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第一节
电势能和电势
一、静电力做功的特点
为直角三角形，处于匀强磁场中，可视为点电荷带正电的带电体，可沿不同路径进行移动。
1.电场力做功的计算
①
正点电荷从，电场力做正功
②
正点电荷从，电场力正功
③
正点电荷从，电场力的方向上不产生位移，电场力不做功
2.电场力做功的特点
①
电场力做功也符合之前学习过功的定义，即力乘以力方向上的位移或位移方向上的力乘以位移
②
在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关
二、电势能
知识引入：重力做功和重力势能
质量为的小物块从地面抬升至距地面高处，分析重力做功和重力势能的情况
重力势能是因物体被举高而具有的能量，因此这个过程中重力做负功，重力势能增大。
电场力做功的特点与重力做功特点类似，因此电场力做功也会引起对应势能的变化，即电势能的变化。
1.电势能
定义：电荷处于电场中时所具有的、由其在电场中的位置及电荷与电场间的作用力决定的能量称为电势能。
2.电场力做功与电势能的关系
①
电场力做正功，电势能减小
正电荷从，电场力做正功
电势能的变化量为
②
电场力做负功，电势能增大
正电荷从，电场力做负功
电势能的变化量为
综上所述，电场力做功和电势能变化的关系
3.电势能的大小
电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功。
4.电势能零点的规定
通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面上的电势能规定为零。
需要注意的是，电势能和重力势能类似，在确定某点的电势能时，也需要选择零势能面。但零势能面的选择不影响电势能的变化量。
【典例1】如图所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知＜。下列叙述正确的是（ ）
A.若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
B.若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服静电力做功，电势能增加
C.若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
D.若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服静电力做的功等于静电力对该电荷所做的功，电势能不变
【练习1】（多选）如图，直线上有O、a、b、c四点，ab间的距离与bc间的距离相等。在O点处固定正点电荷，若一带负电的粒子仅在静电力作用下先从c点运动到b点，再从b点运动到a点，则（ ）
A.两过程中静电力做的功相等
B.前一过程中静电力做的功大于后一过程中静电力做的功
C.前一过程中，粒子电势能不断减小
D.后一过程中，粒子动能不断增加
【练习2】（多选）如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一带正电的小球，小球与弹簧不连接，施加外力将小球向下压至某位置静止.现撤去外力，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，则上述过程中（ ）
A.小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B.小球的重力势能增加－W1
C.小球的电势能增加W1＋W2
D.小球的电势能减少W2
【练习3】将带电荷量为6×10－6
C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做了3×10－5
J的功，再从B移到C，静电力做了1.2×10－5
J的功，则：
(1)电荷从A移到B，再从B移到C的过程中电势能改变了多少？
(2)如果规定A点的电势能为零，则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少？
(3)如果规定B点的电势能为零，则该电荷在A点和C点的电势能分别为多少？
三、电势
1.定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫作这一点的电势。
2.表达式
3.理解
①
符号为，单位为（伏特）
②
标量，电势的正负取决于0电势点的选取，正负表示电势的大小
③
电势是电场固有的属性，与和无关
④
沿电场线方向电势逐渐降低
⑤
计算电势能
需要注意的是，电势的选取的相对于零电势点而言的，所以含电势的相关公式在使用时都需要带符号，即确定电荷的正负，电势的正负。
4.电场力做功、电势能的变化和电势的关系
【示例】
如图为空间中的一条电场线，方向水平向右，现将一正点电荷从移动至。
电场力做正功
电势能减小
根据可知
推得
电势减小
类似地，将一负电荷从移至，电场力做负功，电势能增大，电势减小。
【典例2】将一正电荷从无穷远处移入电场中的M点，电势能减少了8.0×10－9
J，若将另一等量的负电荷从无穷远处移入电场中的N点，电势能增加了9.0×10－9
J，则下列判断中正确的是（ ）
A.φM＜φN＜0
B.φN＞φM＞0
C.φN＜φM＜0
D.φM＞φN＞0
【典例3】图甲中AB是某电场中的一条电场线.若将一负电荷从A点处由静止释放，负电荷仅在电场力作用下沿电场线从A到B运动过程中的速度－时间图象如图乙所示.关于A、B两点的电势高低和场强大小关系，下列说法中正确的是（ ）
A.φA>φB，EA>EB
B.φA>φB，EAC.φA<φB，EA>EB
D.φA<φB，EA【练习4】如图所示，电场中有A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．场强EA>EB，电势φA<φB
B．场强EAφB
C．将＋q电荷从A点移到B点，电场力做负功
D．将－q电荷分别放在A、B两点时具有的电势能EpA>EpB
【练习5】如图所示，真空中O点处有一点电荷，在它产生的电场中有a、b两点，a点的电场强度大小为Ea，与ab连线成53°角，b点的电场强度大小为Eb，与ab连线成37°角。关于a、b两电场Ea、Eb及φa、φb关系，正确的是（ ）
A．25Ea＝9Eb，φa＞φb
B．16Ea＝9Eb，φa＜φb
C．9Ea＝25Eb，φa＞φb
D．9Ea＝16Eb，φa＜φb
【练习6】（多选）如图所示，某区域电场线左右对称分布，M、N为对称线上的两点。下列说法正确的是（ ）
A．M点电势一定高于N点电势
B．M点电场强度一定大于N点电场强度
C．正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D．将电子从M点移动到N点，电场力做正功
【练习7】将一电荷量为q＝2×10－6
C的正电荷从无限远处一点P移至电场中某点A，静电力做功4×10－5
J。求：
(1)A点的电势；
(2)正电荷移入电场前A点的电势。(取无限远处为电势零点)
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第一节
电势能和电势
一、静电力做功的特点
为直角三角形，处于匀强磁场中，可视为点电荷带正电的带电体，可沿不同路径进行移动。
1.电场力做功的计算
①
正点电荷从，电场力做正功
②
正点电荷从，电场力正功
③
正点电荷从，电场力的方向上不产生位移，电场力不做功
2.电场力做功的特点
①
电场力做功也符合之前学习过功的定义，即力乘以力方向上的位移或位移方向上的力乘以位移
②
在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关
二、电势能
知识引入：重力做功和重力势能
质量为的小物块从地面抬升至距地面高处，分析重力做功和重力势能的情况
重力势能是因物体被举高而具有的能量，因此这个过程中重力做负功，重力势能增大。
电场力做功的特点与重力做功特点类似，因此电场力做功也会引起对应势能的变化，即电势能的变化。
1.电势能
定义：电荷处于电场中时所具有的、由其在电场中的位置及电荷与电场间的作用力决定的能量称为电势能。
2.电场力做功与电势能的关系
①
电场力做正功，电势能减小
正电荷从，电场力做正功
电势能的变化量为
②
电场力做负功，电势能增大
正电荷从，电场力做负功
电势能的变化量为
综上所述，电场力做功和电势能变化的关系
3.电势能的大小
电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功。
4.电势能零点的规定
通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面上的电势能规定为零。
需要注意的是，电势能和重力势能类似，在确定某点的电势能时，也需要选择零势能面。但零势能面的选择不影响电势能的变化量。
【典例1】如图所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知＜。下列叙述正确的是（ ）
A.若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
B.若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服静电力做功，电势能增加
C.若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
D.若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服静电力做的功等于静电力对该电荷所做的功，电势能不变
【答案】AD
【解析】
由正点电荷产生的电场的特点可知，M点的电势高，N点的电势低，所以将正的点电荷从M点移到N点，静电力做正功，电势能减小，故A正确，B错误；将负的点电荷由M点移到N点，克服静电力做功，电势能增加，故C错误；静电力做功与路径无关，负点电荷又回到M点，则整个过程中静电力做功的代数和为零，电势能不变，故D正确。
【练习1】（多选）如图，直线上有O、a、b、c四点，ab间的距离与bc间的距离相等。在O点处固定正点电荷，若一带负电的粒子仅在静电力作用下先从c点运动到b点，再从b点运动到a点，则（ ）
A.两过程中静电力做的功相等
B.前一过程中静电力做的功大于后一过程中静电力做的功
C.前一过程中，粒子电势能不断减小
D.后一过程中，粒子动能不断增加
【答案】CD
【解析】
因O点处的点电荷带正电，则场强方向由a指向c，带负电的粒子从c向a运动，静电力做正功，已知ab＝bc，因ab间场强大于bc间场强，由W＝qEl定性分析，Wcb【练习2】（多选）如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一带正电的小球，小球与弹簧不连接，施加外力将小球向下压至某位置静止.现撤去外力，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，则上述过程中（ ）
A.小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B.小球的重力势能增加－W1
C.小球的电势能增加W1＋W2
D.小球的电势能减少W2
【答案】BD
【解析】
由于电场力做正功，故小球与弹簧组成的系统机械能增加，A选项错误；由题意知重力做负功，小球的重力势能增加，增加量为－W1，故B选项正确；电场力做正功，电势能减少，减少量为W2，故C选项错误，D正确.
【练习3】将带电荷量为6×10－6
C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做了3×10－5
J的功，再从B移到C，静电力做了1.2×10－5
J的功，则：
(1)电荷从A移到B，再从B移到C的过程中电势能改变了多少？
(2)如果规定A点的电势能为零，则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少？
(3)如果规定B点的电势能为零，则该电荷在A点和C点的电势能分别为多少？
【答案】(1)增加了1.8×10－5
J (2)3×10－5
J 1.8×10－5
J (3)－3×10－5
J －1.2×10－5
J
【解析】
(1)WAC＝WAB＋WBC＝(－3×10－5＋1.2×10－5)
J＝－1.8×10－5
J。
可见电势能增加了1.8×10－5
J。
(2)如果规定A点的电势能为零，由公式得该电荷在B点的电势能为
EpB＝EpA－WAB＝0－WAB＝3×10－5
J。
同理，C点的电势能为
EpC＝EpA－WAC＝0－WAC＝1.8×10－5
J。
(3)如果规定B点的电势能为零，则该电荷在A点的电势能为EpA′＝EpB′＋WAB＝0＋WAB＝－3×10－5
J。
C点的电势能为
EpC′＝EpB′－WBC＝0－WBC＝－1.2×10－5
J。
三、电势
1.定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫作这一点的电势。
2.表达式
3.理解
①
符号为，单位为（伏特）
②
标量，电势的正负取决于0电势点的选取，正负表示电势的大小
③
电势是电场固有的属性，与和无关
④
沿电场线方向电势逐渐降低
⑤
计算电势能
需要注意的是，电势的选取的相对于零电势点而言的，所以含电势的相关公式在使用时都需要带符号，即确定电荷的正负，电势的正负。
4.电场力做功、电势能的变化和电势的关系
【示例】
如图为空间中的一条电场线，方向水平向右，现将一正点电荷从移动至。
电场力做正功
电势能减小
根据可知
推得
电势减小
类似地，将一负电荷从移至，电场力做负功，电势能增大，电势减小。
【典例2】将一正电荷从无穷远处移入电场中的M点，电势能减少了8.0×10－9
J，若将另一等量的负电荷从无穷远处移入电场中的N点，电势能增加了9.0×10－9
J，则下列判断中正确的是（ ）
A.φM＜φN＜0
B.φN＞φM＞0
C.φN＜φM＜0
D.φM＞φN＞0
【答案】C
【解析】
取无穷远处电势为零，则正电荷在M点的电势能为－8×10－9
J，负电荷在N点的电势能为9×10－9
J.由φ＝知，M点的电势φM＜0，N点的电势φN＜0，且|φN|＞|φM|，即φN＜φM＜0，故C正确.
【典例3】图甲中AB是某电场中的一条电场线.若将一负电荷从A点处由静止释放，负电荷仅在电场力作用下沿电场线从A到B运动过程中的速度－时间图象如图乙所示.关于A、B两点的电势高低和场强大小关系，下列说法中正确的是（ ）
A.φA>φB，EA>EB
B.φA>φB，EAC.φA<φB，EA>EB
D.φA<φB，EA【答案】C
【解析】
负电荷从A由静止释放(初速度为0)后，能加速运动到B，说明负电荷受到的电场力方向从A指向B，那么电场方向就是由B指向A，由于沿电场线方向电势逐渐降低，所以A、B两点的电势关系是φA<φB，负电荷从A运动到B的过程中，它的加速度是逐渐减小的(题图乙中曲线切线的斜率表示加速度)，由牛顿第二定律知，负电荷从A运动到B时，受到的电场力是逐渐减小的，由E＝知，EA>EB，C正确.
【练习4】如图所示，电场中有A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．场强EA>EB，电势φA<φB
B．场强EAφB
C．将＋q电荷从A点移到B点，电场力做负功
D．将－q电荷分别放在A、B两点时具有的电势能EpA>EpB
【答案】B
【解析】
由沿电场线方向电势降低可知，φA＞φB，由电场线越密处场强越大可知，EA＜EB，A错误，B正确；＋q所受电场力由A指向B，故＋q由A点到B点，电场力做正功，－q从A点到B点电场力做负功，电荷－q具有的电势能增大，EpA＜EpB，故C、D错误。
【练习5】如图所示，真空中O点处有一点电荷，在它产生的电场中有a、b两点，a点的电场强度大小为Ea，与ab连线成53°角，b点的电场强度大小为Eb，与ab连线成37°角。关于a、b两电场Ea、Eb及φa、φb关系，正确的是（ ）
A．25Ea＝9Eb，φa＞φb
B．16Ea＝9Eb，φa＜φb
C．9Ea＝25Eb，φa＞φb
D．9Ea＝16Eb，φa＜φb
【答案】D
【解析】
设a、b两点到点电荷的距离分别为ra和rb。根据几何知识得：rb＝ra。根据点电荷场强公式E＝k得：Ea＝Eb。由图可知，该电场是由负点电荷产生的，故在点电荷的周围越靠近场源电势越低，则有φa＜φb，故D正确，A、B、C错误。
【练习6】（多选）如图所示，某区域电场线左右对称分布，M、N为对称线上的两点。下列说法正确的是（ ）
A．M点电势一定高于N点电势
B．M点电场强度一定大于N点电场强度
C．正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D．将电子从M点移动到N点，电场力做正功
【答案】AC
【解析】
沿电场线方向，电势降低，所以M点电势一定高于N点电势，A正确；电场线的疏密程度表示电场的强弱，由图可知，M点电场强度一定小于N点电场强度，B错误；正电荷q在M点的电势能EpM＝qφM，在N点的电势能EpN＝qφN，由于φM>φN，所以EpM>EpN，C正确；电子在电场中受电场力的方向沿NM指向M，故从M移动到N，电场力做负功，D错误。
【练习7】将一电荷量为q＝2×10－6
C的正电荷从无限远处一点P移至电场中某点A，静电力做功4×10－5
J。求：
(1)A点的电势；
(2)正电荷移入电场前A点的电势。(取无限远处为电势零点)
【答案】(1)－20
V (2)－20
V
【解析】
(1)由于将电荷从无限远处移到A点，静电力做正功，则电荷的电势能减少，所以，电荷在A点的电势能为EpA＝－4×10－5
J。
由电势的公式φ＝得φA＝＝－
V＝－20
V。
(2)A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷存在无关，所以电荷移入电场前，A点的电势仍为－20
V。
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