-x)=log2(-x).
又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:D
改变自变量
中间解析式
2.对数型函数求式
利用图像
2.对数型函数求式
换元法
经典题：换元+赋值
环节三
对数型函数奇偶性
3.对数型函数奇偶性
判证
解析:因为3x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R.又因为f(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数.答案:B
3.对数型函数奇偶性
判证
3.对数型函数奇偶性
判证
化简函数前就求定义域，不要化简后求定义域
3.对数型函数奇偶性
判证
如果不结合定义域化简，从表面看，这
是个非奇非偶函数。所以，在使用定义判证奇偶性时，要求定义域且在定义域下化简，再用定义或观察法判证。
经验
3.对数型函数奇偶性
求参
3.对数型函数奇偶性
求参
3.对数型函数奇偶性
求参
3.对数型函数奇偶性
求参
3.对数型函数奇偶性
求值
伪奇函数求值，核心还是奇函数
环节四
对数型函数单调性
4.对数型函数单调性
判证
例6（1）函数y＝ln
(1－x)，判断其单调性
4.对数型函数单调性
判证
4.对数型函数单调性
判证
4.对数型函数单调性
求区间
例7（1）求函数y=|log2x|的单调区间
解析:有关函数图象的变换是考试的一个热点,本题的图象变换是翻折变换,可知这个函数的图象是将y=log2x的图象位于x轴下方的部分关于x轴翻折上去,位于x轴及上方的部分保留不变而得到.
4.对数型函数单调性
求区间
经验
函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象
y=|logax|(a>0,且a≠1)的图象.
y=loga|x|(a>0,且a≠1)的图象.
函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象
4.对数型函数单调性
求区间
性质法【同增异减】，定义域优先。此类题在对数复合函数中出现过，定义域不是问题，但在对数复合函数中，要特别注意。具体说明如下
经验
(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax).
①对于y=logaf(x)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.
(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.
4.对数型函数单调性
求参
4.对数型函数单调性
求参
例8（2）若函数y=log(1-2a)x,
x∈(0,+∞)是增函数,则a的取值范围为　　　　　.?
解析:由题意得1-2a>1,所以a<0.
答案:(-∞,0)
4.对数型函数单调性
求参
例8（3）若函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
4.对数型函数单调性
求参
提示：前后都减，且左段不低于右段
4.对数型函数单调性
值域
例9（1）已知函数y=logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1,则a的值为　　　　
4.对数型函数单调性
值域
解:
①
y=log2(x2+4)的定义域为R.
∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2.
∴y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).
4.对数型函数单调性
值域
经验
(1)求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围.
(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logau
(a>0,且a≠1)的值域.
4.对数型函数单调性
值域
例9（3）已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
也可以用换元法
4.对数型函数单调性
值域
例9（4）求函数y=(log2x)2+2log2x-2(x≥4)的值域
设t=log2x(x≥4),则t≥2,于是y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥2,由二次函数的图象(图略)可得,当t=2时,y取最小值6,故函数的值域为[6,+∞).
1.对数型函数的值域问题常用函数的单调性或者换元法解决.
2.在利用换元法时,一定要注意换元后新变量的取值范围.
经验
(1)求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围.
(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logau
(a>0,且a≠1)的值域.
4.对数型函数单调性
解不等式
4.对数型函数单调性
解不等式
4.对数型函数单调性
解不等式
解析:因为1≤log2x≤2,所以log22≤log2x≤log24.
又f(x)=log2x是区间(0,+∞)上的增函数,
所以2≤x≤4,所以f(x)的定义域为[2,4].
答案:[2,4]
4.对数型函数单调性
解不等式
4.对数型函数单调性
解不等式
由①得x+a∴函数f(x)的定义域为(-a,0).
当0由①得x+a>a,得x>0.函数f(x)的定义域为(0,+∞).
故所求函数f(x)的定义域是:
当0当a>1时,x∈(-a,0).
4.对数型函数单调性
解不等式
利用单调性直接脱f
4.对数型函数单调性
解不等式
偶函数自变量加绝对值，再利用增减性脱f
经验
用单调性脱f
1.两边化成标准形式
2.单调性和单调区间清楚。
3.必段把自变量控制在同一单调区间内.偶函数自变量加绝对值。
4.脱f的时候，要把自变量放在区间内
4.对数型函数单调性
比大小
解析:由已知得b>a>c,因为y=3x在定义域内是增函数,所以3b>3a>3c.
答案:A
环节五
其它问题
解不等式
不一定用单调性
例12.已知f(x)=|log3x|.
(1)画出这个函数的图象;
(2)当0f(2),利用函数图象求出a的取值范围.
图像法
解不等式
不一定用单调性
代入法
例14.已知f(x)＝log2(x2＋m)
(1)若函数f(x)的定义域是R，求实数m的取值范围；
(2)若函数f(x)的值域是R，求实数m的取值范围．
定义域R和值域R的区别
[解]　(1)依题意，x2＋m>0对于x∈R恒成立，∴m>0.
(2)令t＝x2＋m，依题意，(0，＋∞)??{t|t＝x2＋m}，又{t|t＝x2＋m}＝{t|t≥m}，则m<0.