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2.1 整式 同步习题精讲精练
【高频考点精讲】
1.列代数式
(1)定义:把问题中与数量有关的词语,用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式.
(2)注意事项:
①在同一个式子或具体问题中,每一个字母只能代表一个量.
②在数和表示数的字母乘积中,一般把数写在字母的前面,这个数若是带分数要把它化成假分数.
③含有字母的除法,一般不用“÷”(除号),而是写成分数的形式.
2.代数式求值
(1)代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值.
(2)代数式的求值:求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值.
3.单项式
(1)单项式的定义:数或字母的积组成的式子叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式.
用字母表示的数,同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义,相同的字母在同一个式子中表示相同的含义.
(2)单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.
4.多项式
(1)几个单项式的和叫做多项式,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.2-1-c-n-j-y
(2)多项式的组成元_?????????é????????_即多项式的每一项都是一个单项式,单项式的个数就是多项式的项数,如果一个多项式含有a个单项式,次数是b,那么这个多项式就叫b次a项式.
【热点题型精练】
一、选择题
1.下列代数式中,为单项式的是( )
A. B.a C. D.x2+y2
2.多项式x|m|﹣(m﹣3)x+7是关于x的三次三项式,则m的值是( )
A.﹣3 B.3 C.3或﹣3 D.不能确定
3.单项式的系数和次数分别是( )
A.和3 B.和2 C.和4 D.和2
4.一个三位数,百位上_?????°??????x???_十位上的数字比百位上的数字少3,个位上的数字是百位上的数字的2倍,这个三位数用含有x的代数式表示为( )21cnjy.com
A.112x﹣30 B.100x﹣30 C.112x+30 D.102x+30
5.已知2a+b﹣6=0,那么代数式a+b+8的值是( )
A.14 B.11 C.5 D.2
6.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为15的是( )
A.x=﹣2,y=3 B.x=﹣2,y=﹣3 C.x=﹣8,y=3 D.x=8,y=﹣3
7.有一个人患了流感,经过两轮传染后有若干人被传染上流感.假设在每轮的传染中平均一个人传染了m个人,则第二轮被传染上流感的人数是( )21·cn·jy·com
A.m+1 B.(m+1)2 C.m(m+1) D.m2
8.曹老师有一包糖果,若分_???m????????????_则每个学生分a颗,还剩b颗(b<a);若分给(m+10)个学生,则每个学生分3颗,还剩(b+1)颗,则a的值可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
9.某地居民生活用水收费_?????????????????¨_水量不超过17立方米,每立方米a元;超过部分每立方米(a+1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为( )
A.20a元 B.(20a+24)元
C.(17a+3.6)元 D.(20a+3.6)元
10.如M={1,2,x},我们叫集合M,其中1,2,x叫做集合M的元素.集合中的元素具有确定性(如x必然存在),互异性(如x≠1,x≠2),无序性(即改变元素的顺序,集合不变).若集合N={x,1,2},我们说M=N.已知集合A={1,0,a},集合B={,|a|,},若A=B,则b﹣a的值是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
11.现在汽车已成_????????????è?????_交通工具.李刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油,当天95号汽油的单价为m元/升,他俩加油的情况如图所示.半个月后的某天,他俩再次相约到同一加油站加油,此时95号汽油的单价下调为n元/升,他俩加油的情况与上次相同,请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低?低多少?下列结论正确的是( )
A.李刚比王勇低元/升
B.王勇比李刚低元/升
C.王勇比李刚低元/升
D.李刚与王勇的平均单价都是元/升
12.数学家赵爽_??????3???4???_纪在其所著的《勾股圆方图注》中记载如图构图,图中大正方形的面积等于四个全等长方形的面积加上中间小正方形的面积.若大正方形的面积为100,小正方形的面积为25,分别用x,y(x>y)表示小长方形的长和宽,则下列关系式中不正确的是( )
A.x+y=10 B.x﹣y=5 C.xy=15 D.x2﹣y2=50
二、填空题
13.当x=2时,代数式ax3﹣bx+1的值等于﹣17,那么当x=﹣1时,代数式﹣3bx3+12ax﹣5的值 .
14.如表所示,已知a,b满足表格中的条件,则b的值是 .
x ﹣1
ax ﹣1
ax2+b 4
15.把面积为a2,b2的小正方形和面积为ab的两个长方形拼成如图所示的大正方形,那么,大正方形的边长为 .(a>0,b>0)【来源:21·世纪·教育·网】
16.规定:f(x)=|x﹣2_|???g???x???_=|x+2|,例如f(﹣2)=|﹣2﹣2|=4,g(﹣2)=|﹣2+2|=0.则式子f(x﹣7)+g(x+1)的最小值是 .21*cnjy*com
17.牛顿在他的《普遍的算术》_????????????é?????_“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题,只要把题目由日常语言译成代数语言就行了.”请阅读下表,并填写表中空白.21*cnjy*com
日常语言 代数语言
连云港到南京的城际列车在连云港站出发时车上有一些乘客 x
到灌云站时无人下车,有10人上车 x+10
到灌南站时有1人下车后,又有车上人数的人上车
18.袁隆平院士是我国著名的_?§??????????è??è??_为“世界杂交水稻之父”.生活中的袁隆平爷爷也是一位乐观开朗的人,有次他给前来拜访他的七年级的孩子们出了这样一道题:为了观察不同的培育环境对稻谷种子的影响,在第1个器皿中放入10粒种子,在第2个器皿中放入15粒种子,在第3个器皿中放入20粒种子,依此在后面的每一个器皿中放入种子,数量都比前一个器皿多5粒,则第n个器皿中放入的种子数量为 .(用含n的式子表示)
三、解答题
19.已知=+.
(1)若b+c=3,bc=2,求a的值;
(2)用含a,b的代数式表示c.
20.定义:对于_????????????è?????_数n,若其百位数字等于其个位数字与十位数字之和,其千位数字等于其十位数字与百位数字之和,则称这个四位自然数n为“加油数”,并将该“加油数”的各个数位数字之和记为F(n).例如:5413是“加油数”,因为5413的个位数字是3,十位数字是1,百位数字是4,千位数字是5,且3+1=4,1+4=5,所以5413是“加油数”,则F(5413)=5+4+1+3=13;9734不是“加油数”,因为9734的个位数字是4,十位数字是3,百位数字是7,千位数字是9,而4+3=7,但3+7=10≠9,所以9734不是“加油数”.
(1)判断8624是否为“加油数”,并说明理由;
(2)若x,y均为“加油数”,其中x的个位数字为1,y的十位数字为2,且F(x)+F(y)=30,求所有满足条件的“加油数”x.
21.现有一_???é????????è????°_,长12米、宽10米.菜地中间欲铺设纵横两条路(图中空白部分)如图所示,横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍,设纵向道路的宽是x米(x>0).
(1)填空:在图中,横向道路的宽是 米(用含x的代数式表示).
(2)试求图中种菜部分的面积(用含x的代数式表示).
22.观察下列表格中两个代数式及其相应的值,回答问题:
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
﹣2x+5 … 9 7 5 3 a …
2x﹣7 … ﹣11 ﹣9 ﹣7 ﹣5 b …
【初步感知】
(1)根据表中信息可知:a= ;b= ;
【归纳规律】
(2)表中﹣2x+5的值的变化规律是:x的值每增加1,﹣2x+5的值就都减少2.类似地,2x﹣7的值的变化规律是: ;www.21-cn-jy.com
【问题解决】
(3)请从A,B两题中任选一题作答.我选择 题.
A.根据表格反应的变化规律,当x 时,﹣2x+5的值大于2x﹣7的值.
B.请直接写出一个含x的代数式,要求x的值每增加1,代数式的值就都减小5,且当x=0时,代数式的值为﹣7.
2.1 整式 同步习题精讲精练
【高频考点精讲】
1.列代数式
(1)定义:把问题中与数量有关的词语,用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式.
(2)注意事项:
①在同一个式子或具体问题中,每一个字母只能代表一个量.
②在数和表示数的字母乘积中,一般把数写在字母的前面,这个数若是带分数要把它化成假分数.
③含有字母的除法,一般不用“÷”(除号),而是写成分数的形式.
2.代数式求值
(1)代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值.
(2)代数式的求值:求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值.
3.单项式
(1)单项式的定义:数或字母的积组成的式子叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式.
用字母表示的数,同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义,相同的字母在同一个式子中表示相同的含义.
(2)单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.
4.多项式
(1)几个单项式的和叫做多项式,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.21·世纪*教育网
(2)多项式_??????????????????_单项式,即多项式的每一项都是一个单项式,单项式的个数就是多项式的项数,如果一个多项式含有a个单项式,次数是b,那么这个多项式就叫b次a项式.
【热点题型精练】
一、选择题
1.下列代数式中,为单项式的是( )
A. B.a C. D.x2+y2
解:A、分母中含有字母,不是单项式;
B、符合单项式的概念,是单项式;
C、分母中含有字母,不是单项式;
D、不符合单项式的概念,不是单项式.
答案:B.
2.多项式x|m|﹣(m﹣3)x+7是关于x的三次三项式,则m的值是( )
A.﹣3 B.3 C.3或﹣3 D.不能确定
解:∵多项式x|m|﹣(m﹣3)x+7是关于x的三次三项式,
∴|m|=3,
∴m=±3,
但m﹣3≠0,
即m≠3,
综上所述m=﹣3.
答案:A.
3.单项式的系数和次数分别是( )
A.和3 B.和2 C.和4 D.和2
解:单项式的系数、次数分别是,3.
答案:A.
4.一个三位数,百位上的数字为_x???????????????_数字比百位上的数字少3,个位上的数字是百位上的数字的2倍,这个三位数用含有x的代数式表示为( )
A.112x﹣30 B.100x﹣30 C.112x+30 D.102x+30
解:百位上的数字为x,十位上的数字为(x﹣3),个位上的数字为2x,
这个三位数是100x+10(x﹣3)+2x=100x+10x﹣30+2x=112x﹣30.
答案:A.
5.已知2a+b﹣6=0,那么代数式a+b+8的值是( )
A.14 B.11 C.5 D.2
解:∵2a+b﹣6=0,
∴a+b﹣3=0,
∴原式=a+b﹣3+11=11,
答案:B.
6.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为15的是( )
A.x=﹣2,y=3 B.x=﹣2,y=﹣3 C.x=﹣8,y=3 D.x=8,y=﹣3
解:A.x=﹣2,y=3时,输出的结果为3×(﹣2)+32=3,不符合题意;
B.x=﹣2,y=﹣3时,输出的结果为3×(﹣2)+(﹣3)2=3,不符合题意;
C.x=﹣8,y=3时,输出的结果为3×(﹣8)+32=﹣15,不符合题意;
D.x=8,y=3时,输出结果为3×8﹣32=15,符合题意;
答案:D.
7.有一个人患了流感,经过两轮传染后有若干人被传染上流感.假设在每轮的传染中平均一个人传染了m个人,则第二轮被传染上流感的人数是( )【版权所有:21教育】
A.m+1 B.(m+1)2 C.m(m+1) D.m2
解:∵在每轮的传染中平均一个人传染了m个人,
∴经过一轮传染后有(m+1)人染上流感,
∴第二轮被传染上流感的人数是m(m+1)人.
答案:C.
8.曹老师有一包糖果,若分给m_??????????????????_个学生分a颗,还剩b颗(b<a);若分给(m+10)个学生,则每个学生分3颗,还剩(b+1)颗,则a的值可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解:∵根据分给m个学生,则每个学生分a颗,还剩b颗可得共有(ma+b)颗糖,
根据分给(m+10)个学生,则每个学生分3颗,还剩(b+1)颗,可得共有[3(m+10)+(b+1)]颗糖,
∴ma+b=3(m+10)+(b+1),
∴a=3+,
∵a,m为正整数,
∴m=31或1(舍去),
∴a=4,
答案:A.
9.某地居民生活用水_???è??????????????_月用水量不超过17立方米,每立方米a元;超过部分每立方米(a+1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米,则应缴水费为( )
A.20a元 B.(20a+24)元
C.(17a+3.6)元 D.(20a+3.6)元
解:根据题意知:17a+(20﹣17)(a+1.2)=(20a+3.6)(元)。
答案:D.
10.如M={1,2,x},我们叫集合M,其中1,2,x叫做集合M的元素.集合中的元素具有确定性(如x必然存在),互异性(如x≠1,x≠2),无序性(即改变元素的顺序,集合不变).若集合N={x,1,2},我们说M=N.已知集合A={1,0,a},集合B={,|a|,},若A=B,则b﹣a的值是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
解:∵A=B,a≠0,≠0,
∴=0,=1,|a|=a或=0,=a,|a|=1,
∴b=0,a=1(舍去)或b=0,a=﹣1,
∴b﹣a=0﹣(﹣1)=1,
答案:C.
11.现在汽车已成为人们出行的_??¤é???·???·??????_刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油,当天95号汽油的单价为m元/升,他俩加油的情况如图所示.半个月后的某天,他俩再次相约到同一加油站加油,此时95号汽油的单价下调为n元/升,他俩加油的情况与上次相同,请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低?低多少?下列结论正确的是( )21教育网
A.李刚比王勇低元/升
B.王勇比李刚低元/升
C.王勇比李刚低元/升
D.李刚与王勇的平均单价都是元/升
解:李刚两次加油每次加300元,则两次加油的平均单价为每升:
=(元),
王勇每次加油30升,则两次加油的平均单价为每升:
=(元),
∴﹣=﹣=,
由题意得:m≠n,
∴>0,
∴>,
故A 符合题意,B,C,D都不符合题意,
答案:A.
12.数学家赵爽公元3~4世_?????¨??????è?????_《勾股圆方图注》中记载如图构图,图中大正方形的面积等于四个全等长方形的面积加上中间小正方形的面积.若大正方形的面积为100,小正方形的面积为25,分别用x,y(x>y)表示小长方形的长和宽,则下列关系式中不正确的是( )
A.x+y=10 B.x﹣y=5 C.xy=15 D.x2﹣y2=50
解:∵大正方形的面积为100,小正方形的面积为25,
∴大正方形的边长为10,小正方形的边长为5,
∴x+y=10,x﹣y=5,
∴x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=50,x=7.5,y=2.5,
∴xy=18.75,
故A、B、D正确,C错误,
答案:C.
二、填空题
13.当x=2时,代数式ax3﹣bx+1的值等于﹣17,那么当x=﹣1时,代数式﹣3bx3+12ax﹣5的值 22 .
解:x=2时,ax3﹣bx+1=a?23﹣b?2+1=8a﹣2b+1,
∴8a﹣2b+1=﹣17,
∴8a﹣2b=﹣18,
∴4a﹣b=﹣9.
当x=﹣1时,﹣3bx31+2ax﹣5=12a×(﹣1)﹣3b×(﹣1)3﹣5,
=﹣12a+3b﹣5
=﹣3(4a﹣b)﹣5
=﹣3×(﹣9)﹣5
=27﹣5
=22.
答案:22.
14.如表所示,已知a,b满足表格中的条件,则b的值是 3 .
x ﹣1
ax ﹣1
ax2+b 4
解:由表格知,x=﹣1,ax=﹣1,ax2+b=4,
故b=4﹣ax2=4﹣ax?x=4﹣(﹣1)×(﹣1)=3.
答案:3.
15.把面积为a2,b2的小正方形和面积为ab的两个长方形拼成如图所示的大正方形,那么,大正方形的边长为 a+b .(a>0,b>0)2·1·c·n·j·y
解:如图所示:
故大正方形的边长为a+b.
答案:a+b.
16.规定:f(x)=|x_???2|???g???_x)=|x+2|,例如f(﹣2)=|﹣2﹣2|=4,g(﹣2)=|﹣2+2|=0.则式子f(x﹣7)+g(x+1)的最小值是 12 .
解:∵f(x﹣7)+g(x+1)
=|x﹣7﹣2|+|x+1+2|
=|x﹣9|+|x+3|≥|(x﹣9)﹣(x+3)|=12,
∴f(x﹣7)+g(x+1)的最小值是为12,
答案:12.
17.牛顿在他的《普遍的算术》_????????????é?????_“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题,只要把题目由日常语言译成代数语言就行了.”请阅读下表,并填写表中空白.21世纪教育网版权所有
日常语言 代数语言
连云港到南京的城际列车在连云港站出发时车上有一些乘客 x
到灌云站时无人下车,有10人上车 x+10
到灌南站时有1人下车后,又有车上人数的人上车
解:∵到灌南站时有1人下车后,又有车上人数的人上车,
∴车上现有人数为:x+10﹣1+(x+10﹣1)=+10,
答案:+10.
18.袁隆平院士是_??????è?????????§?_学家,被誉为“世界杂交水稻之父”.生活中的袁隆平爷爷也是一位乐观开朗的人,有次他给前来拜访他的七年级的孩子们出了这样一道题:为了观察不同的培育环境对稻谷种子的影响,在第1个器皿中放入10粒种子,在第2个器皿中放入15粒种子,在第3个器皿中放入20粒种子,依此在后面的每一个器皿中放入种子,数量都比前一个器皿多5粒,则第n个器皿中放入的种子数量为 5n+5 .(用含n的式子表示)【来源:21cnj*y.co*m】
解:在第1个器皿中放入10粒种子,表示为:5×1+5.
在第2个器皿中放入15粒种子,表示为:5×2+5.
在第3个器皿中放入20粒种子,表示为:5×3+5.
???
第n个器皿中放入的种子数量为:5n+5.
答案:5n+5.
三、解答题
19.已知=+.
(1)若b+c=3,bc=2,求a的值;
(2)用含a,b的代数式表示c.
解:(1)∵
=
=.
当b+c=3,bc=2时
原式==.
(2)∵.
∴.
∴.
∴.
20.定义:对于一个_??????è???????°n_,若其百位数字等于其个位数字与十位数字之和,其千位数字等于其十位数字与百位数字之和,则称这个四位自然数n为“加油数”,并将该“加油数”的各个数位数字之和记为F(n).例如:5413是“加油数”,因为5413的个位数字是3,十位数字是1,百位数字是4,千位数字是5,且3+1=4,1+4=5,所以5413是“加油数”,则F(5413)=5+4+1+3=13;9734不是“加油数”,因为9734的个位数字是4,十位数字是3,百位数字是7,千位数字是9,而4+3=7,但3+7=10≠9,所以9734不是“加油数”.
(1)判断8624是否为“加油数”,并说明理由;
(2)若x,y均为“加油数”,其中x的个位数字为1,y的十位数字为2,且F(x)+F(y)=30,求所有满足条件的“加油数”x.21教育名师原创作品
解:(1)8624是“加油数”,理由如下:
∵8=6+2,6=2+4,
∴8624是“加油数”;
(2)设x的十位数为a,y的个位数为b,
∴x的百位数为a+1,千位数为2a+1,y的百位数为b+2,千位数为4+b,
∴F(x)=2a+1+a+1+a+1=4a+3,F(y)=4+b+b+2+b+2=3b+8,
∴F(x)+F(y)=4a+3+3b+8=30,
∴4a+3b=19,
∵0≤a≤9,0≤b≤9,且a,b为整数,
∴a=1,b=5或a=4,b=1,
∴有满足条件的“加油数”x为3211或9541.
21.现有一块长方形菜地,长12_?±???????10?±?_.菜地中间欲铺设纵横两条路(图中空白部分)如图所示,横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍,设纵向道路的宽是x米(x>0).
(1)填空:在图中,横向道路的宽是 2x 米(用含x的代数式表示).
(2)试求图中种菜部分的面积(用含x的代数式表示).
解:(1)设纵向道路的宽是x米,
∵横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍,
∴横向道路的宽为2x米;
答案:2x;
(2)图中种菜部分的面积=12×10﹣(12×2x+10x﹣x?2x)=2x2﹣34x+120(平方米).
答:图中种菜部分的面积为(2x2﹣34x+120)平方米.
22.观察下列表格中两个代数式及其相应的值,回答问题:
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
﹣2x+5 … 9 7 5 3 a …
2x﹣7 … ﹣11 ﹣9 ﹣7 ﹣5 b …
【初步感知】
(1)根据表中信息可知:a= 1 ;b= ﹣3 ;
【归纳规律】
(2)表中﹣2x+5的_????????????è§????_是:x的值每增加1,﹣2x+5的值就都减少2.类似地,2x﹣7的值的变化规律是: x的值每增加1,2x﹣7的值都增加2 ;www-2-1-cnjy-com
【问题解决】
(3)请从A,B两题中任选一题作答.我选择 题.
A.根据表格反应的变化规律,当x <3 时,﹣2x+5的值大于2x﹣7的值.
B.请直接写出一个含x的代数式,要求x的值每增加1,代数式的值就都减小5,且当x=0时,代数式的值为﹣7.【出处:21教育名师】
解:(1)用2替换代数式中的x,
a=﹣2×2+5=1,
b=2×2﹣7=﹣3.
答案:1;﹣3;
(2)观察表格中第三行可以看出,x的值每增加1,2x﹣7的值都增加2,
答案:x的值每增加1,2x﹣7的值都增加2.
(3)∵x的值每增加1,代数式的值就都减小5,
∴x的系数为﹣5.
∵当x=0时,代数式的值为﹣7,
∴代数式的常数项为﹣7.
∴这个含x的代数式是:﹣5x﹣7.
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_