有理数的混合运算
学习目标
1.掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练进行有理数混合运算.
2.在有理数混合运算中，能合理运用运算律进行简化运算.
3.会用计算器进行较繁杂的有理数混合运算.
考点考频
1.熟记有理数的混合运关注算顺序（必考点）
2.正确进行有理数混合运算。（必考点）
知识点1有理数的混合运算（重点；掌握）
1.有理数混合运算的顺序
（1）先乘方，后乘除，再加减.
（2）同级运算，按照从左到右的顺序进行.
（3）如果有括号，先进行括号内的运算.
2.有理数混合运算分为三级
第一级，有理数加减混合运算；
第二级，有理数乘除混合运算；
第三级，有理数的乘方运算.
一个式子中如果含有多级运算，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算.
例1（2020·无锡江阴市校级月考）计算.
（1）
-
22
+
|5
-
8|
+
24
÷(-
3)
（2）(-
6.5)×(-
2)÷(-
)÷(-
13)
练习1
（2020·盐城东台市校级月考）计算.
（1）0.125
×(-
20)×(
-
8)
（2）(-
81)÷
×
÷(-
16)
（3）0.125
+
3
-
+
5.6-|
-
0.25
|
（4）(-
12)×(-
)×
0
÷(-
5)×
5
知识点2运用运算律进行简便计算（难点；掌握）
在进行有理数的混合运算时，我们需要遵循有理数的混合运算顺序，有时还要根据题目的特点，合理运用运算律，不仅能提高我们计算的正确性，而且可以简化运算.
例2用简便方法计算.
（1）(+
2)×(-
1)×(+
2)×(-
4)
（3）
×(-
7)
（2）
+(-
)-(-
)×(-
60)
练习2
用简便方法计算下列各题.
（1）-1.25)2019；
（2）(2)10
×
()10
×
()12；
（3）1
×
--
)×
2
+-
)×
；
（4）
-
99
×
9.
——
题型总结
——
题型1灵活运用运算律简化运算
例1（2020无锡江阴市校级月考）计算×
18
-
1.45
×
6
+
3.95
×
6.
练习1
计算.（1）-
9
÷
3
+（
-
）×
12
+（-
3）2；
（2）（1
-
+
）÷（）÷（1）
题型2解决实际问题
例2有资料表明，山的高度每增高1
km，则气温大约升高
-
6℃.
（1）我国著名风景区黄山的天都峰的高度约为1800
m，当山下的地面温度为18℃时，求山顶的气温；
（2）若某地的地面温度为20℃，高空某处的气温为
-
22℃，求此处的高度.
练习2
为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.
如果小王某次停车3小时，付费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是
（填“一类、二类、三类”）
题型3根据程序计算
例3（2020·无锡滨湖区校级月考）如图2
-
32所示的是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）.
（1）当小明分别输入3，时，输出的结果分别是:
_________
.
（2）当输入的数字为
_________
时（写出两个即可），其输出的结果是0.
（3）你认为这个“数值转换机”不可能输出的数是
_________
.
练习3
（2020·南京建邺区校级月考）若输入的数字为一1，按图中的程序计算，并求输出的结果。
题型4新定义问题
例4（2020·扬州江都区校级月考）阅读材料:对于任意有理数a，b，规定一种新的运算:a⊙b
=
a（a
+
b）
-
1.例如:2⊙5
=
2
×
（2
+
5）
-
1
=
13.
（1）计算3⊙（-
2）；
（2）计算（-
2）⊙（3⊙5）.
练习4
对于有理数a，b，定义新运算a※b
=
a
×
b
-
a
-
b
-
2.
（1）填空:
4※（-
2）
（-
2）※4（填“>”“
<
”或“
=
”）.
（2）我们知道有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么你认为※这种运算是否满足交换律，若满足请说明理由.
（3）计算:1※（2※3）.
——
能力培优训练
——
能力通关
1.计算2
-（-
3）×
4的结果是（
）
A.20
B.
-
10
C.14
D.
-
20
2.（2020·南宁江南区校级月考）下列运算正确的是（
）
A.+
=
-（+）=
-
1
B.
-
7
-
2
×
5
=
-
9
×
5
=
-
45
C.3
÷
×=
3
÷
1
=
3
D.
-
|
-
7|
=
-
7
3.（2020·深圳罗湖区校级一模）如图2
-
33所示，运算※按下表定义，例如3※2
=
1，那么（2※4）※（1※3）等于（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.（2020·连云港灌南县校级月考）有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则a2020
-
b2019等于（
）
A.
-
1
B.0
C.1
D.2
5.（2020·泰州泰兴市校级月考）某班5名学生在一次数学测试中的成绩以120分为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录如下:
-
4，+
9，-
1，0，+
6，则他们的平均成绩是
_________
分.
6.在算式（-
34）?
×
[4
-（-
4）2]中的“□”里，填入运算符号
_________
，使得算式的值最大.（填“
+
”“
-
”“
×
”或“
÷
”）
7.（2020·无锡锡山区期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且m的绝对值为2，则
-
2
m2
+
cd
-
（a
+
b）的值是
_________
.
8.计算.
（1）（
-
199）
×
5；
（2）10
×（-
）-
2
×
+（-
3）×（-
）.
（3）3.5
+（-
2.8）+（-
3.5）-
3.2；
（4）
+（-
2）+
-
|
-
（5）（-
1）÷（-
1）×
.
巅峰训练
9.（2020·扬州高邮市月考）某游戏题的规则是:在1~13的自然数中任取4个，将这四个数（每数只用一次）进行加减乘除四则运算，使结果等于24.
例如:四个数为2，5，3，8，则运算式为:
_________
；
（1）现有3，4，6，10四个数，运用上述规则写出两种使用不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下:
_________
；
_________
；
（2）另有4个数3，
-
5，2，
-
13，也可以通过运算式，使其结果为24.试运用上述规则写出两种使用不同方法的运算式:
_________
；
_________
.
素养提升
10.观察下列各式，并回答问题.
1
-
=
×，1-
=
×，1
-
=
×，…
按上述规律填空:
（1）1
-
=
_____
×
_____
.
（2）计算:（1
-
）×（1
-
）×
…
×（1
-
）×（1
-
）=
______.有理数的混合运算
学习目标
1.掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练进行有理数混合运算.
2.在有理数混合运算中，能合理运用运算律进行简化运算.
3.会用计算器进行较繁杂的有理数混合运算.
考点考频
1.熟记有理数的混合运关注算顺序（必考点）
2.正确进行有理数混合运算。（必考点）
知识点1有理数的混合运算（重点；掌握）
1.有理数混合运算的顺序
（1）先乘方，后乘除，再加减.
（2）同级运算，按照从左到右的顺序进行.
（3）如果有括号，先进行括号内的运算.
2.有理数混合运算分为三级
第一级，有理数加减混合运算；
第二级，有理数乘除混合运算；
第三级，有理数的乘方运算.
一个式子中如果含有多级运算，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算.
例1（2020·无锡江阴市校级月考）计算.
（1）
-
22
+
|5
-
8|
+
24
÷(-
3)
（2）(-
6.5)×(-
2)÷(-
)÷(-
13)
练习1
（2020·盐城东台市校级月考）计算.
（1）0.125
×(-
20)×(
-
8)
（2）(-
81)÷
×
÷(-
16)
=
20
=
1
（3）0.125
+
3
-
+
5.6-|
-
0.25
|
（4）(-
12)×(-
)×
0
÷(-
5)×
5
=
86
=
0
知识点2运用运算律进行简便计算（难点；掌握）
在进行有理数的混合运算时，我们需要遵循有理数的混合运算顺序，有时还要根据题目的特点，合理运用运算律，不仅能提高我们计算的正确性，而且可以简化运算.
例2用简便方法计算.
（1）(+
2)×(-
1)×(+
2)×(-
4)
（3）
×(-
7)
（2）
+(-
)-(-
)×(-
60)
练习2
用简便方法计算下列各题.
（1）-1.25)2019；
（2）(2)10
×
()10
×
()12；
=-
1
=
.
（3）1
×
--
)×
2
+-
)×
；
（4）
-
99
×
9.
=
=
-
8995
——
题型总结
——
题型1灵活运用运算律简化运算
例1（2020无锡江阴市校级月考）计算×
18
-
1.45
×
6
+
3.95
×
6.
练习1
计算.（1）-
9
÷
3
+（
-
）×
12
+（-
3）2；
（1）原式
=-
3
-
2
+
9
=
4
（2）（1
-
+
）÷（）÷（1）
（2）原式
=
（
-
+
）
×
（
-
）
÷
（
-
+
）
=
-
题型2解决实际问题
例2有资料表明，山的高度每增高1
km，则气温大约升高
-
6℃.
（1）我国著名风景区黄山的天都峰的高度约为1800
m，当山下的地面温度为18℃时，求山顶的气温；
（2）若某地的地面温度为20℃，高空某处的气温为
-
22℃，求此处的高度.
练习2
为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.
如果小王某次停车3小时，付费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是
（填“一类、二类、三类”）
2二类[提示:如果停车所在地区的类别是一类、应该收费:25
×
4
+
3.75
×
8
=
40（元），如果停车所在地区的类别是二类、应该收费:15
×
4
+
225
×
8
=
24（元）.如果停车所在地区的类别是三类、应该收费:05
×
4
+
0.75
×
8
=
8（元）.]
题型3根据程序计算
例3（2020·无锡滨湖区校级月考）如图2
-
32所示的是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）.
（1）当小明分别输入3，时，输出的结果分别是:
_________
.
（2）当输入的数字为
_________
时（写出两个即可），其输出的结果是0.
（3）你认为这个“数值转换机”不可能输出的数是
_________
.
练习3
（2020·南京建邺区校级月考）若输入的数字为一1，按图中的程序计算，并求输出的结果。
3解:若输入
-
1、则有[
-
1
-
6
+
（
-
1）]
÷
（
-
2）
=
（
-
6）
÷
（
-
2）
=
3
>
2.则输出结果为3。
题型4新定义问题
例4（2020·扬州江都区校级月考）阅读材料:对于任意有理数a，b，规定一种新的运算:a⊙b
=
a（a
+
b）
-
1.例如:2⊙5
=
2
×
（2
+
5）
-
1
=
13.
（1）计算3⊙（-
2）；
（2）计算（-
2）⊙（3⊙5）.
练习4
对于有理数a，b，定义新运算a※b
=
a
×
b
-
a
-
b
-
2.
（1）填空:
4※（-
2）
（-
2）※4（填“>”“
<
”或“
=
”）.
（2）我们知道有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么你认为※这种运算是否满足交换律，若满足请说明理由.
（3）计算:1※（2※3）.
4解:（1）
=
[提示:4※（
-
2）
=
4
×
（
-
2）
-
4
+
2
-
2
=-
12（
-
2）※4
=
（
-
2）
×
4
÷
2
-
4
-
2
=-
12]
（2）满足.理由如下:因为a※b
=
a
×
b
-
a
-
b
-
2
=
ab
-
a
-
b
-
2.b※a
=
b
×
a
-
b
-
a
-
2
=
ab
-
a
-
b
-
2，所以a※b
=
b※a
（3）1※（2※3）
=
1※（2
×
3
-
2
-
3
-
2）
=
1※（6
-
2
-
3
-
2）
=
1
※（
-
1）
=
1
×
（
-
1）
-
1
-
（
-
1）
-
2
=-
1
-
1
+
1
-
2
=-
3
——
能力培优训练
——
能力通关
1.计算2
-（-
3）×
4的结果是（
C
）
A.20
B.
-
10
C.14
D.
-
20
2.（2020·南宁江南区校级月考）下列运算正确的是（
）
A.+
=
-（+）=
-
1
B.
-
7
-
2
×
5
=
-
9
×
5
=
-
45
C.3
÷
×=
3
÷
1
=
3
D.
-
|
-
7|
=
-
7
2.D[提示:A.
+
=-
（
-
）
=
，错误:B.
-
7
-
2
×
5
=-
7
-
10
=-
17.错误:C.3
÷
×
=
3
×
×
=
.错误:D.
-
|
-
7|
=-
7.正确.]
3.（2020·深圳罗湖区校级一模）如图2
-
33所示，运算※按下表定义，例如3※2
=
1，那么（2※4）※（1※3）等于（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.D[提示:因为3※2
=
1，所以（2※4）
=
3.（1※3）
=
3，所以3※3
=
4.1
4.（2020·连云港灌南县校级月考）有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则a2020
-
b2019等于（
）
A.
-
1
B.0
C.1
D.2
4.C[提示:因为有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数.所以a
=
1或a
=-
1.b
=
0，当a
=
1，b
=
0时，a2020
-
b2019
=
a
-
b
=
1
-
0
=
1；当a
=-
1，b
=
0时，a2020
-
b2019
=
1
-
0
=
1.]
5.（2020·泰州泰兴市校级月考）某班5名学生在一次数学测试中的成绩以120分为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录如下:
-
4，+
9，-
1，0，+
6，则他们的平均成绩是
_________
分.
5.122[提示:（
-
4
+
9
-
1
+
0
+
6）
÷
5
=
2.120
+
2
=
122（分）.
6.在算式（-
34）?
×
[4
-（-
4）2]中的“□”里，填入运算符号
_________
，使得算式的值最大.（填“
+
”“
-
”“
×
”或“
÷
”）
6
.÷
7.（2020·无锡锡山区期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且m的绝对值为2，则
-
2
m2
+
cd
-
（a
+
b）的值是
_________
.
7.
-
7[提示:因为a、b互为相反数.c.d互为倒数.且m的对值为2.所以a
+
b
=
0.cd
=
1.m
=-
2.所以
-
2π
-
d
-
（c
+
b）
=-
2
×
（ ）
÷
1
-
×
0
=-
2
×+-
1
-
0
=-
7.]
8.计算.
（1）（
-
199）
×
5；
（2）10
×（-
）-
2
×
+（-
3）×（-
）.
=-
999
=
-
（3）3.5
+（-
2.8）+（-
3.5）-
3.2；
（4）
+（-
2）+
-
|
-
=
-
6
=-
2
（5）（-
1）÷（-
1）×
.
=
巅峰训练
9.（2020·扬州高邮市月考）某游戏题的规则是:在1~13的自然数中任取4个，将这四个数（每数只用一次）进行加减乘除四则运算，使结果等于24.
例如:四个数为2，5，3，8，则运算式为:
_________
；
（1）现有3，4，6，10四个数，运用上述规则写出两种使用不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下:
_________
；
_________
；
（2）另有4个数3，
-
5，2，
-
13，也可以通过运算式，使其结果为24.试运用上述规则写出两种使用不同方法的运算式:
_________
；
_________
.
9.解:例如:2
×
（5
+
3）
-
8
（1）（10
-
6
+
4）
×
3
=
24
6×10
÷
3
+
4
=
24
（2）3
+
（
-
5）
-
2
×
（
-
13）
=
243
×
2
-
（
-
5）
-
（
-
13）
=
24
素养提升
10.观察下列各式，并回答问题.
1
-
=
×，1-
=
×，1
-
=
×，…
按上述规律填空:
（1）1
-
=
_____
×
_____
.
（2）计算:（1
-
）×（1
-
）×
…
×（1
-
）×（1
-
）=
______.
10（1）（2）
[提示:原式
=
×
×
×
×
×
×
…
×
×
×
×
=
×
=
.]
