重庆市重点中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 重庆市重点中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 950.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-09 13:29:18 | ||
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文档简介
重庆市重点中学2020-2021学年高一下学期期中考试
数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项
答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
复数在复平面内对应的点位于（ ）
第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
在中，，，，则（ ）
B. C. D.
如图3，在中，，，设，，
则（ ）
B. C. D.
已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，，则的外接圆的直径为（ ）
B. C. D.
在中，向量与满足，且，则为（ ）
等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形
6. 如图6，已知、是圆上两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是（ ）
B. C. D.
多选题：本题共4小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对但不全得2分.
9. 已知向量，，，设，的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，角、、所对的边分别为、、，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 有下列说法，其中错误的说法有（ ）
A. 在中，有，则是钝角三角形.
B. 若两条直线与没有公共点，则//.
C. 对于任意的向量，，，都有.
D. 若直线与平面内的一条直线平行，则直线//平面.
12. 若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 角一定为锐角 B.
C. D. 的最小值为
填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
一个球的体积为，则该球的表面积为_____________.
已知复数，为复数的共轭复数，那么_____________.
若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为____________.
16. 如图，已知正方形的边长为，点为的中点.以为圆心，为半径，作圆弧交于点.若为劣弧上的动点，则的最小值为______________.
四、解答题(共70分)
（本小题满分10分）已知平面向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
18.（本小题满分12分）如图，在圆锥中，、为底面圆的两条直径，交于点，且，为的中点，.
（1）求证：//平面；
（2）求圆锥的表面积和体积.
19.（本小题满分12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
20.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点.
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求证：平面//平面.
21.（本小题满分12分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，求周长的取值范围.
22.（本小题满分12分）由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考查山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块三角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，（为长度单位），其中、为垂足.陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息。
（1）求点到点的距离和点到点的距离；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
重庆市重点中学2020-2021学年高一下学期期中考试
数学参考答案
A 2. C 3. D 4. C 5. D 6. B 7. C 8. B
9. BD 10. ABC 11.BCD 12. BC
13. 14. 15. 16.
解：
∵锐角，且，∴,得
∴，故选B
解：由题得，
∵，.
对于，由题可得，，∵，∴，
又∵，∴，故为钝角，错误.
对于，由余弦定理，
∴，，故正确.
对于，由正弦定理和余弦定理，，
由得，，故，，
∴，，即，故正确.
对于，，
∵，∴，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为，故错误.
16解：如图，建立平面直角坐标系，则，.
由题意可设，
则，
，其中. ∴的最小值为.
17解：（1）∵，∴，
即，解得或.
∵，∴，即，解得或.
当时，，，，；
当时，，，，.
18解：（1）连接，∵、分别为、的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面.
∵，，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，
∴圆锥的体积.
∵，∴圆柱的表面积.
19解：（1）∵，∴，
，，∵，∴.
（2）∵，∴.
又∵，
∴.
20证明：（1）∵、分别为，的中点，∴，
∵三棱柱中，，∴，∴、、、四点共面.
（2）∵、分别为，的中点，∴.
∵平面，平面，∴平面.
∵，且，∴四边形是平行四边形，∴.
∵平面，平面，∴平面.
∵，，平面，∴平面平面.
21.解：（1）∵，∴，
∴，
，
，，，.
∵，∴，∴，得.
解法1 ∵，∴
∵，∴，∴，
即周长的取值范围为.
解法2 ∵，∴，，
∴，即，，当且仅当时取“=”.
∵，∴，即周长的取值范围为.
22解：（1）连接，在中，，
∵，∴.
∵，∴，
在中，由正弦定理知，，即，∴，
连接，在中，，
∴，故点到点的距离为.
（2）由三角形面积公式知，，
∵
∴，
∴，当且仅当，即，时，等号成立，
此时，
故当时，该三角形区域面积最小，面积的最小值为.
数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项
答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
复数在复平面内对应的点位于（ ）
第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
在中，，，，则（ ）
B. C. D.
如图3，在中，，，设，，
则（ ）
B. C. D.
已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，，则的外接圆的直径为（ ）
B. C. D.
在中，向量与满足，且，则为（ ）
等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形
6. 如图6，已知、是圆上两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是（ ）
B. C. D.
多选题：本题共4小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对但不全得2分.
9. 已知向量，，，设，的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，角、、所对的边分别为、、，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 有下列说法，其中错误的说法有（ ）
A. 在中，有，则是钝角三角形.
B. 若两条直线与没有公共点，则//.
C. 对于任意的向量，，，都有.
D. 若直线与平面内的一条直线平行，则直线//平面.
12. 若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 角一定为锐角 B.
C. D. 的最小值为
填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
一个球的体积为，则该球的表面积为_____________.
已知复数，为复数的共轭复数，那么_____________.
若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为____________.
16. 如图，已知正方形的边长为，点为的中点.以为圆心，为半径，作圆弧交于点.若为劣弧上的动点，则的最小值为______________.
四、解答题(共70分)
（本小题满分10分）已知平面向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
18.（本小题满分12分）如图，在圆锥中，、为底面圆的两条直径，交于点，且，为的中点，.
（1）求证：//平面；
（2）求圆锥的表面积和体积.
19.（本小题满分12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
20.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点.
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求证：平面//平面.
21.（本小题满分12分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，求周长的取值范围.
22.（本小题满分12分）由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考查山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块三角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，（为长度单位），其中、为垂足.陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息。
（1）求点到点的距离和点到点的距离；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
重庆市重点中学2020-2021学年高一下学期期中考试
数学参考答案
A 2. C 3. D 4. C 5. D 6. B 7. C 8. B
9. BD 10. ABC 11.BCD 12. BC
13. 14. 15. 16.
解：
∵锐角，且，∴,得
∴，故选B
解：由题得，
∵，.
对于，由题可得，，∵，∴，
又∵，∴，故为钝角，错误.
对于，由余弦定理，
∴，，故正确.
对于，由正弦定理和余弦定理，，
由得，，故，，
∴，，即，故正确.
对于，，
∵，∴，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为，故错误.
16解：如图，建立平面直角坐标系，则，.
由题意可设，
则，
，其中. ∴的最小值为.
17解：（1）∵，∴，
即，解得或.
∵，∴，即，解得或.
当时，，，，；
当时，，，，.
18解：（1）连接，∵、分别为、的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面.
∵，，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，
∴圆锥的体积.
∵，∴圆柱的表面积.
19解：（1）∵，∴，
，，∵，∴.
（2）∵，∴.
又∵，
∴.
20证明：（1）∵、分别为，的中点，∴，
∵三棱柱中，，∴，∴、、、四点共面.
（2）∵、分别为，的中点，∴.
∵平面，平面，∴平面.
∵，且，∴四边形是平行四边形，∴.
∵平面，平面，∴平面.
∵，，平面，∴平面平面.
21.解：（1）∵，∴，
∴，
，
，，，.
∵，∴，∴，得.
解法1 ∵，∴
∵，∴，∴，
即周长的取值范围为.
解法2 ∵，∴，，
∴，即，，当且仅当时取“=”.
∵，∴，即周长的取值范围为.
22解：（1）连接，在中，，
∵，∴.
∵，∴，
在中，由正弦定理知，，即，∴，
连接，在中，，
∴，故点到点的距离为.
（2）由三角形面积公式知，，
∵
∴，
∴，当且仅当，即，时，等号成立，
此时，
故当时，该三角形区域面积最小，面积的最小值为.
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