22.1.4：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 同步提高课时练习（含解析）

22.1.4：二次函数y=ax2 bx c的图像和性质
1．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是(﹣4，0)，(6，0)，则抛物线的对称轴是(　　)
A．1 B．直线x=1 C．2 D．直线x=2
2．如图，将函数false的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（-4，m），B（-1，n）,平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是 （ ）
A． false B． false C． false D． false
3．关于二次函数false，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象是抛物线，且开口向下 B．函数图象的顶点坐标是false
C．函数图象与false轴没有交点 D．当false时，false随false的增大而减小
4．若二次函数false的图像经过false三点，则false的大小关系是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x=﹣false．下列结论中，正确的是(　　)
A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
6．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论，其中不正确的是（　　）
A．当m=2时，函数图象的顶点坐标为false
B．当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长大于3
C．当m＜0时，函数在x＜false时，y随x的增大而增大
D．不论m取何值，函数图象经过两个定点
7．已知二次函数y=﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式，结果是（　　）
A．y=﹣（x﹣1）2﹣2 B．y=﹣（x﹣1）2+2 C．y=﹣（x﹣1）2+4 D．y=﹣（x+1）2﹣4
8．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是(　　)
A．y=(x+1)2+1 B．y=(x﹣3)2+1 C．y=(x﹣3)2﹣5 D．y=(x+1)2+2
9．二次函数false的图象如图，且false则（ ）
A．false B．false C．false D．以上都不是
10．设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=（x-1）2-3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．抛物线false的顶点坐标为false　　false
A．false B．false C．false D．false
12．关于抛物线false的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线false
C．抛物线对称轴左侧部分是下降的 D．抛物线顶点到false轴的距离是2
13．在平面直角坐标系中，把抛物false线，向右平移false个单位，再向下平移false个单位得到的抛物线的为（ ）
A．false B．false C．false D．false
14．已知二次函数false（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．false或1 B．false或1 C．false或false D．false或false
15．函数false的图象与x轴两个交点的横坐标分别为false，false，且false＞1，false，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（　　）
A．m=2b+5 B．m=4b+8 C．m=6b+15 D．false
16．已知false，false是抛物线false上的点，下列命题正确的是（ ）
A．若false，则false B．若false，则false
C．若false，则false D．若false，则false
17．在同一坐标系内，一次函数false与二次函数false的图象可能是
A． B． C． D．
18．已知二次函数false（false）的图象如图所示，对称轴是直线false，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（ ）
A．①② B．只有① C．③④ D．①④
19．二次函数false的图像的顶点坐标是_________．
20．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象如图，将二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象平移，使二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法：_______．
21．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，则铅球所经过的路线的函数表达式为________
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+false（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为_____．
23．在平面直角坐标系中，已知false和false是抛物线false上的两点，将抛物线false的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
24．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．
25．抛物线false过点false，且false，则抛物线的对称轴是______．
26．二次函数false在3≤false≤5范围内的最小值为________．
27．已知二次函数y＝2x2﹣bx+1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为_____．
28．抛物线y=2x2+3上有两点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），且x1≠x2 ， y1=y2 ， 当x=x1+x2时，y=________．
29．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则a﹣b+c的最小值是_____．
30．下列关于函数y＝x2﹣4x+6的四个命题：
①当x＝2时，y有最大值2；
②若函数图象过点(a，m0)和(b，m0+1)，其中a＞0，b＞2，则a＜b；
③m为任意实数，x＝2﹣m时的函数值大于x＝2+m时的函数值；
④若m＞2，且m是整数，当m≤x≤m+1时，y的整数值有（2m﹣2）个．
上述四个命题中，其中真命题是_____．（填写所有真命题的序号）
31．二次函数false的图象的对称轴是直线false______________________．
32．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③,3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．⑤false（m为任意实数）其中正确的结论有_____．（填序号）
33．已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.
34．如图，抛物线y＝﹣falsex2+falsex+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为_____．
35．求图象为下列抛物线的二次函数的表达式：
(1)抛物线false经过点false，false．
(2)抛物线的顶点坐标为false，且抛物线经过点false．
36．如图，已知二次函数false的图象与false轴，false轴分别交于Afalse 三点，A在B的左侧，请求出以下几个问题：
（1）求点Afalse的坐标；
（2）求函数图象的对称轴；
（3）直接写出函数值false时，自变量x的取值范围．
37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数false的图像经过点false，点false，与false轴交于点false，
（1）求false、false的值：
（2）若点false为直线false上一点，点false到直线false、false两点的距离相等，将该抛物线向左(或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点false，求新抛物线的顶点坐标.
38．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（5，0），过点D（0，false）作y轴的垂线DP交图象于E、F．
（1）求b、c的值和抛物线的顶点M的坐标；
（2）求证：四边形OAFE是平行四边形；
（3）将抛物线向左平移的过程中，抛物线的顶点记为M′，直线DP与抛物线的左交点为E′，连接OM′，OE′，当OE′+OM′的值最小时求直线OE′的解析式．
39．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
40．把抛物线false先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线false．
（1）直接写出抛物线false的函数关系式；
（2）动点false能否在拋物线false上？请说明理由；
（3）若点false都在抛物线false上，且false，比较false的大小，并说明理由．
41．如图，已知二次函数false的图象经过点false，false，与false轴交于点false．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点false，使false，若存在请直接写出点false的坐标．若不存在，请说明理由．
42．如图，抛物线顶点A的坐标为（1,4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0,3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，-3），在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得EP+FP最小，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
43．已知二次函数false．
（1）图像经过原点，求false的值；
（2）图像的对称轴为false轴，求false的值；
（3）图像的顶点在false轴上，求false的值．
44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线false与false轴交于false两点，与false轴交于点C，点D时抛物线的顶点
（1）求抛物线的解析式和直线false的解析式；
（2）试探究：在抛物线上是否存在点P，使得以点false为顶点，false为直角边的三角形是直角三角形，若存在，请求出，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
45．如图，抛物线经过点false、false、false．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点false是抛物线上的动点，当false时，试确定m的值，使得false的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足false，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【解析】根据二次函数的性质求解可得．
【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是(﹣4，0)，(6，0)，
∴对称轴为false，
故选：B．
【点评】本题考查了求抛物线的对称轴问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．D
【解答】
分析：过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，过A′作A′D∥x轴，交B′B的于点D，则C（-1，m），AC=-1-(-4)=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．
详解：过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，过A′作A′D∥x轴，交B′B的于点D，则C（-1，m），
∴AC=-1-(-4)=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴矩形ACD A′的面积等于9，
∴AC·AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
∴新函数的图是将函数y=false（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到的，
∴新图象的函数表达式是y=false（x-2）2+1+3=false（x-2）2+4．
故选D．
点睛：此题主要考查了二次函数图象变换以及矩形的面积求法等知识，根据已知得出AA′的长度是解题关键．
3．C
【解析】根据false是二次函数，且a<0可判断A项；将二次函数配方得到顶点式，可判断B项；求出△值，可判断C项；根据抛物线的对称轴为x=1，且抛物线开口向下，可判断D项．
【解答】∵false是二次函数，a<0，
∴抛物线开口向下，A项正确；
false=-(x2-2x+1)=-(x-1)2，
∴抛物线的顶点坐标是false，B项正确；
△=b2-4ac=4-4×(-1)×(-1)=0，
∴函数图像与x轴有一个交点，C项错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，且抛物线开口向下，
∴当false时，false随false的增大而减小，D项正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．
4．C
【解析】由抛物线的对称轴及其开口方向得出离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越大，据此求解可得答案．
【解答】解∵抛物线y＝x2－4x+3的对称轴为直线x＝2，且抛物线的开口向上，
∴离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越大，
∵﹣1、2、4到对称轴的水平距离分别为3、0、2，
∴y2＜y3 ＜y1．
故选：C．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质等知识点，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解本题的关键．
5．D
【解析】
由图象对称轴为直线x=-false，则-false=-false，得a=b，
A中，由图象开口向上，得a>0，则b=a>0，由抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，则abc<0，故A错误；
B中，由a=b，则a-b=0，故B错误；
C中，由图可知当x=1时，y<0，即a+b+c<0，又a=b，则2b+c<0，故C错误；
D中，由抛物线的对称性，可知当x=1和x=-2时，函数值相等，则当x=-2时，y<0，即4a-2b+c<0，则4a+c<2b，故D正确.
故选D.
点睛：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定.此外还要注意x=1，-1，2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．
6．C
【解析】A、把m=2代入[m﹣1，1+m，﹣2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
C、当x大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y随x增大而减小正确；
D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【解答】因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]；
A、当m=2时，y=x2+3x﹣4=（x+false）2﹣false，顶点坐标是（﹣false，﹣false）；此结论正确；
B、当m＞1时，令y=0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m=0，解得，x1=﹣1，x2=false，
|x2﹣x1|=false＞3，所以当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；
C、当m＜0时，y=（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=﹣false，在对称轴的左边y随x的增大而增大，
因为当m＜0时，﹣false=﹣false=﹣false﹣false＞﹣false，即对称轴在x=﹣false右边，可能大于false，所以在x＞false时，y随x的增大而减小，此结论错误；
D、当x=1时，y=（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0），那么同样的：当x=﹣2时，y=（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m=﹣6，即对任意m，函数图象都经过一个点（﹣2，﹣6），此结论正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查二次函数性质的综合运用，熟练掌握，即可解题.
7．A
【解析】试题解析：y=-x2+2x-3=-（x2-2x+1）+1-3=-（x-1）2-2，
故选A．
点睛：二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
8．A
【解析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】抛物线y=x2﹣2x﹣1可化简为y=(x﹣1)2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，
所得的抛物线的解析式y=(x﹣1+2)2﹣2+3=(x+1)2+1；
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．．
9．A
【解析】根据题意可知，本题考察二次函数图像与系数的关系，根据图像与坐标轴的交点，运用两边相等求出交点坐标，代入坐标进行求解．
【解答】∵false
∴点A、C的坐标为(-c，0)，(0，c)
∴把点A的坐标代入false得
∴false
∴false
∵false
∴false
∴false
故选A
【点评】本题考察二次函数图像与系数关系，解题关键是根据图像得出系数取值范围，再代入点的坐标进行解决．
10．B
【解析】
试题分析：根据二次函数的对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
解：∵函数的解析式是y=(x-1)2-3，
∴对称轴是x=1，
∴点A关于对称轴的点A′是(4,y1)，
那么点B在对称轴上，点C 、A′都在对称轴的右边，
∵false，
∴抛物线开口向上，并且在对称轴的右边y随x的增大而增大，
∵4＞2＞1.
∴y1＞y3＞y2.
故选B.
11．B
【解析】利用顶点公式false ，进行计算
【解答】false
false
false顶点坐标为false
故选B.
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练运用抛物线顶点的公式是解题关键.
12．D
【解析】根据二次项系数的正负性判断开口方向；根据对称轴公式false计算对称轴；根据开口方向判断图象是上升还是下降；根据顶点坐标公式false计算顶点坐标进行判断．
【解答】A：二次项系数为false ，故开口向下，错误；
B：对称轴公式false，错误；
C：开口向下，在对称轴左侧部分上升，错误；
D：顶点坐标公式false代入计算得顶点为false，顶点到false轴的距离是2，正确．
故答案选：D
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，掌握相关的公式以及系数特殊性判断是解题关键．
13．D
【解析】先写出顶点式然后根据左加右减，上加下减求出结果即可．
【解答】解：抛物线false化为顶点式得：false,
向右平移false个单位，再向下平移false个单位得到的抛物线的为: false,化简得：false．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化求解更加简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
14．A
【解析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．
【解答】依题意知a＞0，false＞0，a+b﹣2=0，
故b＞0，且b=2﹣a，
a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，
于是0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又a﹣b为整数，
∴2a﹣2=﹣1，0，1，
故a=false，1，false，
b=false，1，false，
∴ab=false或1，故选A．
【点评】根据开口和对称轴可以得到b的范围．按照左同右异规则．当对称轴在y轴的左侧，则a,b符号相同，在右侧则a,b符号相反．
15．C
【解析】由韦达定理得：false，而false，求出false、false的值，函数的对称轴为直线x=falsefalse=false＜3，故当1≤x≤3时，函数在x=3时，取得最小值，即可求解．
【解答】解：函数false的图象与x轴两个交点的横坐标分别为false，false，
∵false，false，
解得：false=false﹣2，false=2+false，
∵false，
∴b=﹣false；
函数的对称轴为直线x=falsefalse=false＜3
故当1≤x≤3时，函数在x=3时，取得最小值，即m=false=15+6b，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程中根与系数的关系，借助韦达定理计算出方程中的未知系数，再根据对称轴的位置得出最小值与b的关系．
16．C
【解析】分别讨论a>0和a<0的情况，画出图象根据图象的增减性分析x与y的关系．
【解答】根据题意画出大致图象：
当a>0时，x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离，
由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，
当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越大，由此可知A、C正确．
当a<0时， x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离，
由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，
当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越小，由此可知B、C正确．
综上所述只有C正确．
故选C．
【点评】本题考查二次函数图象的性质，关键在于画出图象，结合图象增减性分类讨论．
17．C
【解析】x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【解答】x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
18．D
【解析】
试题分析：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵false，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，①正确；
∵对称轴为直线false，∴false，即2a﹣b=0，②错误；
∴false时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，③错误；
∴x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，④正确；
故选D．
考点：二次函数图象与系数的关系．
19．(-1,4)
【解析】把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标．
【解答】解：∵false=-(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(-1,4)．
故答案为(-1,4)．
【点评】本题考查了二次函数的性质，把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键．
20．向左平移1个单位，再向下平移4个单位
【解析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
【解答】解：将二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象平移，使二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象的最高点与坐标原点重合，
则平移的方法是向左平移1个单位，再向下平移4个单位，
故答案为：向左平移1个单位，再向下平移4个单位．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
21．false
【解析】由抛物线的顶点坐标为（4，3），可设其解析式为false，再将（0，false）代入求出a的值即可．
【解答】解：由图知，抛物线的顶点坐标为（4，3），
故设抛物线解析式为false，
将点（0，false）代入，得：false，
解得false，
则抛物线解析式为false，
故答案为：false．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．2
【解析】首先根据抛物线的解析式求出A，P的坐标，进而可求出B的坐标，然后设直线OP的解析式为false，将点P的坐标代入求出解析式，然后再将点B的坐标代入建立一个关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+false（afalse0）与y轴交于点A，
∴A（0，false），抛物线的对称轴为x＝1,
∴顶点P坐标为（1，false﹣a），点M坐标为（2，false）．
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，false）．
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0），
将点P（1，false）代入得false＝k，
∴y＝（false）x．
将点B（4，false）代入得false＝（false）×4，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数综合，掌握二次函数的性质和待定系数法是解题的关键．
23．4
【解析】通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值．
【解答】∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴false,即false,
∴b=﹣4．
false．
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
【点评】本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴．
24．y＝x2+2x（答案不唯一）．
【解析】
【解析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．
【解答】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），
∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），
把a＝1代入，得y＝x2+2x．
故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．
25．false
【解析】根据a+b+c=0，求出点B坐标为（1，0），点A、B的纵坐标相等，利用二次函数的对称性列式计算即可得解；
【解答】解：∵抛物线false中，a+b+c=0，
∴该抛物线必过点B（1，0），
∵点A（-2，0），B（1，0），纵坐标都是0，
∴此抛物线的对称轴是直线x=false；
故答案为：直线x=false.
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.
26．false
【解析】根据题中的函数解析式，可以得到该函数在false的取值范围内，取得的最小值，从而可以解答本题．
【解答】false，
可见该二次函数图象的对称轴是false，false，开口向上，且在false范围内false随false的增大而增大，
∴当false时，false．
故答案为：false．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
27．b≥4
【解析】先求出对称轴x＝false，再由已知可得false≥1，即可求b的范围.
【解答】∵y＝2x2﹣bx+1，
∴对称轴为x＝false，
∵当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴false≥1，
故答案为：b≥4.
【点评】此题考查二次函数的对称轴，二次函数的增减性，熟记二次函数false的性质是解此题的关键.
28．3
【解答】试题分析：先由x1≠x2，y1=y2，可知点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于抛物线y=2x2+3的对称轴对称，由此求出x=x1+x2=0，再将x=0代入，即可求出y的值．
解：∵抛物线y=2x2+3上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1=y2，
∴点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于抛物线y=2x2+3的对称轴对称．
∵对称轴为直线x=0，
∴x1+x2=2×0=0，
将x=0代入，得y=2×02+3=3．
故答案为3．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
29．﹣15．
【解析】由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，可以求出抛物线的a值；当顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，即可求解．
【解答】解：由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）2+4，
将点A坐标（-3，0）代入上式得：0=a（-3+1）2+4，
解得：a=-1，
当x=-1时，y=a-b+c，
顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，
顶点在N处，抛物线的表达式为：y=-（x-3）2+1，
当x=-1时，y=a-b+c=-（-1-3）2+1=-15，
故答案为-15．
【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，本题的核心是确定顶点在M、N处函数表达式，其中函数的a值始终不变．
30．②④
【解析】分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴当x＝2时，y有最小值2，故①错误；
当x＝2+m时，y＝（2+m）2﹣4（2+m）+6，
当x＝2﹣m时，y＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+6，
∵（2+m）2﹣4（2+m）+6﹣[（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+6]＝0，
∴m为任意实数，x＝2+m时的函数值等于x＝2﹣m时的函数值，故③错误；
∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，
∵a＞0，b＞2，
∴a＜b；故②正确；
∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2，a＝1＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
当x＝m+1时，y＝（m+1）2﹣4（m+1）+6，
当x＝m时，y＝m2﹣4m+6，
（m+1）2﹣4（m+1）+6﹣[m2﹣4m+6]＝2m﹣3，
∵m是整数，
∴2m﹣2是整数，
∴y的整数值有（2m﹣2）个；故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查了二次函数的意义、性质和图象，能够根据二次函数的性质数形结合是解决问题的关键．
31．false
【解析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=-false进行计算即可．
【解答】二次函数false的图象的对称轴是直线x=-false =4，
故答案为：4．
【点评】此题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=-false．
32．①③⑤
【解析】由抛物线的对称轴方程得到b=-4a>0，则可对①进行判断；由于x=-3时，y<0，则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点为（-1，0）得a-b+c=0，把b=-4a代入可得3a+c=-2a，结合a＜0，于是可对③进行判断；根据二次函数图象的对称轴与函数的性质可对④进行判断；通过false≤0，可判断⑤．
【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=false=2，
∴b=?4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=?3时，y<0，
∴9a?3b+c<0，即9a+c<3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为(?1,0)，
∴x=?1时，a?b+c=0，
∴a+4a+c=0，
∴3a+c=-2a，
∵a＜0，
∴3a+c=-2a＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，
∴当-1＜x<2时，函数值随x增大而增大，所以④错误；
∵b=?4a，
∴false=false，
∴false，∴⑤正确．
故答案为①③⑤．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数各项系数与函数图象的关系，是解题的关键．
33．（1,4）.
【解答】试题分析：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线可得b=2，c=3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.
考点：抛物线的顶点.
34．2false
【解析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．
【解答】解：当y＝0时，﹣falsex2+falsex+2＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
当x＝0时，y＝﹣falsex2+falsex+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
当y＝2时，﹣falsex2+falsex+2＝2，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴点D的坐标为（2，2）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：
false解得：false
∴直线AD的解析式为y＝falsex+1．
当x＝0时，y＝falsex+1＝1，
∴点E的坐标为（0，1）．
当y＝1时，﹣falsex2+falsex+2＝1，
解得：x1＝1﹣false，x2＝1+false，
∴点P的坐标为（1﹣false，1），点Q的坐标为（1+false，1），
∴PQ＝1+false﹣（1﹣false）＝2false．
故答案为：2false．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P，Q的坐标是解题的关键．
35．（1）false；（2）false
【解析】（1）把两点的坐标代入得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到抛物线解析式；
（2）根据题意可直接设y＝a（x?3）2?5，把点（0，1）代入求得a的值即可．
【解答】（1）∵抛物线false经过点false和点Bfalse，
∴false
解得false
∴此抛物线的二次函数的表达式false．
（2）∵抛物线的顶点坐标为（3，-5），
∴设这个抛物线的二次函数的表达式为false．
又∵抛物线经过点（0，1），
∴false．
∴false．
∴这个抛物线的二次函数的表达式为false．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式．
36．（1）A(false) B(false)；（2）xfalse；（3）false．
【解析】（1）令false则false，解方程即可；
（2）根据二次函数的对称轴公式false代入计算即可；
（3）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可．
【解答】解：（1）令false则false，解得 false
∴A(false) B(false)；
（2）false
∴对称轴为false；
（3）∵false，
∴图像位于x轴下方，
∴x取值范围为false ．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，对称轴求法，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键．
37．（1）false，false；（2）平移后函数的顶点为false或false
【解析】(1)将点A(-1,0)和点B(3,0)代入得到a，b的方程组，求出方程组的解得到a，b的值；?
(2)先求出P点的坐标，令false得false，false，可知函数需向左平移false个单位或向右平移false个单位，即可求得新抛物线的顶点坐标.
【解答】(1)∵抛物线false的图像经过点false，点false，
∴false，
解这个方程组得：false，
∴false，false
(2）∵点false到直线false、false两点的距离相等，
∴点P在抛物线的对称轴上，
设直线false的解析式为y=kx+b,经过false，C(0,3),
∴y=-x+3,
又∵点false为直线false上一点，
false
令false得false，false
由此可知，函数需向左平移false个单位或向右平移false个单位
原函数顶点为false
∴平移后函数的顶点为false或false
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
38．（1）b＝7，c＝﹣10，M的坐标为（false，false）；（2）见解析；（3）OE′的解析式为y＝﹣falsex
【解析】（1）由抛物线的交点式可直接得到抛物线的解析式，从而可求得b、c的值，然后利用配方法可求得顶点M的坐标；
（2）先求得点E和点F的坐标，从而可得到EF＝OA，然后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；
（3）设抛物线向左平移m个单位时，则M′（false﹣m，false），E′（false﹣m，false），作点M′关于x轴的对称点M″，则点M″（false﹣m，﹣false），当点E′、O、M″在一条直线上时，OE′+OM′有最小值，然后再依据E′M″的图象为正比例函数图象列出关于m的比例式，从而可求得m的值，然后可求得OE′的解析式．
【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x﹣5），即y＝﹣x2+7x﹣10，
∴b＝7，c＝﹣10，
∵y＝﹣x2+7x﹣10＝﹣（x﹣false）2+false，
∴顶点M的坐标为（false，false）；
（2）证明：当y＝false时，﹣（x﹣false）2+false＝false，
解得x1＝false，x2＝false，
则E（false，false），F（false，false），
∵EF＝false﹣false＝2，
而OA＝2，
∴EF＝OA，
∵EF∥OA，
∴四边形OAFE是平行四边形；
（3）设抛物线向左平移m个单位时，OE′+OM′有最小值，则M′（false﹣m，false），E′（false﹣m，false），作点M′关于x轴的对称点M″，则点M″（false﹣m，﹣false）．
由轴对称的性质可知：OM′＝OM″，则OE′+OM′＝OE′+OM″．
∴当点E′、O、M″在一条直线上时，OE′+OM′有最小值．
∴false，
解得：m＝false．
∴k＝false＝﹣false．
∴OE′的解析式为y＝﹣falsex．
【点评】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的判定，能够找到OE′+OM′何时取最小值是解题的关键．
39．（1）y=﹣x2+2x﹣3；（2）需将抛物线向上平移4个单位
【解析】（1）把点B和点C的坐标代入函数解析式解方程组即可；
（2）求出原抛物线上x＝－2时，y的值为－5，则抛物线上点（－2，－5）平移后的对应点为（－2，－1），根据纵坐标的变化可得平移的方向和平移的距离．
【解答】（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得false，
解得false，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x﹣3；
（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2＋2x﹣3得y＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，
点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），
所以需将抛物线向上平移4个单位．
点睛：本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
40．（1）false；（2）不在，见解析；（3）false，见解析
【解析】（1）先求出抛物线false的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；
（2）根据抛物线false的顶点的纵坐标为false，即可判断点false不在拋物线false上；
（3）根据抛物线false的增减性质即可解答．
【解答】（1）抛物线false，
∴抛物线false的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线false的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线false的函数关系式为：false；
（2）动点P不在抛物线false上．
理由如下：
∵抛物线false的顶点为false，开口向上，
∴抛物线false的最低点的纵坐标为false．
∵false，
∴动点P不在抛物线false上；
（3）false．
理由如下：
由（1）知抛物线false的对称轴是false，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点false都在抛物线false上，且false，
∴false．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
41．（1）false；（2）存在，false，false
【解析】
（1）把点AB的坐标代入false即可求解；
（2）分点P在false轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．
【解答】
（1）∵二次函数false的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，
∴false，
解得：false，
∴抛物线的解析式为：false；
（2）存在，理由如下：
当点P在false轴下方时，
如图，设AP与false轴相交于E，
令false，则false，
∴点C的坐标为(0，3)，
∵A(-1，0)，B(3，0)，
∴OB=OC=3，OA=1，
∴∠ABC=45false，
∵∠PAB=∠ABC=45false，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∴OA=OE=1，
∴点E的坐标为(0，-1)，
设直线AE的解析式为false，
把A(-1，0)代入得：false，
∴直线AE的解析式为false，
解方程组false，
得：false(舍去)或false，
∴点P的坐标为(4，false)；
当点P在false轴上方时，
如图，设AP与false轴相交于D，
同理，求得点D的坐标为(0，1)，
同理，求得直线AD的解析式为false，
解方程组false，
得：false(舍去)或false，
∴点P的坐标为(2，false)；
综上，点P的坐标为(2，false)或(4，false)
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组，分类讨论是解本题的关键．
42．（1）y=?x2+2x+3；（2）存在，P(1,0)，理由见解析；
【解析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于P，此时EP+FP的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点P；
【解答】（1）设抛物线的表达式为：y=a(x?1)2+4，
把(0,3)代入得：3=a(0?1)2+4，
解得：a=?1，
∴抛物线的表达式为：y=?(x?1)2+4=?x2+2x+3；
（2）存在，
作E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于P，此时EP+FP的值最小，
∵E(0,3)，
∴E′(2,3)，
易得E′F的解析式为：y=3x?3，
当x=1时，y=3×1?3=0，
∴P(1,0)．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题是解题的关键．
43．（1）m=0；（2）m=1；（3）m=-1
【解析】（1）将原点坐标代入解析式，解之即可得m的值；
（2）由对称轴为y轴，得到false，解之即可；
（3）顶点在x轴上，则有false，解之即可．
【解答】解：（1）因为图像经过原点
所以false，false；
（2）因为对称轴为y轴，
所以false，
解得：false；
（3）因为顶点在x轴上，
所以false
false．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．
44．（1）false；直线AC的方程为false；（2）存在，点P的坐标为false或false．
【解析】（1）根据抛物线与false的交点坐标false，设抛物线的解析式为false，化简得false，与原题的解析式对比，易得false，解出a的值，代入所设解析式即可得抛物线解析式；
根据抛物线与false轴交于点C，可求得false，设直线AC的解析式为false，把A、C的坐标代入可求出false，从而即可求得直线AC的解析式；
（2）分两种情况求解：①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，则直线PC的解析式为false，再联立false，可求得交点P的坐标为false；
②过点A作AC的垂线交抛物线于点P，则可得所以直线PC的解析式为false，联立false，可求得点P的坐标为false．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为false，
false，
∵false，
false，
∴false，
所以抛物线的解析式为false；
当false时， false，
∴false；
设直线AC的解析式为false，
把false代入， false，
所以false，
所以直线AC的方程为false；
(2)存在；理由如下：
①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，
∵直线AC的方程为false，
∴直线PC的解析式为false，
解方程组：false，
解得：false或false，
此时点P的坐标为false；
②过点A作AC的垂线交抛物线于点P，
直线PC的解析式为false，
把false代入得false，
所以直线PC的解析式为false，
解方程组：false，
解得：false或false，
所以点P的坐标为false．
综上所述，符合条件的点P的坐标为false或false．
【点评】本题主要考查用待定系数法求抛物线及直线的解析式，求相互垂直直线的解析式以及求抛物线与直线的交点坐标；分清思路，熟练掌握抛物线解析式和直线解析式的求解方法，准确设解，是解答本题的关键．
45．（1）false；（2）false；（3）false
【解析】（1）据题意可设抛物线的解析式为false，将点代入false解出a，即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出直线AC的解析式，然后根据当false时，点false在直线false上方，过点P作x轴的垂线与线段false相交于点Q，可将false分别代入false和false得false，false，从而得出PQ的代数式，从而可求出m的值；
（3）由题意可得false，根据false，false，可求出false，连接false，过B作false的垂线交抛物线于点D，交false于点H，可得false，根据false，可得false与false关于false的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴false对称，即点D与点C关于抛物线的对称轴false对称，从而可求出点D的坐标．
【解答】解：（1）据题意可设抛物线的解析式为false，
将点false代入，可得false
∴抛物线的解析式为false；
（2）设直线AC的解析式为：false，
将false、false代入得false，
解得false，
∴直线false的解析式：false，
当false时，点false在直线false上方，
过点P作x轴的垂线与线段false相交于点Q，
将false分别代入false和false得false，false，
∴false
false
false
∵false，
∴当且仅当false时，false取得最大值，
此时false最大，
∴false；
（3）由false、false、false得false，
∵false，false，
∴false，
连接false，过B作false的垂线交抛物线于点D，交false于点H，
则false，
false，
∵false，
∴false与false关于false的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴false对称，
∴点D与点C关于抛物线的对称轴false对称，
又∵false，
∴点D的坐标为（-2，3）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的性质，求一次函数解析式，结合题意，正确添加辅助线，灵活运用知识点是解题关键．