22.1.2：二次函数y=ax2的图像和性质 同步提高课时练习（含解析）

22.1.2：二次函数y=ax2的图像和性质
1．关于函数false的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．false的值越大，开口越大 B．false的值越小，开口越小
C．false的绝对值越大，开口越小 D．false的绝对值越小，开口越小
2．在平面直角坐标系false中，点false的图象如图所示，则false的值可以为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知点false在抛物线false上，则false的大小关系是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．点P(m ，n)在函数y x2的图象上，当-1 ≤ m ≤2时，则n的取值范围是（ ）
A．1 ≤ n ≤4 B．0≤ n ≤4 C．0≤ n ≤1 D．-1≤ n ≤2
5．以下那个点不在函数false的图象上（ ）
A．(3，9) B．(-1，1) C．(2，4) D．(1，2)
6．函数y=ax2（a≠0）的图象与a的符号有关的是（???????? ）
A．对称轴 B．顶点坐标 C．开口方向 D．开口大小
7．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．抛物线false，false，false共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是false轴
C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
9．已知原点是抛物线y=（m﹣1）x2的最高点，则m的范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞1 D．m＞﹣2
10．函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B． C． D．
11．已知点A(1，y1)，B(false，y2)，C(2，y3)，都在二次函数y＝－falsex2的图象上，则( )
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y3＞y2
12．已知false是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝(　　)
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
13．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第一象限上的一点，连结OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，若四边形AOBC为正方形，则顶点C的坐标为（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（0，﹣2）
14．苹果熟了，从树上落下所经过的路程false与下落时间false满足false，则false与false的函数图象大致是（ ）
A．开口向下，且关于false轴对称 B．开口向上，且关于false轴对称
C．顶点是原点，且关于false轴对称 D．顶点是原点，且关于false轴对称
15．下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（ ）
A．y=x2 B．y=﹣false x2 C．y=falsex2 D．y=﹣falsex2
16．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数 yfalse=xfalse（x≥0）与 yfalse= falsexfalse（x≥0）的图象于 B，C两点，过点C作y轴的平行线交yfalse=xfalse（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC交 yfalse=falsexfalse（x≥0）的图象于点E，则false=（ ）
A．false B．1 C．false D．3﹣ false
17．已知二次函数y=－falsex2，下列说法正确的是（ ）
A．该抛物线的开口向上 B．顶点坐标是（0，0）
C．对称轴是x=－false D．当x＜0时，y随x的增大而减小
18．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣1或a≥2 B．false≤a≤2
C．﹣1≤a＜0或1＜a≤2 D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2
19．二次函数y＝（m﹣1）x2的图象开口向下，则m_____．
20．若在抛物线false对称轴的左侧，false随false的增大而增大，则false__________________．
21．已知函数false，不画图像，回答下列各题.
（1）开口方向为______；
（2）对称轴为______；
（3）顶点坐标为______；
（4）当false时，false随false的增大而______；
（5）当false______时，false；
（6）当false______时，函数false的最______值是______.
22．设直线false与抛物线false交于false两点，点false为直线false上方的抛物线false上一点，若false的面积为false，则点false的坐标为_________________．
23．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=falsex2与y=–falsex2的图象，则阴影部分的面积是__________．
24．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，若B点的横坐标与纵坐标之和等于6，则正方形OABC的面积为_____．
25．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）
26．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______．
27．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝kx+5k（k为常数，k≠0）与抛物线y＝falsex2相交于A，B两点，且OA⊥OB，则k的值为_____．
28．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y x2 的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若 4 x1 2， 0 x2 2 ，则 y1 ____ y2 . （用“ ”，“=”或“>”号连接）
29．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2（x≥0）和抛物线C2：y＝false（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E、F，则false 的值为_____．
30．已知四个点的坐标分别为A(-4，2)，B(-3，1)，C(-1，1)，D(-2，2)，若抛物线y=ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为____________.
31．若抛物线 false 的开口向上，则 false 的取值范围是________．
32．在平面直角坐标系中，抛物线false的图象如图所示．已知false点坐标为false，过点false作false轴交抛物线于点false，过点false作false交抛物线于点false，过点false作false轴交抛物线于点false，过点false作false交抛物线于点false……，依次进行下去，则点false的坐标为_____．
33．下列四个二次函数：①y=x2，②y=-2x2，③y=falsex2，④y=3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是____
34．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是_____(填序号).
①m0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0
35．画出二次函数y＝x2的图象．
36．已知false是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
37．已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点．
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．
38．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
39．一条抛物线的顶点和形状都与抛物线false相同，但开口方向相反，求此抛物线解析式，并画出它的图像.
40．在平面直角坐标系中，若抛物线false与直线false交于点false和点false，其中false，点false为原点，求false的面积.
41．已知点A（2，a）在抛物线y=x2上
（1）求A点的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由．
42．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)．
(1)求a，b的值．
(2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
43．已知函数false是关于false的二次函数．
false求false的值．
false当false为何值时，该函数图象的开口向下？
false当false为何值时，该函数有最小值？
false试说明函数图象的增减性．
44．如图所示，已知函数y＝ax2(a≠0)的图象上的点D，C与x轴上的点A(－5，0)和B(3，0)构成?ABCD，DC与y轴的交点为E(0，6)，试求a的值．
45．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．
（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有　 　；
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线y＝falsex2第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】抛物线的开口方向由a的符号确定，开口大小由|a|确定，据此回答.
【解答】解：因为|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的开口，开口大小由|a|确定：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
2．B
【解析】分别将false，false两点的横坐标代入false，由图像知，false时false的函数值false，当false时，false的函数值false，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：将false代入false中时，得：false，将false代入false中时，得：false，
根据图像可知，false时false的函数值false，当false时，false的函数值false，
则有：false ，解得：false，
故选B．
【点评】本题考查二次函数，难度一般，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题．
3．D
【解析】先分别计算出自变量为-3、-1和2所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x=-3时，y1=3；
当x=-1时，y2=false；
当x=2时，y3=false；
∴false，
故选D.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
4．B
【解析】由题意确定出对称轴，再根据二次函数的增减性求出m取值范围内的最大值，然后写出n的取值范围即可．
【解答】解：函数y=x2，所以对称轴为y轴，
∵-1≤m≤2，a=1＞0即开口向上，
∴当m=0时，n有最小值0，
当m=2时，n有最大值为22=4，
所以n的取值范围是0≤n≤4．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握并利用二次函数的增减性以及最值问题进行分析是解题的关键．
5．D
【解析】利用代入法对各点进行判断即可．
【解答】A. (3，9)，在函数图象上；
B. (-1，1)，在函数图象上；
C. (2，4) ，在函数图象上；
D. (1，2)，不在函数图象上；
故答案为：D．
【点评】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．C
【解析】
解：二次函数图象中a的符号决定了抛物线的开口方向，故选C．
7．A
【解析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=false，
观察图象可知false≤a≤3，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．B
【解析】根据二次函数的性质解题．
【解答】解：抛物线false的图象开口向上，对称轴为y轴，有最低点，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大．
抛物线false的图象开口向下，对称轴为y轴，有最高点，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
抛物线false的图象开口向上，对称轴为y轴，有最低点，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大．
∴抛物线false共有的性质是对称轴为y轴．
故选B．
【点评】本题考查二次函数的性质．
9．B
【解析】由于原点是抛物线y=（m-1）x2的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定m的范围．
【解答】∵原点是抛物线y=(m-1)false的最高点，
∴m-1<0，
即m<1.
故选B.
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟悉掌握是关键.
10．A
【解析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．
【解答】解：∵在y=ax-2，
∴b=-2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选A．
【点评】考核知识点：二次函数图象.
11．A
【解答】试题分析：二次函数y＝－falsex2对称轴为y轴，开口向下，在y轴右侧，y随x的增大而减小，因为x112．A
【解析】根据二次函数的定义，可知二次项系数不等于0，且x的次数等于2，从而得出k的可能值，再根据二次函数有最大值，可知二次项系数为负值，据此可解．
【解答】解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2
∴k≠1，k＝±2，故C错误；
∵有最大值
∴k﹣1＜0
∴k＜1
∴k＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，明确相关定义、性质，是解题的关键．
13．C
【解析】
【解析】根据题意和正方形的性质可以得到点C所在的位置和点C的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：∵点A是抛物线y=x2在第一象限上的一点，连结OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，四边形AOBC为正方形，
∴点B和点A关于y轴对称，点C在y轴上，
设点A的坐标为（a，a2），
则a=a2（a＞0），
解得，a=1，
∴点C的坐标为（0，2），
故选C．
【点评】考查二次函数的图象与性质，正方形的性质，设点A的坐标为（a，a2）是解题的关键.
14．C
【解析】
【解析】根据函数关系式，确定抛物线的性质，再逐一判断．
【解答】函数s=5t2,a=5>0,顶点坐标为(0,0)，
∴抛物线开口向上，顶点为原点，对称轴为y轴.
故答案选C.
【点评】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据函数关系式确定抛物线的性质.
15．B
【解析】根据二次函数的性质，开口向下，二次项系数小于0，二次项系数的绝对值越小，开口越大解答．
【解答】∵抛物线开口向下，
∴二次项系数小于0，
∵|-false |＜|-false |，
∴y=-falsex2的开口更大．
故选B．
【点评】考查了二次函数的性质，熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键．
16．D
【解析】设点A的纵坐标为b, 可得点B的坐标为(false,b), 同理可得点C的坐标为(falseb,b)，
D点坐标（false，3b），E点坐标(false,3b)，可得false的值.
【解答】解:设点A的纵坐标为b, 因为点B在false的图象上, 所以其横坐标满足false=b, 根据图象可知点B的坐标为(false,b), 同理可得点C的坐标为(false,b),
false所以点D的横坐标为false,因为点D在false的图象上, 故可得
y=false=3b，所以点E的纵坐标为3b,
false因为点E在false的图象上, falsefalse=3b，
因为点E在第一象限, 可得E点坐标为(false,3b),
故DE=false=false,AB=false
所以false=false
故选D.
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质.
17．B
【解析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【解答】∵y=－falsex2，
∴false，抛物线的开口向下，故选项A错误；
顶点坐标是（0，0），故选项B正确；
对称轴是x=0，故选项C错误；
抛物线的开口向下，对称轴是x=0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故D错误.
故选：B.
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=ax2中，对称轴为x=0，顶点坐标为（0，0）．
18．D
【解析】分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a的取值范围即可.
【解答】解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）
∴-1=a×12
∴a=-1
∴-1≤a<0
若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）
∴2=a×12
∴a=2
∴0∴a的取值范围是-1≤a<0或0故选D
【点评】本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．
19．＜1
【解析】根据二次函数y＝（m﹣1）x2的图象开口向下，列出关于m的不等式，即可得到答案.
【解答】∵二次函数y＝（m﹣1）x2的图象开口向下，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1，
故答案为：＜1．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次项系数的几何意义，是解题的关键.
20．false
【解析】利用二次函数的性质列出方程求解即可．
【解答】解：∵二次函数false在其图象对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∴m＜0，且m2-1=2，
解得m=false，
故答案为：false.
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
21．向下 false轴 false 减小 false false 大 0
【解析】根据二次函数的解析式和图像性质即可依次写出.
【解答】对于false
（1）∵a=false＜0，∴开口方向为向下；
（2）对称轴为y轴；
（3）顶点坐标为false；
（4）当false时，false随false的增大而减小；
（5）当false=0时，false；
（6）当false=0时，函数false的最大值是0.
故填：(1). 向下(2). false轴 (3)false(4).减小(5)false(6)false；大；0
【点评】本题主要考查二次函数的性质及图象，掌握二次函数的顶点式y＝ax2对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．
22．false或false
【解析】作出图象，首先求得线段AB的长，然后利用面积求得点P的纵坐标，从而求得点P的坐标．
【解答】解：如图，
∵令y=2则y=x2=2，
解得：x=false，
∴A（false，2），B（false，2），
∴AB=false，
设点P（x，x2），
∴S△ABP=false×false×x2=false，
解得：x2=2，
∵点P在y=2上方，
∴点P的坐标为false或false，
故答案为：false或false.
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意作出图形，难度不大．
23．8
【解答】函数y=falsex2与y=–falsex2的图象关于x轴对称，又因正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，所以阴影部分的面积为正方形面积的一半，即4×4×false=8.
点睛：本题考查了抛物线false的性质，熟知false与false的图象关于x轴对称是解决问题的关键.
24．10．
【解析】
【解析】根据点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，可设B点坐标为（x，x2），则x＞0．根据B点的横坐标与纵坐标之和等于6，列出方程x+x2＝6，解方程求出x的值，再根据正方形的性质求出正方形OABC的面积．
【解答】解：∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，
∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0．
∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴x+x2＝6，
解得x1＝2，x2＝﹣3（不合题意舍去），
∴B（2，4），
∴OB2＝22+42＝20，
∴正方形OABC的面积＝falseOB?AC＝falseOB2＝10．
故答案为10．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的面积，求出B点坐标是解题的关键．
25．a1＞a2＞a3＞a4
【解析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【解答】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案是：a1＞a2＞a3＞a4.
【点评】考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
26．2π
【解析】
试题分析：根据题意可知两个函数的图像关于x轴对称，通过对称性可知阴影部分为一个半圆，求半圆的面积为π×22÷2=2π.
故答案为2π.
27．1．
【解析】
【解析】根据题意可知OA与x轴形成的角的正切值和OB与x轴形成的角的正切值的乘积为1，再根据根与系数的关系可以求得k的值．
【解答】令kx+5kfalsex2，则falsex2﹣kx﹣5k=0．
设方程falsex2﹣kx﹣5k=0的两个根为x1，x2，点A的坐标为（x1，falsex12），点B（x2，falsex22），点A在点B的左侧，∴x1?x1false．
∵OA⊥OB，∴false1，∴false1，∴false（﹣25k）=1，解得：k=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
28．>
【解析】
【解析】通过比较点M和点N到y轴的距离的远近判断y1与y2的大小．
【解答】解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，
而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，
所以y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用二次函数的图象比较二次函数值的大小比较简便．
29．false
【解析】根据二次函数的图象和性质结合三角形面积公式求解.
【解答】解：设点false横坐标为false，则点false纵坐标为false，点B的纵坐标为false ，
∵BE∥x轴，
∴点F纵坐标为false，
∵点F是抛物线false上的点，
∴点F横坐标为false，
∵false轴，
∴点D纵坐标为false，
∵点D是抛物线false上的点，
∴点D横坐标为false，
false
falsefalse，
故答案为false．
【点评】此题重点考查学生对二次函数的图象和性质的应用能力，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
30．false 或 false 或 false
【解析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；
【解答】（1）当false时，恒成立
（2）当false时，
代入C(-1，1)，得到false，
代入B(-3，1)，得到false，
代入A(-4，2)，得到false，
没有交点，false或false
故答案为：false 或 false 或 false.
【点评】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
31．a＞2
【解析】利用二次函数图像的性质直接求解.
【解答】解:∵抛物线false的开口向上，
∴a-2>0，
∴a＞2，
故答案为a＞2.
【点评】本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键.
32．false
【解析】根据二次函数性质可得出点false的坐标，求得直线false为false，联立方程求得false的坐标，即可求得false的坐标，同理求得false的坐标，即可求得false的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点false的坐标．
【解答】解：∵false点坐标为false，
∴直线false为false，false，
∵false，
∴直线false为false，
解false得false或false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴直线false为false，
解false得false或false，
∴false，
∴false
…，
∴false，
故答案为false．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
33．③①②④.
【解析】
抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽，
由此可知抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，
故答案为：③①②④.
34．②④
【解析】
∵x2一定不小于0，则由条件“对应任意给定的x的值，都有y甲false y乙”可知：存在以下3种情况：
（1）若y甲和y乙都为正数，则m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；
（2）若y甲为正数，y乙为负数，则m＞0，n＜0；
（3）若都为负数时，则n＜m＜0；
∴关于m，n的关系正确的是② 、④ ．
35．图像见解析.
【解析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可．
【解答】函数y＝x2的图象如图所示：
【点评】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
36．(1)k=±2；?(2) 见解析；?(3)见解析.
【解析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；
（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；
（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．
【解答】(1) 根据二次函数的定义得 false 解得k=±2.
?∴当k=±2时，原函数是二次函数.
?(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.
?∴该抛物线的解析式为false，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.
?(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.
?∴该抛物线的解析式为false，顶点坐标为(0，0)，
∴当k=-2时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小.
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．
37．（1）；（2）2．
【解答】试题分析：（1）将A、B的横坐标代入抛物线的解析式中，即可求得A、B的坐标，然后将它们代入直线的解析式中，可得方程组，解方程组即可求得a、b的值，从而得一次函数的表达式；（2）抛物线y=falsex2的顶点是原点O，设直线AB与x轴的交点为D，先根据直线AB的解析式求出D点坐标，然后根据△ADO的面积减去△OBD的面积=△OAB的面积即可求得．
△OAB的面积．
试题解析：解：（1）设A点坐标为（3，m）；B点坐标为（-1，n）．
∵A、B两点在y=x2的图象上，∴m=false×9=3，
n=false×1=．
∴A（3，3），B（-1，false）．
∵A、B两点又在y=ax+b的图象上，可得，
false，解得false
∴一次函数的表达式是false．
（2）如下图，设直线AB与x轴的交点为D，则D点坐标为（false,0）,
S△ABC=S△ADC-S△BDC=false×false×3-false×false×1=2．
考点：二次函数与一次函数综合题．
38．（1）a=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析
【解析】
试题分析：
（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；
（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.
试题解析：
（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；
（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）作函数y=ax2的草图如下：
39．false，图见解析.
【解析】根据二次函数false的图像性质直接求解即可.
【解答】解：false所求抛物线的顶点和形状与抛物线false相同，但开口方向相反，
∴false为false的相反数，
解析式为false
【点评】本题考查false的图像性质，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
40．false.
【解析】首先求得两个交点的坐标，然后求得直线false与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：由题意得：
false
解得：false或false
∵点false和点false，其中false
∴false，false
直线false与y轴的交点坐标为：（0，1）
∴false
【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图象的交点坐标．
41．（1）A点的坐标为：（2，4）；（2）（2false，0），（﹣2false，0），（4，0），（5，0）．
【解析】
试题分析：（1）直接将A点代入解析式求出即可A点坐标即可；
（2）分别根据以O为顶点时，以A为顶点时，以P为顶点时求出符合题意的点的坐标即可．
试题解析：（1）∵点A（2，a）在抛物线y=x2上，∴a=22=4，
∴A点的坐标为：（2，4）；
（2）如图所示：以O为顶点时，AO=P1O=2false或AO=AP2=2false
∴点P坐标：（2false，0），（﹣2false，0），以A为顶点时，AO=OP，
∴点P坐标：（4，0）；以P为顶点时，OP′=AP′，
∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x则42+（x﹣2）2=x2，解得：x=5，
∴点P坐标：（5，0），
综上所述使△OAP是等腰三角形则P点坐标为：（2false，0），（﹣2false，0），（4，0），（5，0）．
42．(1) a＝－1, b＝－1;
(2) 存在,理由见解析.．
【解答】分析：(1)将点(1，b)代入到直线y = 2x－3，可以得出b = -1，再将(1，-1)代入到抛物线求出a、b;(2)P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m?= n?两点相交，即相交点符合两个函数方程，可以得出二次函数，并且要把握住P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m? = n? ，然后在n = ?m?－ m? 中把 m? 换为 n? ，求出n的值，最后得到m的值，即可得到P的坐标.
本题解析：
(1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)，
∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．
∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)，
∴－1＝a×12，∴a＝－1.
(2)若存在点P，设点P的坐标为(x，y)，
则|x|＝|y|.
∵a＝－1，∴y＝－x2，
∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1，
∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1).
点睛：本题是对抛物线知识的考查,掌握抛物线的图像、性质是解决本题的关键.
确定二次函数解析式时,要根据所给条件选择恰当的表达式.一般地,
已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;当已知顶点坐标
时,通常设函数解析式为顶点式;当已知抛物线与x轴有两个交点时,通
常设函数解析式为交点式.
43．false，false；false false时，该函数图象的开口向下；false时，该函数有最小值．false见解析.
【解析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题；
（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；
（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值；
（4）根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵函数y=（m+3）false是关于x的二次函数，∴m2+3m﹣2=2，m+3≠0，解得：m1=﹣4，m2=1；
（2）∵函数图象的开口向下，∴m+3＜0，∴m＜﹣3，∴当m=﹣4时，该函数图象的开口向下；
（3）∵当m+3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，∴m＞﹣3．
∵m=﹣4或1，∴当m=1时，该函数有最小值．
（4）当m=1时，x＞0时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小；
当m=﹣4时，x＞0时，y随x的增大而减小，x＜0时，y随x的增大而增大．
【点评】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．
44．false
【解析】由A（-5，0）和B（3，0）得出AB=8，进一步得出CD=AB=8，所以D点的横坐标为-4，再结合E（0，6），得出点D的纵坐标为6，代入D点坐标求得a的数值即可．
【解答】解：∵点A(－5，0)和B(3，0)，
∴AB＝8.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝8，CD∥AB.
又∵AB⊥y轴，抛物线y＝ax2的对称轴为y轴，∴CD⊥y轴，
∴DE＝falseCD＝4，点D，C，E的纵坐标相同．
又∵点E的坐标为(0，6)，
∴点D的坐标为(－4，6)．
将D(－4，6)代入y＝ax2，
解得a＝false.
【点评】此题考查二次函数的性质，平行四边形的性质，利用二次函数的对称性是解决问题的关键．
45．（1）N、Q；（2）a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，点Q的坐标为（6，0）或（false，0）．
【解析】（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可；
（2）对于P点，对应图形的周长为：2×（|a|+3）=2|a|+6，面积为3|a|，因为点P是“美好点”，故2|a|+6=3|a|，即可求解；
（3）根据点P是“美好点”确定点P的坐标，设点Q的坐标为（x，0），再分以下三种情况：当∠POQ=90°时，此种情况不存在；当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2；当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，分别列出关于x的方程，解得x即可．
【解答】解：（1）对于M点，对应图形的周长为：2×（2+2）＝8，面积为2×2＝4≠8，故点M不是“美好点”；
对于点N，对应图形的周长为：2×（4+4）＝16，面积为4×4＝16，故点N是“美好点”；
对于点Q，对应图形的周长为：2×（6+3）＝18，面积为6×3＝18，故点Q是“美好点”；
故答案为：N、Q；
（2）对于P点，对应图形的周长为2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|，
∵点P是“美好点”，
∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，
将P（a，﹣3）代入y＝x+b得：﹣3＝a+b，则b＝﹣3﹣a，
∴当a=6时，b=-9；当a=-6时，b=3，
故a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；
（3）存在，理由如下：
设点P的坐标为（m，n），则n＝falsem2（m＞0，n＞0），
由题意得：2m+2n＝mn，∴2m+falsem2＝falsem3，
解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），
故点P的坐标为（6，3）；
设点Q的坐标为（x，0），
则PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，
PO2＝36+9＝45，
OQ2＝x2，
当∠POQ=90°时，∵点Q在x轴上，则∠POQ≠90°，此种情况不存在；
当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2，∴45=（x﹣6）2+9+ x2，解得x＝6或x=0（舍去）；
当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，∴x2=（x﹣6）2+9+45，解得x＝false；
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：（6，0）或（false，0）．
【点评】本题考查了新定义问题，二次函数图象上的点，勾股定理，一次函数的图象上的点以及解一元二次方程等知识点，理解新定义是解题的关键，第（3）小问注意分类讨论思想的运用，避免漏解．