1.2 有理数-2021-2022学年七年级数学上册同步习题精讲精练（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.2 有理数-2021-2022学年七年级数学上册同步习题精讲精练（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-09 11:23:02 | ||
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文档简介
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1.2 有理数 同步习题精讲精练
【高频考点精讲】
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
（1）按整数、分数的关系分类：有理数；
（2）按正数、负数与0的关系分类：有理数
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上_??????????????????_有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）【来源：21·世纪·教育·网】
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．2-1-c-n-j-y
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求_????????°?????????_数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．【版权所有：21教育】
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的_?¤§?°????????????¨_数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【热点题型精练】
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．0不是有理数
B．只有0的绝对值等于它本身
C．有理数可以分为正有理数和负有理数
D．任何有理数都有相反数
2．已知a、b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．﹣＜﹣ B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3）
C．﹣|﹣8|＞7 D．|﹣|＜|﹣|
4．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
5．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度℃ ﹣183 ﹣253 ﹣195.8 ﹣268
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气
6．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（ ）
A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b
7．数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，圆的直径为1_?????????é????????_该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达A′的位置，则点A′表示的数是（ ）21世纪教育网版权所有
A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1
9．数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
10．有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．|a|＞4 B．＜0 C．c﹣b＞0 D．ac＞0
11．若实数a、b、c满足|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，则|b﹣c|的值为（ ）
A．6 B．7 C．6或8 D．6或7
12．如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列结论正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．a3＞0 B．|a1|＝|a4|
C．a1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a2+a5＜0
二、填空题
13．用“＜”号连接：﹣（﹣2.2），﹣1，﹣|﹣3|： ．
14．如图，是北京S_1?????°é????????_布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是﹣4，2，那么金安桥站表示的数是 ．
15．如图，两个椭圆分别表示正数集合和整数集合，给出下列8个有理数：，﹣7，2.5，|﹣3|，0，5，，﹣10，则A圈内应填的数字的和为 ．21*cnjy*com
16．如图，数轴上有若_??????????????????_邻两点相距1个单位长度．其中点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且d﹣2a＝12，则b+c的值为 ．
17．若[x）表示大于x的最小整数，如[5）＝6，[﹣1.8）＝﹣1，则下列结论中正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）＝1；②[）﹣＝0；③[x）﹣x＜0；④x＜[x）≤x+1；⑤存在有理数x使[x）﹣x＝0.2成立．
18．如图，有_????????¨???MN_放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B处．将木棒在数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5，则木棒MN的长度为 ．
三、解答题
19．如图，数轴的单位长度为1，点A，B，C，D都在数轴上，且点A，B表示的数互为相反数．
（1）请在数轴上描出原点O的位置，并写出点A，C，D所表示的数．
（2）点P在数轴上，且PA+PB＝PD．
①小温说：点P不可能在点A左侧．小温说得对吗？请说明理由．
②求所有满足条件的点P所表示的数．
20．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．
（1）请直接写出原点在第几部分；
（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；
（3）若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中点时，直接写出d的值．
21．对于数轴上的_A???B???C???_点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．
（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是 ；
（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，
①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；
②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．
22．【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．
（1）若点C为图①中线段AB的“雅点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝ ；
（2）若点D也是图①中线段AB的“雅点”（不同于点C），则AC BD；（填“＝”或“≠”）
【解决问题】
如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；
（3）若M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“雅点”，求线段MN的长；
（4）图②中，若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．
1.2 有理数 同步习题精讲精练
【高频考点精讲】
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
（1）按整数、分数的关系分类：有理数；
（2）按正数、负数与0的关系分类：有理数
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都_????????¨??°è?????_的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一_?????°???????????°_的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的_?¤§?°????????????¨_数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【热点题型精练】
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．0不是有理数
B．只有0的绝对值等于它本身
C．有理数可以分为正有理数和负有理数
D．任何有理数都有相反数
解：0是有理数，故A错．
非负数的绝对值等于其本身，故B错．
有理数分为正有理数和负有理数及0，故C错．
任意有理数都有相反数，故D正确．
答案：D．
2．已知a、b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵|a|＝﹣a，|b|＝b，
∴a≤0，b≥0，
∵|a|＞|b|，
∴表示数a的点到原点的距离比b到原点的距离大，
答案：C．
3．下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．﹣＜﹣ B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3）
C．﹣|﹣8|＞7 D．|﹣|＜|﹣|
解：A、因为||＝，|﹣|＝，
而，
所以，故本选项符合题意；
B、﹣|﹣|＝，，
故﹣|﹣3|＜﹣（﹣3），故本选项不合题意；
C、﹣|﹣8|＝﹣8，
故﹣|﹣8|＜7，故本选项不合题意；
D、|﹣|＝，|﹣|＝，
故|﹣|＞|﹣|，故本选项不合题意；
答案：A．
4．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
解：∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，即a与b互为相反数．
又∵AB＝6，
∴b﹣a＝6．
∴2b＝6．
∴b＝3．
∴a＝﹣3，即点A表示的数为﹣3．
答案：A．
5．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度℃ ﹣183 ﹣253 ﹣195.8 ﹣268
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气
解：∵﹣268＜﹣253＜﹣195.8＜﹣183，
∴其中液化温度最低的气体是氦气．
答案：A．
6．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（ ）
A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b
解：由图可知，a＜0，b＞0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝b，
∴|b|﹣|a|＝b+a，
答案：C．
7．数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵比a小2的数用b表示，
∴b＝a﹣2，
∴|a|+|b|
＝|a﹣0|+|a﹣2|，
那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小，
显然这个点就是在0与2之间，
当a在区间0与2之间时，
|a﹣0|+|a﹣2|＝|2﹣0|＝2为最小值，
∴|a|+|b|的最小值为2，
答案：C．
8．如图，圆_????????????1???_单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达A′的位置，则点A′表示的数是（ ）21教育网
A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1
解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴此圆的周长＝π，
∴当圆向左滚动时点A′表示的数是﹣π+1；
答案：B．
9．数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
解：由题意得：|m|＝|m+2|，
∴m＝m+2或m＝﹣（m+2），
∴m＝﹣1．
答案：D．
10．有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．|a|＞4 B．＜0 C．c﹣b＞0 D．ac＞0
解：由数轴上a的位置知，a＜b＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|．
∵a离开原点的距离小于4，故选项A错误；
∵a＜b＜0，
∴，故选项B错误；
∵b＜0＜c，
∴c﹣b＞0，故选项C正确；
因为a＜0，c＞0，
所以ac＜0．故选项D错误．
答案：C．
11．若实数a、b、c满足|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，则|b﹣c|的值为（ ）
A．6 B．7 C．6或8 D．6或7
解：∵|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，
∴a﹣b＝±1，a﹣c＝±7，
当a﹣b＝1，a﹣c＝7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝7﹣1＝6，原式＝6；
当a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝﹣7+1＝﹣6，原式＝6；
当a﹣b＝1，a﹣c＝﹣7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝﹣7﹣1＝﹣8，原式＝8；
当a﹣b＝﹣1，a﹣c＝7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝7+1＝8，原式＝8；
答案：C．
12．如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列结论正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．a3＞0 B．|a1|＝|a4|
C．a1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a2+a5＜0
解：﹣6与6两点间的线段的长度＝6﹣（﹣6）＝12，
六等分后每个等分的线段的长度＝12÷6＝2，
∴a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：﹣4，﹣2，0，2，4，
A选项，a3＝﹣6+2×3＝0，故该选项错误；
B选项，|﹣4|≠2，故该选项错误；
C选项，﹣4+（﹣2）+0+2+4＝0，故该选项正确；
D选项，﹣2+4＝2＞0，故该选项错误；
答案：C．
二、填空题
13．用“＜”号连接：﹣（﹣2.2），﹣1，﹣|﹣3|： ﹣|﹣3|＜＜﹣（﹣2.2） ．
解：∵﹣（﹣2.2）＝2.2，﹣|﹣3|＝﹣3，﹣3＜＜2.2，
∴﹣|﹣3|＜＜﹣（﹣2.2），
答案：﹣|﹣3|＜＜﹣（﹣2.2）．
14．如图，是北京S1线_??°é????????????¤?_意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是﹣4，2，那么金安桥站表示的数是 0 ．
解：∵图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是﹣4，2，
∴每站的单位长度是2，
∴金安桥站表示的数是0．
答案：0．
15．如图，两个椭圆分别表示正数集合和整数集合，给出下列8个有理数：，﹣7，2.5，|﹣3|，0，5，，﹣10，则A圈内应填的数字的和为 8 ．21·cn·jy·com
解：题中既属于整数又属于正数的有，5；
+5＝8．
答案：8．
16．如图，数轴上有若干个_????????????é????¤_点相距1个单位长度．其中点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且d﹣2a＝12，则b+c的值为 ﹣3 ．www-2-1-cnjy-com
解：由图可知：b＝a+3，c＝a+4，d＝a+7．
∴d﹣2a＝a+7﹣2a＝7﹣a＝12，
∴a＝﹣5，
∴b+c＝a+3+a+4＝2a+7＝﹣3．
故b+c＝﹣3．
17．若[x）表示大于x的最小整数，如[5）＝6，[﹣1.8）＝﹣1，则下列结论中正确的有 ①④⑤ ．（填写所有正确结论的序号）21·世纪*教育网
①[0）＝1；②[）﹣＝0；③[x）﹣x＜0；④x＜[x）≤x+1；⑤存在有理数x使[x）﹣x＝0.2成立．
解：①大于0的最小整数是1，故①计算正确，符合题意；
②原式＝1﹣＝，故②计算错误，不符合题意；
③原式≤1，故③计算错误，不符合题意；
④x＜[x）≤x+1，故④正确，符合题意；
⑤存在实数x，使[x）﹣x＝0.2成立，如[1.8）﹣1.8＝0.2，故⑤正确，符合题意．
答案：①④⑤．
18．如图，有一根木棒MN放_?????¨??°è????????_它的两端M、N分别落在点A、B处．将木棒在数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5，则木棒MN的长度为 6 ．【出处：21教育名师】
解：设木棒MN长为x，根据题意得：
x+x+（1﹣）x＝17.5﹣4.5，
解得：x＝6．
答案：6．
三、解答题
19．如图，数轴的单位长度为1，点A，B，C，D都在数轴上，且点A，B表示的数互为相反数．
（1）请在数轴上描出原点O的位置，并写出点A，C，D所表示的数．
（2）点P在数轴上，且PA+PB＝PD．
①小温说：点P不可能在点A左侧．小温说得对吗？请说明理由．
②求所有满足条件的点P所表示的数．
解：（1）∵点A，B表示的数互为相反数，
∴原点是线段AB的中点，原点的位置如图：
A表示的数是﹣2，
C表示的数是1，
D表示的数是﹣4；
（2）①小温说得对，理由是：
若P在A左侧，则PD＜PB，与PA+PB＝PD矛盾，
∴P不能在A左侧；
②（一）P在线段AB上（包括端点），则PA+PB＝AB＝4，
此时PD＝4，P表示的数为﹣4+4＝0；
（二）P在B右侧时，设P表示的数为x，
则PD＝x﹣（﹣4），PA＝x﹣（﹣2），PB＝x﹣2，
∴x﹣（﹣4）＝x﹣（﹣2）+x﹣2，
解得x＝4，
∴此时P表示的数是4，
综上所述，PA+PB＝PD，则P表示的数为0或4．
20．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．21cnjy.com
（1）请直接写出原点在第几部分；
（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；
（3）若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中点时，直接写出d的值．
解：（1）∵bc＜0，
∴b，c异号，
∴原点在第③部分；
（2）∵AC＝5，BC＝3，
∴AB＝AC﹣BC＝5﹣3＝2，
∵b＝﹣1，
∴a＝﹣1﹣2＝﹣3；
（3）当点C是OD的中点时，OD＝2OC＝2×3＝6，此时d＝6；
当O是CD的中点时，OD＝OC＝3，此时d＝﹣3；
当D是OC的中点时，OD＝OC＝×3＝，此时d＝．
∴d＝6或﹣3或．
21．对于数轴上的A，B，_C???????????????_如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．21*cnjy*com
（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是 1，4 ；
（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，
①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；
②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．
解：（1）1，4．
（2）①设点P对应的数为x．
当点P在AB之间时，∵AB＝30+10＝40，
∴BP＝AB时，BP＝10，
即x＝30﹣10＝20．
当BP＝AB时，BP＝30，
即x＝30﹣30＝0．
当点P在点B右侧，AP＝3BP．
即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50．
当点P在点A左侧，BP＝3AP．
即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30．
综上，x＝20，0，50，﹣30．
②由①得点P是倍分点时，P表示的数为20，0，50，﹣30．
当A为倍分点，点P在AB之间时，AB＝3AP，40＝3（x+10），解得x＝．
P在点A左侧时，AP＝3AB，﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130．
AB＝3AP，40＝3（﹣10﹣x），解得x＝．
点P在点B右侧，AP＝3AB，x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110．
当点B为倍分点时，同理可求x＝110，，，﹣90．
综上，P点表示的数可为：20，0，50，﹣30，，﹣130，，110，，，﹣90．
22．【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．21教育名师原创作品
（1）若点C为图①中线段AB的“雅点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝ 18 ；
（2）若点D也是图①中线段AB的“雅点”（不同于点C），则AC ＝ BD；（填“＝”或“≠”）
【解决问题】
如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；
（3）若M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“雅点”，求线段MN的长；
（4）图②中，若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．
解：（1）∵点C为线段AB的“雅点”，AC＝6（AC＜BC），
∴BC＝2AC，
∵AC＝6，
∴BC＝12，
∴AB＝AC+BC＝18，
答案：18；
（2）∵点D也是线段AB的“雅点”（不同于点C），
∴AD＝2BD，
而AD+BD＝18，
∴BD＝6，
∵AC＝6，
∴AC＝BD，
答案：＝；
（3）∵数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F，
∴OF＝1+5＝6，
M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“雅点”，
①M、N为线段OF的同一个“雅点”时，MN＝0，
②M、N为线段OF的不同“雅点”，且MF＝2OM，ON＝2FN，如答图1：
∵MF＝2OM，OM+FM＝6，
∴OM＝2，
∵ON＝2FN，ON+FN＝6，
∴ON＝4，
∴MN＝ON﹣OM＝2，
③M、N为线段OF的不同“雅点”，且OM＝2FM，FN＝2ON，如答图2：
∵OM＝2FM，OM+FM＝6，
∴OM＝4，
∵FN＝2ON，ON+FN＝6，
∴ON＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝2，
总上所述，MN的长为0或2；
（4）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，分以下四种情况：【来源：21cnj*y.co*m】
①G在线段EF上，EG＝2FG，如答图3：
∵EG＝2FG，EG+FG＝5，
∴EG＝，
∵E表示的数为1，
∴G点表示的数为1+＝，
②G在线段EF上，且FG＝2EG，如答图4：
∵FG＝2EG，EG+FG＝5，
∴EG＝，
∵E表示的数为1，
∴G表示的数为1+＝，
③G在线段EF外，且EF＝2FG，如答图5：
∵EF＝2FG，EF＝5，
∴FG＝2.5，
∴G表示的数是1+5+2.5＝8.5，
④G在EF外，且FG＝2EF，如答图6：
∵FG＝2EF，EF＝5，
∴FG＝10，
∴G表示的数为1+5+10＝16，
总上所述，G表示的数为：或或8.5或16．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_
1.2 有理数 同步习题精讲精练
【高频考点精讲】
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
（1）按整数、分数的关系分类：有理数；
（2）按正数、负数与0的关系分类：有理数
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上_??????????????????_有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）【来源：21·世纪·教育·网】
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．2-1-c-n-j-y
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求_????????°?????????_数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．【版权所有：21教育】
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的_?¤§?°????????????¨_数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【热点题型精练】
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．0不是有理数
B．只有0的绝对值等于它本身
C．有理数可以分为正有理数和负有理数
D．任何有理数都有相反数
2．已知a、b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．﹣＜﹣ B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3）
C．﹣|﹣8|＞7 D．|﹣|＜|﹣|
4．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
5．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度℃ ﹣183 ﹣253 ﹣195.8 ﹣268
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气
6．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（ ）
A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b
7．数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，圆的直径为1_?????????é????????_该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达A′的位置，则点A′表示的数是（ ）21世纪教育网版权所有
A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1
9．数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
10．有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．|a|＞4 B．＜0 C．c﹣b＞0 D．ac＞0
11．若实数a、b、c满足|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，则|b﹣c|的值为（ ）
A．6 B．7 C．6或8 D．6或7
12．如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列结论正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．a3＞0 B．|a1|＝|a4|
C．a1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a2+a5＜0
二、填空题
13．用“＜”号连接：﹣（﹣2.2），﹣1，﹣|﹣3|： ．
14．如图，是北京S_1?????°é????????_布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是﹣4，2，那么金安桥站表示的数是 ．
15．如图，两个椭圆分别表示正数集合和整数集合，给出下列8个有理数：，﹣7，2.5，|﹣3|，0，5，，﹣10，则A圈内应填的数字的和为 ．21*cnjy*com
16．如图，数轴上有若_??????????????????_邻两点相距1个单位长度．其中点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且d﹣2a＝12，则b+c的值为 ．
17．若[x）表示大于x的最小整数，如[5）＝6，[﹣1.8）＝﹣1，则下列结论中正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）＝1；②[）﹣＝0；③[x）﹣x＜0；④x＜[x）≤x+1；⑤存在有理数x使[x）﹣x＝0.2成立．
18．如图，有_????????¨???MN_放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B处．将木棒在数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5，则木棒MN的长度为 ．
三、解答题
19．如图，数轴的单位长度为1，点A，B，C，D都在数轴上，且点A，B表示的数互为相反数．
（1）请在数轴上描出原点O的位置，并写出点A，C，D所表示的数．
（2）点P在数轴上，且PA+PB＝PD．
①小温说：点P不可能在点A左侧．小温说得对吗？请说明理由．
②求所有满足条件的点P所表示的数．
20．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．
（1）请直接写出原点在第几部分；
（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；
（3）若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中点时，直接写出d的值．
21．对于数轴上的_A???B???C???_点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．
（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是 ；
（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，
①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；
②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．
22．【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．
（1）若点C为图①中线段AB的“雅点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝ ；
（2）若点D也是图①中线段AB的“雅点”（不同于点C），则AC BD；（填“＝”或“≠”）
【解决问题】
如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；
（3）若M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“雅点”，求线段MN的长；
（4）图②中，若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．
1.2 有理数 同步习题精讲精练
【高频考点精讲】
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
（1）按整数、分数的关系分类：有理数；
（2）按正数、负数与0的关系分类：有理数
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都_????????¨??°è?????_的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一_?????°???????????°_的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的_?¤§?°????????????¨_数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【热点题型精练】
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．0不是有理数
B．只有0的绝对值等于它本身
C．有理数可以分为正有理数和负有理数
D．任何有理数都有相反数
解：0是有理数，故A错．
非负数的绝对值等于其本身，故B错．
有理数分为正有理数和负有理数及0，故C错．
任意有理数都有相反数，故D正确．
答案：D．
2．已知a、b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵|a|＝﹣a，|b|＝b，
∴a≤0，b≥0，
∵|a|＞|b|，
∴表示数a的点到原点的距离比b到原点的距离大，
答案：C．
3．下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．﹣＜﹣ B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3）
C．﹣|﹣8|＞7 D．|﹣|＜|﹣|
解：A、因为||＝，|﹣|＝，
而，
所以，故本选项符合题意；
B、﹣|﹣|＝，，
故﹣|﹣3|＜﹣（﹣3），故本选项不合题意；
C、﹣|﹣8|＝﹣8，
故﹣|﹣8|＜7，故本选项不合题意；
D、|﹣|＝，|﹣|＝，
故|﹣|＞|﹣|，故本选项不合题意；
答案：A．
4．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
解：∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，即a与b互为相反数．
又∵AB＝6，
∴b﹣a＝6．
∴2b＝6．
∴b＝3．
∴a＝﹣3，即点A表示的数为﹣3．
答案：A．
5．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度℃ ﹣183 ﹣253 ﹣195.8 ﹣268
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气
解：∵﹣268＜﹣253＜﹣195.8＜﹣183，
∴其中液化温度最低的气体是氦气．
答案：A．
6．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（ ）
A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b
解：由图可知，a＜0，b＞0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝b，
∴|b|﹣|a|＝b+a，
答案：C．
7．数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵比a小2的数用b表示，
∴b＝a﹣2，
∴|a|+|b|
＝|a﹣0|+|a﹣2|，
那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小，
显然这个点就是在0与2之间，
当a在区间0与2之间时，
|a﹣0|+|a﹣2|＝|2﹣0|＝2为最小值，
∴|a|+|b|的最小值为2，
答案：C．
8．如图，圆_????????????1???_单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达A′的位置，则点A′表示的数是（ ）21教育网
A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1
解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴此圆的周长＝π，
∴当圆向左滚动时点A′表示的数是﹣π+1；
答案：B．
9．数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
解：由题意得：|m|＝|m+2|，
∴m＝m+2或m＝﹣（m+2），
∴m＝﹣1．
答案：D．
10．有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．|a|＞4 B．＜0 C．c﹣b＞0 D．ac＞0
解：由数轴上a的位置知，a＜b＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|．
∵a离开原点的距离小于4，故选项A错误；
∵a＜b＜0，
∴，故选项B错误；
∵b＜0＜c，
∴c﹣b＞0，故选项C正确；
因为a＜0，c＞0，
所以ac＜0．故选项D错误．
答案：C．
11．若实数a、b、c满足|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，则|b﹣c|的值为（ ）
A．6 B．7 C．6或8 D．6或7
解：∵|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，
∴a﹣b＝±1，a﹣c＝±7，
当a﹣b＝1，a﹣c＝7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝7﹣1＝6，原式＝6；
当a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝﹣7+1＝﹣6，原式＝6；
当a﹣b＝1，a﹣c＝﹣7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝﹣7﹣1＝﹣8，原式＝8；
当a﹣b＝﹣1，a﹣c＝7时，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝7+1＝8，原式＝8；
答案：C．
12．如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列结论正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．a3＞0 B．|a1|＝|a4|
C．a1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a2+a5＜0
解：﹣6与6两点间的线段的长度＝6﹣（﹣6）＝12，
六等分后每个等分的线段的长度＝12÷6＝2，
∴a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：﹣4，﹣2，0，2，4，
A选项，a3＝﹣6+2×3＝0，故该选项错误；
B选项，|﹣4|≠2，故该选项错误；
C选项，﹣4+（﹣2）+0+2+4＝0，故该选项正确；
D选项，﹣2+4＝2＞0，故该选项错误；
答案：C．
二、填空题
13．用“＜”号连接：﹣（﹣2.2），﹣1，﹣|﹣3|： ﹣|﹣3|＜＜﹣（﹣2.2） ．
解：∵﹣（﹣2.2）＝2.2，﹣|﹣3|＝﹣3，﹣3＜＜2.2，
∴﹣|﹣3|＜＜﹣（﹣2.2），
答案：﹣|﹣3|＜＜﹣（﹣2.2）．
14．如图，是北京S1线_??°é????????????¤?_意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是﹣4，2，那么金安桥站表示的数是 0 ．
解：∵图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是﹣4，2，
∴每站的单位长度是2，
∴金安桥站表示的数是0．
答案：0．
15．如图，两个椭圆分别表示正数集合和整数集合，给出下列8个有理数：，﹣7，2.5，|﹣3|，0，5，，﹣10，则A圈内应填的数字的和为 8 ．21·cn·jy·com
解：题中既属于整数又属于正数的有，5；
+5＝8．
答案：8．
16．如图，数轴上有若干个_????????????é????¤_点相距1个单位长度．其中点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且d﹣2a＝12，则b+c的值为 ﹣3 ．www-2-1-cnjy-com
解：由图可知：b＝a+3，c＝a+4，d＝a+7．
∴d﹣2a＝a+7﹣2a＝7﹣a＝12，
∴a＝﹣5，
∴b+c＝a+3+a+4＝2a+7＝﹣3．
故b+c＝﹣3．
17．若[x）表示大于x的最小整数，如[5）＝6，[﹣1.8）＝﹣1，则下列结论中正确的有 ①④⑤ ．（填写所有正确结论的序号）21·世纪*教育网
①[0）＝1；②[）﹣＝0；③[x）﹣x＜0；④x＜[x）≤x+1；⑤存在有理数x使[x）﹣x＝0.2成立．
解：①大于0的最小整数是1，故①计算正确，符合题意；
②原式＝1﹣＝，故②计算错误，不符合题意；
③原式≤1，故③计算错误，不符合题意；
④x＜[x）≤x+1，故④正确，符合题意；
⑤存在实数x，使[x）﹣x＝0.2成立，如[1.8）﹣1.8＝0.2，故⑤正确，符合题意．
答案：①④⑤．
18．如图，有一根木棒MN放_?????¨??°è????????_它的两端M、N分别落在点A、B处．将木棒在数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5，则木棒MN的长度为 6 ．【出处：21教育名师】
解：设木棒MN长为x，根据题意得：
x+x+（1﹣）x＝17.5﹣4.5，
解得：x＝6．
答案：6．
三、解答题
19．如图，数轴的单位长度为1，点A，B，C，D都在数轴上，且点A，B表示的数互为相反数．
（1）请在数轴上描出原点O的位置，并写出点A，C，D所表示的数．
（2）点P在数轴上，且PA+PB＝PD．
①小温说：点P不可能在点A左侧．小温说得对吗？请说明理由．
②求所有满足条件的点P所表示的数．
解：（1）∵点A，B表示的数互为相反数，
∴原点是线段AB的中点，原点的位置如图：
A表示的数是﹣2，
C表示的数是1，
D表示的数是﹣4；
（2）①小温说得对，理由是：
若P在A左侧，则PD＜PB，与PA+PB＝PD矛盾，
∴P不能在A左侧；
②（一）P在线段AB上（包括端点），则PA+PB＝AB＝4，
此时PD＝4，P表示的数为﹣4+4＝0；
（二）P在B右侧时，设P表示的数为x，
则PD＝x﹣（﹣4），PA＝x﹣（﹣2），PB＝x﹣2，
∴x﹣（﹣4）＝x﹣（﹣2）+x﹣2，
解得x＝4，
∴此时P表示的数是4，
综上所述，PA+PB＝PD，则P表示的数为0或4．
20．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．21cnjy.com
（1）请直接写出原点在第几部分；
（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；
（3）若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中点时，直接写出d的值．
解：（1）∵bc＜0，
∴b，c异号，
∴原点在第③部分；
（2）∵AC＝5，BC＝3，
∴AB＝AC﹣BC＝5﹣3＝2，
∵b＝﹣1，
∴a＝﹣1﹣2＝﹣3；
（3）当点C是OD的中点时，OD＝2OC＝2×3＝6，此时d＝6；
当O是CD的中点时，OD＝OC＝3，此时d＝﹣3；
当D是OC的中点时，OD＝OC＝×3＝，此时d＝．
∴d＝6或﹣3或．
21．对于数轴上的A，B，_C???????????????_如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．21*cnjy*com
（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是 1，4 ；
（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，
①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；
②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．
解：（1）1，4．
（2）①设点P对应的数为x．
当点P在AB之间时，∵AB＝30+10＝40，
∴BP＝AB时，BP＝10，
即x＝30﹣10＝20．
当BP＝AB时，BP＝30，
即x＝30﹣30＝0．
当点P在点B右侧，AP＝3BP．
即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50．
当点P在点A左侧，BP＝3AP．
即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30．
综上，x＝20，0，50，﹣30．
②由①得点P是倍分点时，P表示的数为20，0，50，﹣30．
当A为倍分点，点P在AB之间时，AB＝3AP，40＝3（x+10），解得x＝．
P在点A左侧时，AP＝3AB，﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130．
AB＝3AP，40＝3（﹣10﹣x），解得x＝．
点P在点B右侧，AP＝3AB，x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110．
当点B为倍分点时，同理可求x＝110，，，﹣90．
综上，P点表示的数可为：20，0，50，﹣30，，﹣130，，110，，，﹣90．
22．【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．21教育名师原创作品
（1）若点C为图①中线段AB的“雅点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝ 18 ；
（2）若点D也是图①中线段AB的“雅点”（不同于点C），则AC ＝ BD；（填“＝”或“≠”）
【解决问题】
如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；
（3）若M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“雅点”，求线段MN的长；
（4）图②中，若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．
解：（1）∵点C为线段AB的“雅点”，AC＝6（AC＜BC），
∴BC＝2AC，
∵AC＝6，
∴BC＝12，
∴AB＝AC+BC＝18，
答案：18；
（2）∵点D也是线段AB的“雅点”（不同于点C），
∴AD＝2BD，
而AD+BD＝18，
∴BD＝6，
∵AC＝6，
∴AC＝BD，
答案：＝；
（3）∵数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F，
∴OF＝1+5＝6，
M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“雅点”，
①M、N为线段OF的同一个“雅点”时，MN＝0，
②M、N为线段OF的不同“雅点”，且MF＝2OM，ON＝2FN，如答图1：
∵MF＝2OM，OM+FM＝6，
∴OM＝2，
∵ON＝2FN，ON+FN＝6，
∴ON＝4，
∴MN＝ON﹣OM＝2，
③M、N为线段OF的不同“雅点”，且OM＝2FM，FN＝2ON，如答图2：
∵OM＝2FM，OM+FM＝6，
∴OM＝4，
∵FN＝2ON，ON+FN＝6，
∴ON＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝2，
总上所述，MN的长为0或2；
（4）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，分以下四种情况：【来源：21cnj*y.co*m】
①G在线段EF上，EG＝2FG，如答图3：
∵EG＝2FG，EG+FG＝5，
∴EG＝，
∵E表示的数为1，
∴G点表示的数为1+＝，
②G在线段EF上，且FG＝2EG，如答图4：
∵FG＝2EG，EG+FG＝5，
∴EG＝，
∵E表示的数为1，
∴G表示的数为1+＝，
③G在线段EF外，且EF＝2FG，如答图5：
∵EF＝2FG，EF＝5，
∴FG＝2.5，
∴G表示的数是1+5+2.5＝8.5，
④G在EF外，且FG＝2EF，如答图6：
∵FG＝2EF，EF＝5，
∴FG＝10，
∴G表示的数为1+5+10＝16，
总上所述，G表示的数为：或或8.5或16．
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