22.1.3：二次函数y=a（x-h）2k的图像和性质 同步提高课时练习（含解析）

22.1.3：二次函数y=a（x-h）2 k的图像和性质
1．抛物线false的顶点坐标是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．若点A(2，y1)，B(﹣1，y2)在抛物线y＝（x﹣2）2+1的图象上，则y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．无法确定
3．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
4．下列对抛物线y=-2(x-1)2+3性质的描写中，正确的是(??? )
A．开口向上 B．对称轴是直线x=1 C．顶点坐标是(-1，3) D．函数y有最小值
5．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，把它内部及边上的横、纵坐标均为整数的点称为整点，点P为抛物线false的顶点（m为整数），当点P在正方形OABC内部或边上时，抛物线下方（包括边界）的整点最少有（　　）
A．3个 B．5个 C．10个 D．15个
7．抛物线①y=2x2；②y=2（x+1）2﹣5；③y=3（x+1）2；④y=（x+1）2﹣5．其中， 形状相同的是（ ）
A．①② B．②③④ C．②④ D．①④
8．将抛物线false向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
9．抛物线y=－2(x－3)2－4的顶点坐标false　　false
A．(－3,4) B．(－3, －4) C．(3, －4) D．(3,4)
10．如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是( )
A．(false，0) B．(1，0) C．(2，0) D．(3，0)
11．若二次函数false，当false时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．如果二次函数false的图像如图所示，那么一次函数false的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
13．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（false，y1），B（2，y2），C（﹣false，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
14．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为(-2，-3)，(1，-3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为( )
A．-1 B．-3 C．-5 D．-7
15．小明在研究抛物线false（false为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论false取何实数，false的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线false上
C．当false时，false随false的增大而增大，则false
D．该抛物线上有两点false，false，若false，false，则false
16．以false为顶点的二次函数是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
17．如图，抛物线y1=false（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=false；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.其中正确结论的个数是（　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
19．抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为_____．
20．如果二次函数false的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么false的取值范围是__________.
21．已知二次函数y＝﹣8（x+m）2+n的图象的顶点坐标是(﹣5，﹣4)，那么一次函数y＝mx+n的图象经过第_____象限．
22．写出一个顶点坐标是(1，2)且开口向下的抛物线的解析式________．
23．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值的和是__________
24．将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为________．
25．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_____．
26．二次函数的顶点是false，该抛物线可设为________．
27．将抛物线 false ，绕着它的顶点旋转 false ，旋转后的抛物线表达式是________．
28．抛物线false的顶点坐标是______，开口方向______，对称轴是______；当false时，false随false的增大而______；它可由抛物线false向______平移______个单位长度得到.
29．若一个函数图象的对称轴是y轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数：
①y=2x；②y=false；③y=x2；④y=（x﹣1）2+2中，属于偶函数的是______（只填序号）．
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为______
31．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_____．
32．若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数false的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是__________________．(用“<”连接)
33．如图，抛物线y=a（x+2）2+3（a＜0）与y轴正半轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴交抛物线于点M、交x轴于点N，连结MA、MB、NA、NB，则四边形ANBM的面积为________．
34．若抛物线false与false的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是false，则该抛物线的函数表达式是________．
35．填表．
解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
y＝(x－2)2－3
y＝－(x＋3)2＋2
y＝3(x－2)2
y＝－3x2＋2
36．已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D 两点的坐标；
37．二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位．
（1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式；
（2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果）
38．在同一坐标系中画出函数falsefalse和false的图象，并说明y1，y2的图象与函数false的图象的关系．
39．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
40．已知二次函数false，当false时有最大值，且此函数的图象经过点false，求此二次函数的关系式，并指出当false为何值时，false随false的增大而增大．
41．把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=false(x+1)2-1的图象.
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
42．已知false、false、false、false、false五个点，抛物线false经过其中的三个点．
（1）求证：点false、false不能同时在抛物线上；
（2）点false在抛物线false上吗？为什么？
43．已知函数false.
（1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？
44．画出二次函数false的图像，并指出对称轴和顶点坐标.
45．已知函数y=﹣false（x+1）2﹣2
（1）指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是　 　，顶点坐标为　 　
（2）当x　 　时，y随x的增大而增大
（3）怎样移动抛物线y=﹣falsex2就可以得到抛物线y=﹣false（x+1）2﹣2
参考答案
1．B
【解析】已知抛物线的解析式满足顶点坐标式false的形式，直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线false，
∴抛物线false的顶点坐标是（0，?2），
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数y＝a(x?h)?＋k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h，此题基础题，比较简单．
2．A
【解析】分别计算自变量为2、﹣1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x＝2时，y1＝（x﹣2）2+1＝1；
当x＝﹣1时，y2＝（x﹣2）2+1＝10；
∵10＞1，
∴y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
3．D
【解析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A错误，D选项正确；
故选D．
【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
4．B
【解析】由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，再逐一进行判断即可．
【解答】解：A、∵?2＜0，∴抛物线的开口向下，故A错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴为：x＝1，故B正确，符合题意；
C、抛物线的顶点为（1，3），故C错误，不符合题意；
D、因为开口向下，故该函数有最大值，故D错误，不符合题意.
故答案为：B.
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x?h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．
5．C
【解析】根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，抛物线在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，据此列不等式求解.
【解答】∵a=1>0，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵y=（x﹣m）2﹣1的对称轴是x=m，
∴m≥3.
故选C.
【点评】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
6．B
【解析】根据题意，可以得到当点P在正方形OABC内部或边上时，抛物线下方(包括边界)的整点最少m的值，从而可以得到最少时点的坐标，进而得到最少时有几个点．
【解答】∵点P为抛物线y=﹣(x﹣m)2+m+2的顶点(m为整数)，
∴点P的坐标为(m，m+2)，
又∵点P在正方形OABC内部或边上，
∴当m=0时，抛物线y=﹣x2+2，此时抛物线下方(包括边界)的整点最少，
当x=1时，y=1，当x=2时，y=﹣2，
∵正方形OABC的边长为4，把它内部及边上的横、纵坐标均为整数的点称为整点，
∴当m=0时，抛物线y=﹣x2+2下方(包括边界)的整点有：(0，2)，(0，1)，(0，0)，(1，0)，(1，1)，
即当点P在正方形OABC内部或边上时，抛物线下方(包括边界)的整点最少有5个，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
7．A
【解析】
【解析】根据题意，可以二次函数中的二次项系数相同，则形状相同，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y=2x2 的二次项系数是 2，y=2（x+1）2﹣5 的二次项系数是 2，y=3
（x+1）2 的二次项系数是 3，y=（x+1）2﹣5 的二次项系数是 1，
∴y=2x2 与 y=2（x+1）2﹣5 的形状相同， 故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．A
【解析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3．
故选A．
9．C
【解析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【解答】y=-2（x-3）2-4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，-4）．
故选C．
【点评】本题考查了抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为：（h，k）.
10．B
【解析】
根据图表，可得抛物线y=a(x+1)2+2与x轴的交点坐标为(?3，0)；将(?3，0)代入y=a(x+1)2+2，可得a(?3+1)2+2=0，解得a=?false；所以抛物线的表达式为y=?false(x+1)2+2；当y=0时，可得?false(x+1)2+2=0，解得x1=1，x2=?3，所以该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是(1，0)．
故选 B.
11．C
【解答】分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，
而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
12．B
【解析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
【解答】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限．
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
13．D
【解析】
试题分析：根据二次函数的解析式y＝3(x－1)2＋k，可知函数的开口向上，对称轴为x=1，根据函数图像的对称性，可得这三点的函数值的大小为y3＞y2＞y1.
故选D
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时先根据顶点式求出开口方向，和对称轴，然后根据函数的增减性比较即可，这是中考常考题，难度有点偏大，注意结合图形判断验证.
14．C
【解析】当抛物线的顶点在线段AB的B点上时，点N的横坐标最大，把B的坐标代入即可求出a的值，因为抛物线的a是定值．根据题意可知当抛物线的顶点运动到A时，M的横坐标最小，把A的坐标和a的值代入即可求出二次函数的解析式，再求出y=0时x的值即可求出答案．
【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y＝a（x?1）2?3，
把点N的坐标代入得：0＝a（4?1）2?3，
解得：a＝false ，
当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：y＝false（x＋2）2-3，
令y＝0，则x＝?5或1，
即点M的横坐标的最小值为?5，
故答案为：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求出二次函数的解析式是解此题的关键.
15．D
【解析】根据抛物线的解析式的性质，对每个选项进行分析即可．
【解答】A、由函数表达式的性质可得，抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），抛物线的最大值为-h+1，若h<1，则y>0，故A项错误；
B、由题可得出抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），
当x=h时，代入y=x-1得false，故B项错误；
C、由题意得，抛物线在x=h左侧时，false随false的增大而增大，
∴false，故C项错误；
D、∵x12h，
∴x1在x=h左侧且更靠近x=h，
∵在false中，x离x=h越近，y值越大，
∴y1>y2，故D项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握知识点，灵活运用是解题关键．
16．C
【解析】
【解析】若二次函数的表达式为false，则其顶点坐标为(a,b).
【解答】解：当顶点为false时，二次函数表达式可写成：false，
故选择C.
【点评】理解二次函数解析式中顶点式的含义.
17．B
【解析】
解：∵抛物线false与false交于点A（1，3），∴3=a（1﹣4）2﹣3，解得：a=false，故①正确；
∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，∴无法得出AC=AE，故②错误；
当y=3时，3=false，解得：x1=1，x2=﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB=4，AD=BD=false，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵false=false时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．
18．C
【解析】根据二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．
【解答】解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8，
∵a＝2＞0，
∴图象的开口向上，故本选项错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误；
C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，结合二次函数性质对比四个选项即可．
19．（﹣2，4）．
【解答】分析：根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
详解：∵y=2（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（-2，4），
故答案为（-2，4）．
点睛：本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
20．false
【解析】由题意得：二次函数false的图像开口向上，进而，可得到答案.
【解答】∵二次函数false的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴二次函数false的图像开口向上，
∴false.
故答案是：false
【点评】本题主要考查二次函数图象和二次函数的系数之间的关系，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.
21．一、三、四
【解析】由二次函数y=-8(x+m)2+n的图象的顶点坐标是(-5，-4)，得出m=5，n=-4，进一步利用一次函数的性质得出答案即可．
【解答】解：∵y＝﹣8(x+m)2+n的图象的顶点坐标是(﹣5，﹣4)，
∴m＝5，n＝﹣4，
∴一次函数y＝5x﹣4，
∴图象经过一、三、四象限．
故答案为：一、三、四．
【点评】此题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点坐标求得m、n的数值．
22．y=-(x-1)2+2
【解析】利用顶点式可设抛物线解析式为y=a(x-1)2+2，然后根据a的作用确定a的值即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y=a(x-1)2+2，
∵抛物线y=a y=-(x-1)2+22+2的开口向下，
∴可令a=-1，
∴抛物线解析式y=-(x-1)2+2．
故答案为y=-(x-1)2+2．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
23．1
【解析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝?1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．
【解答】∵二次函数y＝（x＋1）2?4，
对称轴是：x＝?1
∵a＝1＞0，
∴x＞?1时，y随x的增大而增大，x＜?1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在?2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2＋1）2?4＝5，
x＝?1时y有最小值，是?4，
故最小值和最大值的和等于1
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．
24．y=2x2+1
【解析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
【解答】解：由二次函数false的图象沿y轴向上平移2个单位，因此所得图象对应的函数表达式为：false．
【点评】本题考查二次函数的平移，掌握平移规律是本题的解题关键.
25．y1＞y2＞y3
【解析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
【解答】解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a，
∴对称轴是x=-1，
∴点A（﹣2，y1）关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故答案为y1＞y2＞y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，掌握二次函数图象的增减性是解题的关键．
26．false
【解析】已知抛物线的顶点坐标，则可以设该解析式为顶点式．
【解答】解：∵ 二次函数的顶点是(2,-1)，
∴ 该抛物线可设为y=a(x-2)2-1(afalse0)．
故答案是：y=a(x-2)2-1(afalse0)．
【点评】本题考查二次函数的三种形式，已知顶点坐标，可设顶点式y=a(x-h)2+k(afalse0)．
27．false
【解析】本题抛物线绕着它的顶点旋转false后，只改变开口方向，其他均不变.
【解答】解：由题意可知，函数旋转后只改变开口方向，故旋转后a=-2，则旋转后的抛物线表达式为：false.
【点评】本题考察了抛物线的旋转.
28．false； 向上； false； 增大； 右； false.
【解析】由false是二次函数的顶点式，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：由false，根据二次函数的性质可知顶点坐标为（false）；二次项系数为3＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=false，当false时，在对称轴的右侧，false随false的增大而增大；根据平移规律可知，它可由抛物线false向右平移false个单位长度得到.
【点评】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的性质，顶点式为y＝a（x?h）2＋k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，对称轴为x＝h．
29．③
【解析】
①y=2x，是正比例函数，函数图象的对称轴不是y轴，错误；
②y=false是反比例函数，函数图象的对称轴不是y轴，错误；
③y=x2是抛物线，对称轴是y轴，是偶函数，正确；
④y=（x﹣1）2+2对称轴是x=1，错误．
故答案为③．
30．6
【解析】找到对称轴直线x=2，在根据对称求出A（4,0），代入求出k的值，顶点坐标即可解题.
【解答】由题可知函数的对称轴为直线x=2，
∵原点和点A关于对称轴对称，
∴A（4,0），将A代入二次函数解析式得k=3
∴顶点坐标（2,3）
根据对称可知图中阴影部分的面积和=S矩形OCBD=6
【点评】本题考查了二次函数图像的性质，根据对称表示出点A的坐标是解题关键.
31．1
【解析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(1，1)，再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
【解答】∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1，
∴抛物线的顶点坐标为(1，1)，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了矩形的性质、配方法求二次函数图象的顶点以及二次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
32．a＜b＜c
【解析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答.
【解答】由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x=-1，且图象开口向上，
∴点离对称轴距离越远函数值越大，
∵-1-（-2）=1，
1-（-1）=2，
2-（-1）=3，
∴a＜b＜c，
故答案为：a＜b＜c.
【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式以及图象上点的坐标特征是解答的关键.
33．6
【解析】根据题意可得M为抛物线的顶点，即M（﹣2，3），则AC=BC=2，MN=3，再根据S四边形ANBM＝2S△AMN即可得解.
【解答】∵y=a（x+2）2+3（a＜0），
∴M（﹣2，3），
∴AC=BC=2，MN=3，
则S四边形ANBM＝2S△AMN=false.
故答案为6.
【点评】本题主要考查二次函数图象与性质，解此题的关键在于根据抛物线的顶点式直接得到顶点坐标，再利用面积公式进行求解即可.
34．false
【解析】
【解析】根据开口方向和顶点坐标的性质即可解题.
【解答】解：∵抛物线false与false的形状相同，开口方向相反，
∴a=-2,false
又∵顶点坐标是false，
∴false.
【点评】本题考查了二次函数的解析式,属于简单题,熟悉顶点的性质是解题关键.
35．
解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
y＝(x－2)2－3
向上
(2，－3)
直线x＝2
y＝－(x＋3)2＋2
向下
(－3，2)
直线x＝－3
向下
(－5，－5)
直线x＝－5
向上
(，1)
直线x＝
y＝3(x－2)2
向上
(2，0)
直线x＝2
y＝－3x2＋2
向下
(0，2)
直线x＝0
【解析】
【解析】各个函数都是顶点坐标式，根据顶点式可求抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴．
【解答】解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
y＝(x－2)2－3
向上
(2，－3)
直线x＝2
y＝－(x＋3)2＋2
向下
(－3，2)
直线x＝－3
向下
(－5，－5)
直线x＝－5
向上
(，1)
直线x＝
y＝3(x－2)2
向上
(2，0)
直线x＝2
y＝－3x2＋2
向下
(0，2)
直线x＝0
【点评】本题考查了二次函数的性质．在抛物线的顶点式方程y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
36．（1）y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）C(0，3)，D(2，－1)
【解析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可得二次函数的解析式；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)，
∴代入二次函数y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；
（2）当m＝2时，y＝(x－2)2－1，
∴D(2，－1)，
又当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)
【点评】本题考查二次函数的综合应用以及二次函数顶点坐标以等知识，根据数形结合得出是解题关键．
37．（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；（3）y1＞y2
【解析】（1）根据函数平移的特点：左加右减、上加下减，可以写出平移后的函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0；
（3）根据平移后函数的图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，从而可以写出y1、y2的大小关系．
【解答】解：（1）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）平移后的函数图象如图所示，
当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，得x1＝﹣1，x2＝3，
即经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；
（3）由图象可得，
A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，则y1＞y2．
【点评】本题考查的是二次函数的图像与性质，属于基础题型，记住平移的口诀“左加右减、上加下减”.
38．见解析，y1，y2的图象是false的图象分别向上和向下平移3个单位．
【解析】根据描点法，可得函数图象，根据图象间的关系，可得答案
【解答】
解：如图，
false的图象由false的图象向上平移3个单位得到；
false false的图象由false的图象向下平移3个单位得到．
【点评】本题考查了函数图象，利用描点法画函数图象，也可利用平移画函数图象：向上平移加，向下平移减．
39．false
【解析】过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=false得C（2，0），
于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=falsePC=false（m-2），由于PB=n=false，于是得到
false（m-2）=false，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．
【解答】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，
由抛物线y=false得C（2，0），
∴对称轴为直线x=2，
设B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB=falsePC=false（m-2），
∵PB=n=false，
∴false（m-2）=false，
解得m=false，m=2（不合题意，舍去），
∴AB=false，BP=false，
∴S△ABC=false．
【点评】本题考查二次函数的性质.
40．当x＜2时，y随x的增大而增大．
【解答】试题分析：根据当x=2时函数有最大值，可得h=2，再把点（1，﹣3）代入函数解析式求得a值，即可求得函数解析式，根据函数的性质直接写出函数y随x的增大而增大时x的取值范围即可．
试题解析：
根据题意得y=a（x﹣2）2，
把（1，﹣3）代入得a=﹣3，
所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2，
因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，
所以当x＜2时，y随x的增大而增大．
41．（1）false （2）开口向下，对称轴是x=1的直线，顶点（1，-5）
【解答】试题分析：（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y=false (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论；
（2），直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可.
试题分析：（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=false (x+1)2-1，
∴可以看作是将二次函数y=false (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，
而将二次函数y=false (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y=false (x-1)2-5，
∴a=false，b=1，k=-5；
（2）二次函数y=false (x-1)2-5，
开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-5）.
42．（1）证明见解析；（2）不在，理由见解析．
【解析】（1）由抛物线y=a（x-1）2+k可知，抛物线对称轴为x=1，顶点为false，假设点点false同时在抛物线false上，然后将C（-1，2），E（4，2）两点代入解析式中求得a的值，得出矛盾，从而假设不成立，false不能同时在抛物线上；
（2）假设A点在抛物线上，根据抛物线的性质得出点A为抛物线最低点，抛物线经过A，C，E三点，从而产生矛盾，排除A点在抛物线上．
【解答】解：
（1）false
false对称轴为false，顶点为false
设点false同时在抛物线false上，
false当false时，false
当false时，false
false这与false矛盾
false假设不成立，false不能同时在抛物线上
（2）不在
理由：若点falsefalse在抛物线上
由（1）得，抛物线的顶点坐标为false
false为顶点
false
false为最低点
又false抛物线过false中的三点
而B（0，-1），C（-1，2），D（2，-1），E（4，2）
false抛物线只能过false三点，这与（1）中的结论矛盾
false假设不成立，点false不在抛物线上．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是利用反证法解题，掌握二次函数的性质，明确图象上点的坐标必须满足函数解析式．
43．（1）抛物线的开口向上，对称轴是直线false，顶点坐标是（-1,-8）；（2）图象与y轴交于（0,-6）；（3）得当false时，y随x的增大而增大；当false时，y随x的增大而减小；（4）由顶点坐标，得当false时，y有最小值，最小值是-8.
【解析】
【解析】（1）根据二次函数性质，即可得到答案；
（2）令y=0，x=0，分别代入解析式，即可得到与坐标轴交点坐标；
（3）根据二次函数的性质，即可得解；
（4）根据二次函数的性质，以及a的值，即可得到答案.
【解答】解：（1）由函数false，
∵false，false，false，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线false，顶点坐标是（-1,-8）.
（2）令false，即false，
解得false，false.
∴图象与x轴交于（1,0），（-3,0）.
令false，即false，
∴图象与y轴交于（0,-6）.
（3）由二次函数的性质，得：当false时，y随x的增大而增大；当false时，y随x的增大而减小.
（4）由顶点坐标，得：当false时，y有最小值，最小值是-8.
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质，并正确求出与坐标轴的交点坐标.
44．图见解析，对称轴为false，顶点坐标为false.
【解析】根据顶点式的性质得到顶点坐标,开口方向和对称轴即可作图.
【解答】解：由解析式可知二次函数false开口向上, 对称轴为false，顶点坐标为false
∴二次函数图象如下,
【点评】本题考查了二次函数的作图,属于简单题,熟悉顶点式的性质是作图关键.
45．（1）开口方向向下、对称轴为x=-1、顶点坐标为（-1，-2）；（2）false ；（3）向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度.
【解析】（1）利用二次根式的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可；
（2）由对称轴和开口方向得出增减性；
（3）根据平移规律回答问题．
【解答】（1）∵a=-false ＜0，
∴抛物线开口向下，
顶点坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1；
故答案是：开口方向向下、对称轴为x=-1、顶点坐标为（-1，-2）；
（2）∵对称轴x=-1，
∴当x<-1时，y随x的增大而减大．
故答案是：false ；
（3）向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度移动抛物线y=-falsex2就可以得到抛物线y=-false（x+1）2-2．
【点评】本题考查了顶点式的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性以及平移规律，掌握顶点式的性质是解题的关键.