21.2.4：一元二次方程的根与系数的关系 同步提高课时练习（含解析）

21.2.4：一元二次方程的根与系数的关系
1．一元二次方程false有一个根是false，则false的值及方程的另一个根是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设方程false的两根分别是false，则false的值为（ ）
A．3 B．false C．false D．false
3．已知关于false的方程false有两个根false，false，则false的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2020 D．－2020
4．若false的一边为4，另两边同时满足方程false，则false的周长（ ）
A．为10 B．为11 C．为12 D．不确定
5．若一元二次方程false的两根为false，false，则false的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
6．若关于x的一元二次方程false有两个实数根false，false，则下列说法正确的是（　　）
A．a的值可以是0 B．false
C．false D．false，false都是正数
7．已知false，且false，false，则false（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
8．已知实数false分别满足false，false，则false的值是（ ）
A．7或2 B．7 C．9 D．－9
9．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（　　）
A．2x2+6x﹣5=0 B．2x2﹣3x﹣5=0 C．2x2﹣6x+5=0 D．2x2﹣6x﹣5=0
10．已知一元二次方程false 的两个实数根分别是 x1 、 x2 则 x12 x2 x1 x22 的值为（ ）
A．-6 B．- 3 C．3 D．6
11．已知false，false是方程false的两个实数根，则false的值是( )
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
12．定义运算：a?b=2ab．若a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根，则(a+1)?a -(b+1)?b的值为（ ）
A．0 B．2 C．4m D．-4m
13．false是方程false的两根，false的值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
14．以false和false为根的一元二次方程是（ ）
A．false
B．false
C．false
D．false
15．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则false的值为（????? ）
A．-13 B．12 C．14 D．15
16．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（　　）
A．false B．false C．3 D．false
17．已知关于false的一元二次方程false的两个实数根的平方和为false，那么false的值是（ ）
A．5 B．-1 C．5或-1 D．-5或1
18．定义新运算，false，若a、b是方程false（false）的两根，则false的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
19．已知方程false的两个实数根分别为false，false，则false的值为_______．
20．已知方程false的一个根是-3，则方程的另一个根为___________
21．已知false是一元二次方程false的两根，则false____________．
22．设a，b是一元二次方程false的两个实数根，则false的值为__________．
23．已知false，false是关于false的一元二次方程false的两个实数根，且满足false，则false的取值范围________
24．若false是一元二次方程false的两个根，则false______．
25．若方程false的两根分别为false，false，则false的值为_________．
26．一元二次方程false的两个根为false，且false，则k=____．
27．已知关于false的一元二次方程false的两个不相等的实数根false，false，以，已知false，false在满足false，则false的值为______．
28．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______．
29．已知关于false的方程false的两个实数根互为倒数，则false的值为________．
30．在等腰△ABC中，已知a=3,b和c是关于x的方程false的两个根，则△ABC的周长为_______
31．设false、false是方程false的两个不相等的实数根，则false的值为______.
32．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是_____．
33．已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是_____．
34．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是______，k=______．
35．已知false，false是方程false的两个根．
（1）若false，求false的值：
（2）若false，求false的值．
36．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+falsek2+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=6x1x2﹣15，求k的值．
37．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，求a2b+ab2的值．
38．已知关于x的方程2x2﹣17x+m＝0的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
39．已知：x1、x2是关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+5＝0的两个实数根且（x1-1）（x2-1）＝7，求m的值．
40．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：
（1）3x2+2x﹣3=0
（2）x2+x=6x+7．
41．已知关于ｘ的一元二次方程false有两个实数根false，false．
（1）求false的取值范围；
（2）若false，false满足false，求false的值．
42．关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数．
（1）求k的取值范围；
（2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
43．背景情境：
赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题：
题目：已知实数false、false满足false，false，且false，求false的值．
解：根据题意得
false与false为方程false的两根，
∴false，false
∴false
请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考．
解决问题：
（1）已知实数false、false满足false，false，且false，求false的值．
（2）设实数false、false分别满足false，false，且false，求false的值．
（3）已知关于false的方程false有两个根false、false满足false．当false的三边false、false、false满足false，false，false（a≠b）．求false的值以及false的面积．
参考答案
1．B
【解析】根据一元二次方程false的一个根是false，求出false的值，再根据根与系数的关系：false，false，列出方程求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程false的一个根是false，
∴false，解得：false，
设方程的另一个根为false，
则false，
解得：false，
false的值为3，方程的另一个根是false．
故答案选B．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系，列出方程是本题的关键．
2．A
【解析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
【解答】由false可知，其二次项系数false，一次项系数false，
由韦达定理：falsefalse，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．
3．A
【解析】由题意根据根与系数的关系以及方程的解的概念即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：false，
∴1+n=-m，n=3，
∴m=-4，n=3，
∴false．
故选：A．
【点评】本题考查了一二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系求根和字母的值，然后代入求值．
4．A
【解析】设false的两个根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可以得出x1+ x2=6，进而求三角形的周长即可．
【解答】解：设false的两个根分别为x1，x2，
∴x1+ x2=false=false=6，
∴false的周长为x1+ x2+4=6+4=10．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题的关键．
5．A
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
【解答】根据题意得false，false，
所以falsefalsefalse．
故选A．
【点评】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.
6．D
【解析】根据方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出false≥0，解之即可得出a的取值范围,根据两根的和与积的关系，可以得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程false有两个实数根，
∴false
∴false，故A错
∵关于x的一元二次方程false有两个实数根false，false
∴false，故B,C错误；
∵false
∴false同为正数，故D正确
故选：D
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，韦达定理，牢记“当false≥0时，方程有两个实数根”，两根的关系是解题的关键．
7．A
【解析】由false满足的条件及false，可得出false为一元二次方程false的两个不等实根，再利用根与系数的关系即可求出false的值.
【解答】解：∵false且false，
∴false为一元二次方程false的两个不等实根，
∴false.
故选：A.
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于false是解题的关键.
8．A
【解析】根据a、b是否相等分类讨论：当false时，代入即可求出结论；当false时，则false为一元二次方程false的两根，根据根与系数的关系可得false，false，然后将分式通分化简，再根据完全平方公式的变形代入求值即可．
【解答】解：∵实数false分别满足false，false，
当false时，则false=false；
当false时，则false为一元二次方程false的两根
∴false，false
∴false
=false
=false
=false
=7
综上：false的值是7或2
故选A．
【点评】此题考查的是分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形，掌握分式的加法法则和构造一元二次方程并利用根与系数的关系求值是解决此题的关键．
9．D
【解析】利用根与系数的关系判断即可．
【解答】满足两个实数根的和等于3的方程是2x2-6x-5=0，
故选D．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
10．B
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1?x2=﹣1，再把x12x2+x1x22变形为x1?x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】根据题意得：x1+x2=3，x1?x2=﹣1，所以原式=x1?x2（x1+x2）=﹣1×3=－3．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2false，x1?x2false．
11．A
【解析】根据题意可知b=3-b2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（a+b）2-2ab+2016即可求解.
【解答】false，false是方程false的两个实数根，
∴false，false，false，
∴falsefalse；
故选A．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
12．A
【解析】
【分析】由根与系数的关系可得a+b=-1然后根据所给的新定义运算a?b=2ab对式子(a+1)?a -(b+1)?b用新定义运算展开整理后代入进行求解即可.
【详解】∵a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根，
∴a+b=-1，
∵定义运算：a?b=2ab，
∴(a+1)?a -(b+1)?b
=2a(a+1)-2b(b+1)
=2a2+2a-2b2-2b
=2(a+b)(a-b)+2(a-b)
=-2(a-b)+2(a-b)=0，
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义运算等，理解并能运用新定义运算是解题的关键.
13．D
【解析】将m，n代入方程得到false从而得出
false，再代入即可求解．
【解答】解：∵m，n是方程false的两根，代入得：
∴false
∴false代入得：
∴false
=false
将false代入得：
false=false
根据韦达定理：false
故答案选：D
【点评】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，利用整体思想进行代换是解题关键．
14．A
【解析】分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可．
【解答】A、在x2﹣7x+12=0中，x1+x2=7，x1x2=12，此选项正确；
B、在x2+7x+12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=12，此选项不正确；
C、在x2+7x﹣12=0中，x1+x2=7，x1x2=﹣12，此选项不正确；
D、在x2﹣7x﹣12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=﹣12，此选项不正确；
故选A．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=false ，x1?x2=false．
15．B
【解答】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-false，α·β=false，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=5×false+3×（-false）+1=12.
故选B.
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x1+x2=-false，x1·x2=false，然后变形代入即可.
16．A
【解答】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-false，x1?x2=false，由α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，可得α+β=false，αβ=﹣false，再由式子求得（α﹣2）（β﹣2）=αβ﹣2（α+β）+4=﹣false﹣2×false+4=false．
故选：A
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题时灵活运用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=-false，x1?x2=false，然后根据整式的乘法变形整体代入即可.
17．B
【解析】设方程的两个根为x1、x2，则x12+x22=7，根据方程根与系数的关系可知x1、x2的和与积，列出方程即可求出m的值.
【解答】设方程的两个根为x1、x2，则x12+x22=7，
∵x1、x2，是方程x2-mx+2m-1=0的两个根，
∴x1+x2=m，x1falsex2=2m-1，
∴（x1+x2）2= x12+x22+2 x1falsex2=m2，
∴m2-2(2m-1)-7=0，
解得：m=5或m=-1，
∵方程false有两个实数根，
∴（- m）2-4（2 m -1）= m 2-8 m+4≥0，
解得m≥4+2false 或m≤4-2false．
∴m=5舍去，m=-1，
故选B.
【点评】本题考查一元二次方程判别式的性质及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和判别式的性质是解题关键.
18．A
【解析】
根据题意可得false，又因为a，b是方程false的两根，所以false，化简得false，同理false，false，代入上式可得false，故选A．
19．1
【解析】直接利用一元二次方程的根与系数关系false求解即可．
【解答】∵方程false的两个根分别为m、n，
∴m+n=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系公式并能灵活运用使解答的关键．
20．3
【解析】根据根与系数的关系得出-3a=-9，求出即可．
【解答】设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：?3a＝?9，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
21．-1
【解析】根据根与系数的关系得到x1x2＝-1，代入false计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2?2x?1＝0的两根为x1，x2，
∴x1x2＝-1，
∴false-1．
故答案为：-1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝?false，x1?x2＝false．
22．5．
【解析】根据方程的根的定义以及一元二次方程的根与系数的关系，即可求解．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程false的两个实数根，
∴false，false，
∴false，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．
23．-3＜m≤1
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系可得false，false，然后根据一元二次方程根的情况和已知不等式即可求出结论．
【解答】解：∵false，false是关于false的一元二次方程false的两个实数根
∴false，false
由题意可得false
即false
解得：-3＜m≤1
故答案为：-3＜m≤1．
【点评】此题考查的是根据一元二次方程根的情况和根与系数的关系，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与false的关系和根与系数的关系是解决此题的关键．
24．1
【解析】利用根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再整体代入通分后的式子计算即可．
【解答】∵false是一元二次方程false的两个根
∴false，false
∴false
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握基本知识是解题的关键．
25．3．
【解析】
试题分析：根据题意得false，false，所以false=2﹣（﹣1）=3．故答案为3．
考点：根与系数的关系．
26．1
【解析】利用根与系数的关系即可解答．
【解答】解：∵一元二次方程false的两个根为false
∴false，false
∵false，且false
∴false，
解得，false，
又∵false，
即false，
∴false
故答案为1．
27．3
【解析】先由根的判别式求出k的取值范围，在根据根与系数的关系，即可求出k的值．
【解答】解：∵一元二次方程false的两个不相等的实数根false，false，
∴false，
∴false，
∴false；
∵false，false
∴false，
解得：false或false，
∵false，
∴false；
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解决问题的关键．
28．2 -24
【解答】试题分析：由一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-false，x1?x2=false，得，﹣3+4=false，（﹣3）×4=false，解得：m=2，n=﹣24，
故答案为2，﹣24．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题时灵活运用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=-false，x1?x2=false，然后解方程即可.
29．false
【解析】
【解析】若a=±1，方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0变为一元一次方程时，此时方程一定只有一解，所以a一定不能为±1．又因为方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0的两个实数根互为倒数，所以△＞0，两根之积等于1，由此得到关于a的方程，解方程即可求出a的值．
【解答】解：∵方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0有两个实数根，
∴a≠±1，
设方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0的两个实数根分别为α、β，
又∵方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0的两个实数根互为倒数，
∴αβ=false=1，
解得a=±false，
∵a=-false时，△=[-（a+1）]2-4×（a2-1）
=（1-false）2-4×1
=-2false-1＜0，
∴a=-false时方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0无解，
因此a=-false舍去，
∴a=false，
故答案为：false
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、根的判别式等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键．
30．7或false
【解析】等腰三角形ABC中a可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，①a是底时，即b=c时，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出其周长；②a是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得m的值，从而求解.
【解答】a是底边时，则b=c，关于x的方程false有两个相等的实数根，
∴false，
解得false或false（舍去）
当false时，方程变形为false
此时false
所以此时△ABC的周长为3+4=7；
当a是腰时，则方程有一个根是3，把x=3代入方程得false，
解得：false
方程变形为：false，则false，解得：false
所以此时△ABC的周长为false；
综上所述，△ABC的周长为7或false
故答案为：7或false
【点评】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
31．2018
【解析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b=?1，a2+a?2019=0，变形后代入，即可求出答案．
【解答】∵设a，b是方程x2+x?2019=0的两个实数根，
∴a+b=?1，a2+a?2019=0，
∴a2+a=2019，
∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2019+(?1)=2018，
故答案为：2018．
【点评】本题考查一元二次方程的解，根与系数关系.能想到将false分两部分false和false两部分求解是解决此题的关键.
32．-2或false
【解析】先由x12-2x1+2x2=x1x2，得出x1-2=0或x1-x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1-2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，解方程求出k=-2；②如果x1-x2=0，那么△=0，解方程即可求解．
【解答】∵x12-2x1+2x2=x1x2，
x12-2x1+2x2-x1x2=0，
x1（x1-2）-x2（x1-2）=0，
（x1-2）（x1-x2）=0，
∴x1-2=0或x1-x2=0．
①如果x1-2=0，那么x1=2，
将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，
得4+2（2k+1）+k2-2=0，
整理，得k2+4k+4=0，
解得k=-2；
②如果x1-x2=0，
则△=（2k+1）2-4（k2-2）=0．
解得：false ，
∴k的值为-2或false．
故答案为：-2或false．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．
33．q＜1
【解析】先由韦达定理得出m+n＝﹣p，mn＝q，代入到m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn＝3，可得p2＝q+3，再结合△＝p2﹣4q＞0知q+3﹣4q＞0，解之可得答案．
【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n＝﹣p，mn＝q，
∵m2+mn+n2＝3，
∴（m+n）2﹣mn＝3，
则（﹣p）2﹣q＝3，即p2﹣q＝3，
∴p2＝q+3，
又△＝p2﹣4q＞0，
∴q+3﹣4q＞0，
解得q＜1，
故答案为：q＜1．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握false，false是方程false的两根时，false，false及一元二次方程根的判别式．
34．5 0
【解答】试题分析：根据一元二次方程的解，设方程的另一个根为t，根据题意得0+t=5，0?t=k，所以t=5，k=0．
故答案为5，0．
35．（1）false；（2）false
【解析】（1）根据题意可知：该一元二次方程有两个相等的实数根，从而令false，即可求出结论；
（2）根据根与系数的关系可得false，然后代入已知等式即可求出m的值，然后根据false进行取舍即可．
【解答】解：（1） false
∴false．
解得false
（2）false是方程false的两个根，
false
false，
false，
即false
解得false
∵方程false有实数根，
false．
解得：false
false应舍去．
false．
【点评】此题考查的是根据一元二次方程根的情况求参数的值和根与系数的关系，掌握一元二次方程根的情况与false的关系和根与系数的关系是解决此题的关键．
36．（1）k≥false；（2）4
【解析】（1）根据判别式与根的个数之间的关系，列不等式计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数间的关系表示出false，false，再由false代入进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意，得△=[﹣（k+1）]2﹣4（falsek2+1）=2k﹣3≥0，
解得false，
∴k的取值范围为k≥false．
（2）∵由根与系数的关系，得x1+x2=k+1，x1?x2=falsek2+1 ，
∵x12+x22=6x1x2﹣15，
∴（x1+x2）2﹣8x1x2+15=0，
∴k2﹣2k﹣8=0，解得：k1=4，k2=﹣2 ，
又∵k≥false，
∴k=4．
【点评】本题考查了一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，根与系数的关系，熟知以上运算是解题的关键．
37．-2．
【解析】根据根与系数的关系可得a+b=2，ab=-1，根据方程解得定义可得a2-2a=1，然后再把a2b+ab2变形为ab（a+b），代入求值即可．
【解答】∵x1+x2=-false，x1x2=false．
∴由根与系数关系得到：a+b=2，ab=-1
a2b+ab2 =ab（a+b）=-2
故答案为-2.
【点评】此题考查根与系数的关系，解题关键是掌握计算公式.
38．x＝7.5；m＝15
【解析】设2x2﹣17x+m＝0的另一个根为false，根据根与系数的关系得出false，求出false的值即可；任意把一个根代入方程中，即可求出m的值．
【解答】解：设2x2﹣17x+m＝0的另一个根为false，
则：false
解得：false
把false代入方程2x2﹣17x+m＝0
解得：false
【点评】此题是一元二次方程根与系数之间关系的综合应用，关键是能理解根与系数的关系．
39．m的值为3
【解析】根据题意，由根与系数的关系和根的判别式进行计算，即可得到答案．
【解答】解：∵(x1－1)(x2－1)＝7，
∴x1x2－(x1＋x2)＝6，
∵x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，
∴m2＋5－2(m＋1)＝6，
解得：m1＝3，m2＝－1，
又∵Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×(m2＋5)≥0时，
∴m≥2，
∴m的值为3；
【点评】本题主要考查根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
40．（1）x1+x2=false，x1x2=﹣1（2）x1+x2=5，x1x2=﹣7．
【解答】试题分析：一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-false，x1?x2=false，直接确定系数a、b、c后代入求解即可.
试题解析：（1）设x1，x2是一元二次方程的两根，
所以x1+x2=false，x1x2=﹣1；
（2）方程化为一般式为x2﹣5x﹣7=0，
设x1，x2是一元二次方程的两根，
所以x1+x2=5，x1x2=﹣7．
41．（1）false；（2）false的值为false或false
【解析】（1）直接利用根的判别式计算求解即可；
（2）根据根与系数的关系得出false，false，分false和false两种情况计算求解即可．
【解答】解：（1）false关于false的一元二次方程false有两个实数根，
false△false，即false
解得false．
答：false的求值范围为false．
（2）根据根与系数的关系：
false，false，
false，false满足false，
①当false时，false
把false代入，得
false
解得false，
false，
false
false．
②当false时，false
false
解得false，false，
false
false．
答：false的值为false或false
【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟记求根公式以及根的判别式是解此题的关键．
42．（1）k≤2且k≠1；（2）m＝﹣2或﹣3；（3）成立，见解析
【解析】（1）先解出方程①的解，根据一元二次方程的定义和方程①的根为非正数，得出k的取值范围，即可；
（2）先把k＝m+2，n＝2m﹣2代入方程②化简，通过因式分解法，用含m的代数式表示出一元二次方程的两个实数根，根据方程②的解为负整数，m为整数，即可求出m的值；
（3）根据（1）中k的取值范围和k为正整数得出k＝2，化简一元二次方程，并将两根和与积代入计算，得出关于m、n的等式，结合根的判别式，即可得到结论．
【解答】（1）∵关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4，
解得：x＝2k﹣4，
∵关于x的方程2（x﹣k）＝x﹣4的解为非正数，
∴2k﹣4≤0，解得：k≤2，
∵由一元二次方程②，可知k≠1，
∴k≤2且k≠1；
（2）∵一元二次方程（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0中k﹣m＝2，2k﹣n＝6，
∴k＝m+2，n＝2k﹣6＝2m+4﹣6＝2m﹣2，
∴把k＝m+2，n＝2m﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0，
因式分解得，[（m+1）x+（m﹣1）]（x+1）＝0，
∴x1＝﹣false=false，x2＝﹣1，
∵方程②的解为负整数，m为整数，
∴m+1＝﹣1或﹣2，
∴m＝﹣2或﹣3；
（3）|m|≤2成立，理由如下：
由（1）知：k≤2且k≠1，
∵k是正整数，
∴k＝2，
∵（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝false ＝﹣2m，x1x2＝false ＝1+n，
∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，
∴2m2＝n+5 ①，
△＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣4（n+1）≥0 ②，
把①代入②得：4m2﹣8m2+16≥0，即m2≤4，
∴|m|≤2．
【点评】本题主要考查一元一次方程与一元二次方程，涉及解一元一次方程，一元二次方程以及一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，是解题的关键．
43．（1）-6；（2）6；（3）false，面积为1
【解析】（1）根据题意可得false，false，利用完全平方公式求得false的值，变形整理所求式子，然后代入求值即可；
（2）将方程false等号两边同时除以b2得到false，再根据题意计算求值即可；
（3）利用根与系数的关系结合false求得m的值，根据题意可得false与false是方程false的两个根，同例题整理得false，得到△ABC为直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可.
【解答】解：（1）由题可知：false与false为方程false的两根，
∴false，false，
∴false，
∴false；
（2）∵false，
显然false，
∴false，
∴false
又∵false，
∴false，
∴false与false为方程false的两根，
∴false；
（3）falsefalse，
false，false，
∴falsefalse，
∴false
false，
∴false，
∴false即false，
false即false，
∵false
∴false与false是方程false的两个根，
∴false，false，
∴false，
∴false为直角三角形，
则false.
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及其应用，勾股定理的逆定理等，韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=false，x1x2=false.