21.2.2：公式法解一元二次方程 同步提高课时练习（含解析）

21.2.2：公式法解一元二次方程
1．下列方程中，有实数根的是( )
A．n2+4=0 B．m2+m+3=0 C．2x2-falsex-1=0 D．5y2+1=2y
2．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0 C．x2=1 D．x2+1=0
3．若关于x的一元二次方程false有实数根，则a的取值范围为（ ）
A．false B．false C． false且false D． false且false
4．一元二次方程false的解是（ ）
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
5．若方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
6．false 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知a、b、c是false的三边长，且方程false的两根相等，则false为false　　false
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
8．若关于false的一元二次方程false有实数根，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false且 false
C．false且 false D．false
9．关于false的一元二次方程false有实数根，则false的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是（　　）
A．方程没有实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程的根是1、﹣5和false
11．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
12．一元二次方程false的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
13．方程false有两个实数根，则false的取值范围（ ）
A．false B．false且false C．false D．false且false
14．关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+2＝0没有实数根，整数a的最小值为（　　）
A．false B．﹣1 C．﹣2 D．0
15．已知关于x的方程false有实数根，则下列整数不满足a的取值的是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
16．已知关于x的一元二次方程false有两个不相等的实数根，m为整数且false，若t是满足该条件时方程的一个根，则代数式false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．7
17．若实数a，b满足false，则a的取值范围是 （ ）．
A．a≤false B．a≥4 C．a≤false或 a≥4 D．false≤a≤4
18．如果关于false的方程false有两个实数根，且关于false的分式方程false有整数解，则符合条件的整数false的和为（ ）
A．1 B．2 C．6 D．7
19．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是______．
20．一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是__________．
21．关于false的一元二次方程false有实数根，则实数false的取值范围是_________．
22．已知关于 x 的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k（k+2）＝0 有两个不相等的实数根．
（1）写出 k 的取值范围____________；
（2）写出一个满足条件的 k 的值，并写出此时方程的根__________．
23．关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则偶数m的最大值为_____．
24．方程false的解为_____．
25．如果关于false的方程false有两个实数根，则非负整数false的值是_______.
26．命题“关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0，必有两个不相等的实数根”是假命题，则m的值可以是_______．（写一个即可）
27．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是_____．
28．方程x2﹣falsex﹣6＝0的解为_____．
29．—元二次方程false根的判别式的值是_____________；
30．一元二次方程false的解为_____________________．
31．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0．那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①a＝c，②a＝b，③b＝c，④a＝b＝c，正确的是_____（填序号）．
32．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为_____．
33．已知关于x的方程false，在false内有两个不相等的实数根，则n的取值范围是___________________________．
34．若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程false的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是_____．
35．解方程：false．
36．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：
（1）x☆4＝20，求x；
（2）若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
37．关于x的方程false有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
38．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．
39．关于x的一元二次方程false有两个相等的实数根，写出一组满足条件的false的值，并求此时方程的根．
40．关于false的方程false,其中false分别是false的三边长.
(1)若方程有两个相等的实数根，试判断false的形状，并说明理由；
(2)若false为等边三角形，试求出这个方程的解.
41．已知关于false的一元二次方程false有两个不相等的实数根．
(1)求false的取值范围；
(2)若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的false，并求出此方程的根．
42．若A、B代表两个多项式，并且2A+B＝2x2﹣3x+1，A+2B＝x2﹣1．
（1）求多项式A和B；
（2）当m为何值时，以x为未知数的方程A+mB＝0有两个相等的实数根？
43．解方程
（1）用配方法解方程：false．
（2）用公式法解方程：false
44．已知关于false的方程false.
（1）当false时，解这个方程；
（2）当false时，解这个方程.
45．已知：关于false的一元二次方程false（false是整数，且false）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，则false ；此时方程的两个根是 ．
参考答案
1．C
【解析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
【解答】解：A、false=b2-4ac=-16＜0，所以原方程无实数根；
B、false=b2-4ac=-11＜0，所以原方程无实数根；
C、false=b2-4ac=11＞0，所以原方程有实数根；
D、false=b2-4ac=-16＜0，所以原方程无实数根.
故选：C.
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，当false＞0时，方程有两个不相等的实数根；当false=0时，方程有两个相等的实数根；当false＜0时，方程没有实数根.
2．B
【解析】利用根的判别式false，分别进行判定即可，当false时方程有两个相等的实数根.
【解答】解：A. false，所以此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B. 方程化为一般形式为false，false，方程有两个相等的实数根，符合题意；
C. 方程可化为false，false，方程有两个不相等的实数根；不符合题意；
D. false，方程没有实数根，不符合题意；
故答案选B.
【点评】本题考查一元二次方程根的情况，先把方程化成一般形式false，然后利用根的判别式false进行判断，当false时，方程有两个不相等的实数根；当false时，方程有两个相等的实数根；当false时，方程没有实数根.
3．D
【解析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于false的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：false关于false的一元二次方程false有实数根，
falsefalse，
解得：false且false
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式结合一元二次方程的定义找出关于false的一元一次不等式组是解题的关键．
4．B
【解析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
【解答】解：∵false中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x=false，
即false，false，
故选B.
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．
5．D
【解析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
6．D
【解析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．
【解答】解：对于一元二次方程false，方程的根为：false．
因为false，所以false，false，false，
所以对应的一元二次方程是：false．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的求根公式，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
7．C
【解析】方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，即△=0，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．
【解答】原方程整理得(a+c)false+2bx+a?c=0，
因为两根相等，
所以△=false?4ac
=false?4×(a+c)×(a?c)
=4false+4false?4false
=0，
即false+false=false，
所以△ABC是直角三角形．
故选C
【点评】本题主要考查根的判别式，勾股定理的逆定理知识点.
8．C
【解析】根据一元二次方程kx2-2x+1=0有两个实数根，得出△≥0，根据k≠0从而得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac=4-4k≥0，
解得，k≤1，
∵k≠0，
∴k的取值范围是k≤1且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
9．D
【解析】利用判别式的意义得到22-4k≥0，解不等式得到k的范围，然后利用数轴表示不等式解集的方法可对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△=22-4k≥0，解得k≤1．
故选：D
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10．C
【解析】把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式△的符号，即可判断根的情况．
【解答】解：∵原方程可化为x2+x﹣7＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣7，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选C．
【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
11．A
【解析】直接把已知数据代入，进而得出false的值，再解方程求出答案．
【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴（﹣1）2﹣3+c＝0，
解得：c＝2，
故原方程中c＝4，
则b2﹣4ac＝9﹣4×1×4＝﹣7＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程解的意义，根的判别式，正确得出false的值是解题关键．
12．A
【解析】先计算出根的判别式false的值，当false时，方程有两个不相等的实数根；当false时，方程有两个相等的实数根；当false时，方程没有实数根．
【解答】解：原方程可变形为：false
∴false
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式，熟记判别式公式，掌握判别式与一元二次方程根的关系是解此题的关键．
13．B
【解析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到false，false，false，然后解不等式组即可．
【解答】解：根据题意得
false，
false，
false，
解得m≤false且m≠2．
故选B．
14．D
【解析】根据二次项非零及根的判别式△＜0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】∵关于x的一元二次方程（a+1）x2-2x+2=0没有实数根，
∴false，
解得：a＞false．
∵a为整数，
∴a的最小值为0．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
15．D
【解析】根据题意分当a-6=0时，方程化为一元一次方程，有一个实数根；当a-6≠0时，当false方程有两个实数根，从而得到a的范围，然后对各选项进行判断即可．
【解答】解：当a-6=0时，即a=6，方程化为-8x+6=0，解得false，
当a-6≠0时，false，解得false，
所以a的范围为false，false，不满足条件.
故选：D.
【点评】本题考查根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
16．A
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到关于m的不等式组，然后解不等式组，再利用m的范围确定整数m的值，利用m的值得到方程false，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：由题意有：false，
解得m＞0且m≠1．
∵m为整数且m＜3，
∴m=2．
把m=2代入方程false得false
∵t是该方程的一个根，
∴false，即false
∴false．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
17．C
【解析】把falsea?ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】把falsea?ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2?ab+falsea+2＝0
的判别式△≥0，即a2-4（falsea+2）≥0，a2-2a-8≥0，
（a-4）（a+2）≥0，
解得a≤-2或a≥4．
故选C．
18．A
【解析】根据一元二次方程的概念、根的判别式求出false的范围，解分式方程，根据整除法则计算即可．
【解答】解：false方程false有两个实数根，
falsefalse，
解得：false且false．
falsefalse，
false，
又∵false，
∴false，
∴false，false
∵false是整数，
∴false、0、2，
∴符合条件的整数false的和为false
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、分式方程的解法，掌握分式方程的解法、分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式是解题的关键．
19．5
【解答】解：x2﹣3x+1＝0
△=false=（-3）2-4×1×1=9-4=5．
故答案为5．
20．有两个不相等的实数根.
【解析】利用根的判别式△=b2﹣4ac的取值进行判断即可.
【解答】解：∵2x2-5x-2=0，
∴△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，
∴一元二次方程2x2-5x-2=0有两个不相等的实数根.
故答案为：有两个不相等的实数根.
【点评】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：
（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
21．false
【解析】方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：由题意知，△=false≥0，
∴false，
故答案为false．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
22．false． 当false时，方程的根为0和false．
【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于false的一元一次不等式，解之即可得出false的取值范围；
（2）取false，再利用分解因式法解一元二次方程，即可求出方程的根．
【解答】解：（1）false关于false的一元二次方程false有两个不相等的实数根，
false△false，
解得：false．
（2）当false时，原方程为false，
解得：false，false．
false当false时，方程的根为0和false．
故答案为：（1）false；（2）当false时，方程的根为0和false．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△false时，方程有两个不相等的实数根”；（2）取false，再利用分解因式法解方程．
23．2
【解析】
【解析】由方程有实数根，可得出b2﹣4ac≥0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得m的取值范围，再找出其内的最大偶数即可．
【解答】解：当m﹣2＝0时，原方程为2x+1＝0，
解得：x＝﹣false，
∴m＝2符合题意；
当m﹣2≠0时，△＝b2﹣4ac＝22﹣4（m﹣2）≥0，
即12﹣4m≥0，
解得：m≤3且m≠2．
综上所述：m≤3，
∴偶数m的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分方程为一元一次或一元二次方程两种情况找出m的取值范围是解题的关键．
24．false，false
【解析】
【解析】根据一元二次方程的求根公式即可解出.
【解答】解：false false
falsefalse
falsefalse，false
【点评】本题考查了用求根公式解一元二次方程，掌握公式是解题关键.
25．1
【解析】根据一元二次方程根的情况由判别式得到关于k的不等式，即可求k的值．
【解答】解：由题意可知：42-12k≥0且k≠0．
解得k≤false且k≠0，
由于k为非负整数，
∴k=1
故答案是：1．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式求参数，本题属于基础题型．
26．1(答案不唯一)
【解析】根据判别式的意义，当m=1时△＜0，从而可判断原命题为是假命题．
【解答】解：当△=false＜0，可解得false ，所以当m=1时，方程没有实数解，所以m取1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2-mx+1=0，必有两个不相等的实数根”是假命题的反例．故答案为1（答案不唯一）.
【点评】本题考查了一元二次方程的性质定理，灵活运用定理是解体的关键.
27．有两个不相等的实数根
【解析】根据第二象限坐标符号特点，从而确定a、c的符号，再根据一元二次方程根的判别式判断根的情况．
【解答】解：false
false
false
false
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为有两个不相等的实数根.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
28．x＝2false或x＝false
【解析】先得到a,b,c的值，再利用公式法进行计算即可.
【解答】∵x2﹣falsex﹣6＝0，
∴a＝1，b＝-false，c＝﹣6，
∴△＝3+24＝27，
∴x＝false ，
∴x＝2false或x＝-false，
故答案为：x＝2false或x＝-false
【点评】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.
29．17
【解析】根据根的判别式的内容求出即可．
【解答】解：2x2-3x-1=0，
△=（-3）2-4×2×（-1）=17，
即一元二次方程2x2-3x-1=0根的判别式的值是17，
故答案为：17．
【点评】此题考查根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解题的关键．
30．false
【解析】先将原方程化成一般式，然后再运用一元二次方程的求根公式解答即可．
【解答】解：∵false
∴false
△＝52-4×3=13
∴false,即false．
故答案为false．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，将原方程化成一般式是解答本题的关键．
31．①
【解析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，再由a+b+c＝0，把表示出b代入根的判别式中，变形后即可得到a＝c．
【解答】解：∵方程有两个相等实数根，且a+b+c＝0，
∴b2﹣4ac＝0，b＝﹣a﹣c，
将b＝﹣a﹣c代入得：a2+2ac+c2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
则a＝c．
故答案为：①．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
32．3．
【解析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
【解答】解：∵方程2x2+4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝42﹣4×2×（m﹣1）＝24﹣8m＝0，
解得：m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是得出方程24﹣8m＝0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程是关键．
33．-7＜n≤-5
【解析】根据“方程有两个不相等的实数根”求出n＞-7，解出方程，根据在false内有两个不相等的实数根，求出n的取值，问题得解．
【解答】解：原方程整理得false，
∴false，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴false
∴n＞-7，
∴false
∵方程在false内有两个不相等的实数根，
∴false，
解得n≤-5，n≤11，
∴n≤-5，
又∵n＞-7，
∴-7＜n≤-5．
故答案为：-7＜n≤-5
【点评】本题考查了含字母系数的一元二次方程，根的判别式，综合性较强，解题的关键是用公式法求出一元二次方程的两个根，根根据题意列出不等式．
34．2
【解析】关于一元二次方程（a+1）x2+（2a-3）x+a-2=0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a＜false 且a≠-1，再解分式方程得到false，接着利用分式方程的解为整数得到a=0，2，-1，3，5，-3，然后确定满足条件的a的值，从而得到满足条件的所有整数a的和．
【解答】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，
解得a＜false且a≠﹣1．
把关于x的方程false去分母得ax﹣1﹣x＝3，
解得false
∵x≠﹣1，
∴false，解得a≠﹣3，
∵false (a≠﹣3)为整数，
∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，
而a＜false且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值为0，2，
∴满足条件的所有整数a的和是2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
35．false，false
【解析】先计算false利用公式法直接解方程即可．
【解答】解：∵false，false，false，
∴false．
∴false．
∴false，false．
【本题】
本题考查的是用公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
36．（1）x1＝2，x2＝﹣2；（2）方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．
【解析】（1）根据已知公式得出4x2+4＝20，解之可得答案；
（2）由2☆a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由△＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．
【解答】解：（1）∵x☆4＝20，
∴4x2+4＝20，即4x2＝16，
解得：x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵2☆a的值小于0，
∴22a+a＝5a＜0，
解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a＝0中，△＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．
【点评】本题是和一元二次方程有关的新定义题型，涉及了解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，正确理解题中新定义是解题的关键.
37．false，此时方程的根为false
【解析】直接利用根的判别式false≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，
解得：x1=x2=1．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
38．(1)见解析；（2）false
【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论．
【解答】（1）∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）∵AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC＝m+2，AB?AC＝2m，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴（AB+AC）2﹣2AB?AC＝BC2，
即（m+2）2﹣2×2m＝32，
解得：m＝±false ，
∴m的值是±false．
又∵AB?AC＝2m，m为正数，
∴m的值是false．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
39．false，false
【解析】根据根与判别式△的关系知，当△ = 0时，一元二次方程false有两个相等的实数根，即△= b2 - 4ac = b2 - 4c = 0，所以所有满足关系b2 = 4c的b和c的值都可满足题目要求，根据题意选取一组b、c的值代入方程false，求出方程的根，本题即完成解答.
【解答】本题答案不唯一.
解：根据题意得
△= b2 - 4ac = b2 - 4c = 0，
∴b2 = 4c
∵符合b2 = 4c的解有无数组，
故本题答案不唯一；
而false是符合b2 = 4c的一组解，
此时，方程为false．
解得false．
故当false时，false.
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握（1）△= b2 - 4ac = 0时，一元二次方程有两个相等的实数根；（2）△= b2 - 4ac ＞ 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（3）△= b2 - 4ac ＜ 0时，一元二次方程没有实数根，是解答这类题的关键.
40．（1）false是直角三角形；理由见解析；（2）false，.
【解析】（1）根据根的判别式为0，计算出false的关系，即可判定；
（2）根据题意，将方程进行转化形式，即可得解.
【解答】（1）直角三角形
根据题意，得false
即false
所以false是直角三角形
（2）根据题意，可得
false
false
解出false
【点评】此题主要考查一元二次方程和三角形的综合应用，熟练运用，即可解题.
41．(1)false且false；(2)当false时，false，false．
【解析】(1)根据根的判别式进行求解即可；
(2)因为方程的两个根都是有理数．所以根的判别式为有理数，且不为零，可取根的判别式为1，求出false为0，然后代入解方程即可．
【解答】(1)由题意可得false，
false，
解得false，
又false，
∴false，
∴false的取值范围：false且false；
(2)∵方程的两个根都是有理数，
∴false为有理数且不为0，
即false为有理数且不为0，
即false，false，
∴当false时，原方程化为false，
解得false，false．
【点评】本题考查了一元二次方程，熟练掌握运用根的判别式是解题的关键．
42．（1）A＝x2﹣2x+1，B＝x﹣1；（2）m＝0.
【解析】
【解析】（1）先把两式相加可得到A+B=x2-x，然后利用加减法可求出A、B；
（2）根据题意得到方程x2+（m-2）x+1-m=0，再根据判别式的意义得到△=（m-2）2-4（1-m）=0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）2A+B＝2x2﹣3x+1①，A+2B＝x2﹣1②，
①+②得3A+3B＝3x2﹣3x，则A+B＝x2﹣x③，
①﹣③得A＝x2﹣2x+1，
②﹣③得B＝x﹣1；
（2）根据题意得x2﹣2x+1+m（x﹣1）＝0，
整理为x2+（m﹣2）x+1﹣m＝0，
△＝（m﹣2）2﹣4（1﹣m）＝0，
解得m＝0，
即当m为0时，以x为未知数的方程A+mB＝0有两个相等的实数根．
【点评】本题考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
43．（1）x1=-2+false，x2=-2-false; （2）x1=false，x2=false
【解析】（1）移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
（2）首先确定a、b、c的值，计算出△的值就可以求出其值．
【解答】（1）移项，x2+4x=1
x2+4x+4=1+4
（x+2）2=5
∴x+2=±false
解得：x1=-2+false，x2=-2-false
（2）原方程变形为：
x2-x-1=0．
∴a=1，b=-1，c=-1，
∴b2-4ac=1-4×（-1）=5．
∴x=false
∴x1=false，x2=false
考点：1.解一元二次方程-配方法．2.解一元二次方程-公式法．
44．（1）false，false；
（2）当false时，false，false；当false时，此一元二次方程无解.
【解析】（1）方程化为一般形式false，计算判别式得false，由于false，所以false，然后利用求根公式解方程；
（2）方程化为一般形式false，计算判别式得false，由于false，分类讨论：当false时，false，然后利用求根公式解方程，当false时，false，此时方程没有实数根.
【解答】解：（1）false，
false
false，false，false
false
false
false
false
false，false
（2）false
false
false，false，false，
false
false，
∴当false时，
false，
false，false，
∴当false时，此一元二次方程无解.
【点评】本题考查了解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，即考查了判别式的意义，也考查了求根公式.
45．（1）见解析；（2）1；false，false
【解析】（1）求出方程的判别式即可得到答案；
（2）先求出方程的两个根，根据方程的两个实数根都是正整数，m是整数即可求出m的值，由此得到方程的解.
【解答】（1）∵一元二次方程false
∴?=false=false=false，
∵false是整数，且false，
∴false，
∴?=false>0,
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程false，得到false，
∴false，false，
∵方程的两个实数根都是正整数，m是整数，
∴m=1，
∴原方程的两个根为：false，false ，
故答案为：1；false，false.
【点评】此题考查一元二次方程的判别式公式，判断一元二次方程的根的情况，求一元二次方程的解，正确理解方程的解所满足的条件，根据条件计算是解题的关键.