3.1.2 等式的性质-2021-2022学年七年级数学上册同步习题精讲精练（含解析）

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3.1.2 等式的性质 同步习题精讲精练
【高频考点精讲】
1．等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
2．利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
规律总结：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
【热点题型精练】
一、选择题
1．下列等式变形正确的是（　　）
A．若﹣3x＝5，则x＝﹣
B．若，则2x+3（x﹣1）＝1
C．若5x﹣6＝2x+8，则5x+2x＝8+6
D．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1
2．设x，y，c是实数，正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y
3．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的方程（2a+b）x﹣1＝0无解，那么ab的值是（　　）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
5．若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣2＝b的解，则3b﹣6a+2的值是（　　）
A．﹣8 B．﹣4 C．8 D．4
6．关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　）
A．9 B．8 C．5 D．4
7．关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝3m的解大2，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
8．若方程2（x﹣1）﹣6＝0与关于x的方程＝1的解互为相反数，则a的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣1
9．王涵同学在解关于x的方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝﹣2
10．已知关于x方程x﹣＝﹣1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3
11．小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y﹣＝y﹣■怎么办呢？小明想了一想，便翻了书后的答案，此方程的解为y＝﹣，很快补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若a＝+，其中a，b，c是实数，则（　　）
A．b+c＝a B．b+c＝ C．b+c＝ D．b+c＝abc
二、填空题
13．将方程4x+3y＝6变形成用y的代数式表示x，则x＝　 　．
14．若＝，则＝　 　．
15．已知x＝﹣2是方程2x﹣|k﹣1|＝﹣6的解，则k＝　 　．
16．已知a是整数0＜a＜10，请找出一个a＝　 　，使方程的解是偶数．
17．已知x＝3是关于x的方程ax﹣5＝9x﹣a的解，那么关于x的方程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a的解是x＝　 　．
18．已知关于x的一元一次方程+5＝2019x+m的解为x＝2018，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2019（5﹣y）﹣m的解为　　．
三、解答题
19．已知：（a+2b）y2﹣ya﹣1＝3是关于y的一元一次方程．
（1）求a、b的值；
（2）若x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，求m的相反数．
20．我们规定；若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝，则称该方程为“商解方程”．例如：2+x＝4的解为x＝2且x＝，则方程2+x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
（1）判断4+x＝是不是“商解方程”，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程6+x＝m+3是“商解方程”，求m的值．
21．已知当x＝﹣1时，代数式2mx3﹣3mx+6的值为7．
（1）若关于y的方程2my+n＝11﹣ny﹣m的解为y＝2，求n的值；
（2）若规定[a]表示不超过a的最大整数，例如[4.3]＝4，请在此规定下求[m﹣n]的值．（n为（1）中求出的数值）
22．（定义）若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．
（运用）
（1）①﹣2x＝，②x＝﹣1两个方程中为“友好方程”的是　 　（填写序号）；
（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；
（3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，则m＝　 　，n＝　 　．
3.1.2 等式的性质 同步习题精讲精练
【高频考点精讲】
1．等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
2．利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
规律总结：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
【热点题型精练】
一、选择题
1．下列等式变形正确的是（　　）
A．若﹣3x＝5，则x＝﹣
B．若，则2x+3（x﹣1）＝1
C．若5x﹣6＝2x+8，则5x+2x＝8+6
D．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1
解：A、若﹣3x＝5，则x＝﹣，错误，故本选项不符合题意；
B、若，则2x+3（x﹣1）＝6，错误，故本选项不符合题意；
C、若5x﹣6＝2x+8，则5x﹣2x＝8+6，错误，故本选项不符合题意；
D、若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1，正确，故本选项符合题意；
答案：D．
2．设x，y，c是实数，正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y
解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；
B、两边都乘以c，故B符合题意；
C、c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D、两边乘6c，得到，3x＝2y，故D不符合题意；
答案：B．
3．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：根据图示可得：
2●＝▲+■①，
●+▲＝■②，
由①②可得●＝2▲，■＝3▲，
则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．
答案：A．
4．已知关于x的方程（2a+b）x﹣1＝0无解，那么ab的值是（　　）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
解：关于x的方程（2a+b）x﹣1＝0无解，则2a+b＝0．
∴有a＝b＝0或者a、b异号．
∴ab的值为非正数．
答案：D．
5．若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣2＝b的解，则3b﹣6a+2的值是（　　）
A．﹣8 B．﹣4 C．8 D．4
解：
将x＝2代入一元一次方程ax﹣2＝b得2a﹣b＝2
∵3b﹣6a+2＝3（b﹣2a）+2
∴﹣3（2a﹣b）+2＝﹣3×2+2＝﹣4
即3b﹣6a+2＝﹣4
答案：B．
6．关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　）
A．9 B．8 C．5 D．4
解：因为关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，
可得：a﹣2＝1，2+m＝4，
解得：a＝3，m＝2，
所以a+m＝3+2＝5，
答案：C．
7．关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝3m的解大2，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
解：解方程5m+3x＝1+x得：x＝，
解方程2x+m＝3m得x＝m，
根据题意得：﹣m＝2，
解得：m＝﹣．
答案：A．
8．若方程2（x﹣1）﹣6＝0与关于x的方程＝1的解互为相反数，则a的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣1
解：解方程2（x﹣1）﹣6＝0得：x＝4，
∵方程2（x﹣1）﹣6＝0与关于x的方程＝1的解互为相反数，
∴方程＝1的解是x＝﹣4，
把x＝﹣4代入方程＝1得：＝1，
解得：a＝﹣，
答案：A．
9．王涵同学在解关于x的方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝﹣2
解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，
解得：a＝2，
即原方程为14+x＝18，
解得：x＝4．
答案：A．
10．已知关于x方程x﹣＝﹣1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3
解：x﹣＝﹣1，
6x﹣（4﹣ax）＝2（x+a）﹣6
6x﹣4+ax＝2x+2a﹣6
6x+ax﹣2x＝2a﹣6+4
（a+4）x＝2a﹣2
x＝，
∵方程的解是非正整数，
∴≤0，
解得：﹣4＜a≤1，
当a＝﹣3时，x＝﹣8；
当a＝﹣2时，x＝﹣3；
当a＝﹣1时，x＝﹣（舍去）；
当a＝0时，x＝﹣（舍去）；
当a＝1时，x＝0；
则符合条件的所有整数a的和是﹣3﹣2+1＝﹣4．
答案：A．
11．小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y﹣＝y﹣■怎么办呢？小明想了一想，便翻了书后的答案，此方程的解为y＝﹣，很快补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：设被污染的常数为x，则：2y﹣＝y﹣x，
∵此方程的解是y＝﹣，
∴将此解代入方程，方程成立
∴2×（﹣）﹣＝×（﹣）﹣x．
解此一元一次方程可得：x＝3
∴这个常数是3．
答案：C．
12．若a＝+，其中a，b，c是实数，则（　　）
A．b+c＝a B．b+c＝ C．b+c＝ D．b+c＝abc
解：∵a＝+．
根据等式的性质，等式两边乘以bc，等式仍然成立．
∴a?bc＝?bc+?bc．∴abc＝c+b．
答案：D．
二、填空题
13．将方程4x+3y＝6变形成用y的代数式表示x，则x＝　　．
解：4x+3y＝6，
4x＝6﹣3y，
x＝，
答案：．
14．若＝，则＝　　．
解：根据等式的性质：两边都加1，，
则＝，
答案：．
15．已知x＝﹣2是方程2x﹣|k﹣1|＝﹣6的解，则k＝　3或﹣1　．
解：将x＝﹣2代入方程得：﹣4﹣|k﹣1|＝﹣6，
∴|k﹣1|＝2，
∴k﹣1＝2或﹣2，
解得：k＝3或﹣1．
答案：3或﹣1．
16．已知a是整数0＜a＜10，请找出一个a＝　2　，使方程的解是偶数．
解：将方程变形得x＝，
因为方程的解是偶数，且0＜a＜10，
所以a＝1，2，3，6都可以．
答案：2．
17．已知x＝3是关于x的方程ax﹣5＝9x﹣a的解，那么关于x的方程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a的解是x＝　4　．
解：把x＝3代入方程ax﹣5＝9x﹣a，
得3a﹣5＝27﹣a，
解得a＝8，
把a＝8代入方程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a，
得8（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣8，
8（x﹣1）﹣9（x﹣1）＝5﹣8，
﹣（x﹣1）＝﹣3，
x﹣1＝3，
x＝4．
答案：4．
18．已知关于x的一元一次方程+5＝2019x+m的解为x＝2018，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2019（5﹣y）﹣m的解为　　．
解：根据题意得：
方程+5＝2019x+m可整理得：﹣2019x＝m﹣5，
则该方程的解为x＝2018，
方程﹣5＝2019（5﹣y）﹣m可整理得：﹣2019（5﹣y）＝5﹣m，
令n＝5﹣y，
则原方程可整理得：﹣2019n＝5﹣m，
则n＝﹣2018，
即5﹣y＝﹣2018，
解得：y＝2023，
答案：2023．
三、解答题
19．已知：（a+2b）y2﹣ya﹣1＝3是关于y的一元一次方程．
（1）求a、b的值；
（2）若x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，求m的相反数．
解：（1）∵（a+2b）y2﹣ya﹣1＝3是关于y的一元一次方程，
∴a+2b＝0且a﹣1＝1，
解得：a＝2，b＝﹣1；
（2）将x＝2代入方程﹣+3＝x﹣得：﹣+3＝2﹣，
解得：m＝，
所以m的相反数为﹣．
20．我们规定；若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝，则称该方程为“商解方程”．例如：2+x＝4的解为x＝2且x＝，则方程2+x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
（1）判断4+x＝是不是“商解方程”，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程6+x＝m+3是“商解方程”，求m的值．
解：（1）4+x＝是“商解方程”，
理由如下：方程4+x＝的解为：x＝，
∵÷4＝，
∴4+x＝是“商解方程”；
（2）6+x＝m+3，
x＝m﹣3，
∵一元一次方程6+x＝m+3是“商解方程”，
∴m﹣3＝，
解得，m＝．
21．已知当x＝﹣1时，代数式2mx3﹣3mx+6的值为7．
（1）若关于y的方程2my+n＝11﹣ny﹣m的解为y＝2，求n的值；
（2）若规定[a]表示不超过a的最大整数，例如[4.3]＝4，请在此规定下求[m﹣n]的值．（n为（1）中求出的数值）
解：（1）把x＝﹣1代入得：﹣2m+3m+6＝7，
解得：m＝1，
把m＝1，y＝2代入得：4+n＝11﹣n×2﹣1，
解得：n＝2；
（2）把m＝1，n＝2代入得：m﹣n＝1﹣×2＝1﹣3.5＝﹣2.5，
则[m﹣n]＝[﹣2.5]＝﹣3．
22．（定义）若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．
（运用）
（1）①﹣2x＝，②x＝﹣1两个方程中为“友好方程”的是　①　（填写序号）；
（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；
（3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，则m＝　﹣3　，n＝　﹣　．
解：（1）①﹣2x＝，
解得：x＝
而，是“友好方程”；
②x＝﹣1，
解得：x＝﹣2，
﹣2≠﹣1+，不是“友好方程”；
故答案是：①；
（2）方程3x＝b的解为x＝，
所以＝3+b．
解得b＝；
（3）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“友好方程”，并且它的解是x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，
解得m＝﹣3，n＝﹣，
答案：﹣3；﹣．
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