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第三节
电势差与电场强度的关系
一、定性关系
等差等势面密集的区域电场线也较为密集
二、定量关系
1.在匀强电场中，将正点电荷从移至，间距为，电场强度为。
【推导证明】
根据电场力做功的表达式可知
可得
也可以写为关于电压的表达式
2.理解
①
公式中的为沿电场线方向上的距离
②
公式适用于匀强电场的计算和非匀强电场的分析
③
电场强度在匀强电场中表达为
所以场强的单位也可写为
需要注意的是，公式的物理意义为，在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。也就是说，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
【典例1】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.E＝适用于任何电场
B.E＝适用于任何电场
C.E＝k适用于真空中的点电荷形成的电场
D.E是矢量，由U＝Ed可知，U也是矢量
【典例2】如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1
m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100
V/m，则O、P两点的电势差可表示为（ ）
A.UOP＝－10sin
θ
(V)
B.UOP＝10sin
θ
(V)
C.UOP＝－10cos
θ
(V)
D.UOP＝10cos
θ
(V)
【练习1】下列说法正确的是（ ）
A.根据E＝，可知电场中某点的场强与静电力成正比
B.根据E＝，可知点电荷在电场中某点产生的场强与该点电荷的电荷量Q成正比
C.根据场强叠加原理，可知合电场的场强一定大于分电场的场强
D.根据U＝Ed，可知同一电场中两个点的距离越远，它们之间的电势差越大
【练习2】如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50
V，φc＝20
V，则a、c连线中点b的电势φb为（ ）
A.等于35
V
B.大于35
V
C.小于35
V
D.等于15
V
【练习3】如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是（ ）
A.M点的电势与P点的电势相同
B.将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
【练习4】如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则（ ）
A.a一定带正电，b一定带负电
B.a加速度减小，b加速度增大
C.MN两点电势差|UMN|等于NQ两点电势差|UNQ|
D.a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小
【练习5】如图所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们之间的距离为2
cm，两点的连线与场强方向成60°角。将一个电荷量为－2×10－5
C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.1
J。问：
(1)在此过程中，静电力对该电荷做了多少功？
(2)A、B两点的电势差UAB为多大？
(3)匀强电场的场强为多大？
三、匀强电场中电势差的特点
1.与电场线不垂直的同一直线或平行直线上，电势差与距离成正比，如图所示
满足条件
2.与电场线不垂直的同一直线上行，两点中点的电势等于两点电势之和的一半，如图所示
满足条件
3.与电场线不垂直的等长平行线段两段的电势差相等，如图所示
满足条件
【典例3】如图所示的匀强电场场强为103
N/C，ab、cd平行于电场线，ac、bd垂直于电场线，ab＝cd＝4
cm，ac＝bd＝3
cm。则下述计算结果正确的是（ ）
A.a、b之间的电势差为40
V
B.a、c之间的电势差为50
V
C.将q＝－5×10－3
C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，静电力做的功是－0.25
J
D.将q＝－5×10－3
C的点电荷沿abd从a移到d，静电力做的功是0.25
J
【典例4】a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10
V，φb＝2
V，φc＝6
V，a、b、c三点所在平面与电场方向平行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是（ ）
【练习6】如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为L
m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5
V，φB＝－5
V，φC＝15
V，由此可以判断（ ）
A．场强的方向由C指向B
B．场强的方向垂直AD连线斜向上
C．场强的大小为
V/m
D．场强的大小为V/m
【练习7】（多选）如图所示，图中五点均在匀强电场中，它们分别是一个圆的四个等分点和圆心.已知电场线与圆所在平面平行.下列有关圆心O和等分点a的电势、电场强度的相关描述正确的是（ ）
A.a点的电势为6
V
B.a点的电势为－2
V
C.O点的场强方向指向a点
D.O点的场强方向指向电势为2
V的点
【练习8】如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6
V，点B处的电势为3
V，则电场强度的大小为（ ）
A.200
V/m
B.200
V/m
C.100
V/m
D.100
V/m
【练习9】如图所示，在一个匀强电场(图中未画出)中有一个四边形ABCD，其中，M为AD的中点，N为BC的中点.一个带正电的粒子从A点移动到B点，电场力做功为WAB＝2.0×10－9
J；将该粒子从D点移动到C点，电场力做功为WDC＝4.0×10－9
J.则以下分析正确的是（ ）
A.若将该粒子从M点移动到N点，电场力做功为WMN＝3.0×10－9
J
B.若将该粒子从M点移动到N点，电场力做功WMN有可能大于4.0×10－9
J
C.若A、B之间的距离为1
cm，该粒子的电荷量为2×10－7
C，则该电场的场强一定是E＝1
V/m
D.若该粒子的电荷量为2×10－9
C，则A、B之间的电势差为1
V
【练习10】（多选）如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点.一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2.下列说法正确的是（ ）
A.此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B.若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C.若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D.若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
【练习11】如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10
C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8
J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20
cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，求：
(1)a、b两点的电势差Uab；
(2)匀强电场的场强大小和方向。
【练习12】如图所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10－6
C的电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了2.4×10－5
J的功，再从B点移到C点，电场力做了1.2×10－5
J的功.
(1)求A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC；
(2)如果规定B点的电势为零，则A点和C点的电势分别为多少？
(3)作出过B点的一条电场线.
四、静电场中的图像问题
1.图象
①
图象某点的斜率表示电场强度，即
②
根据沿电场线方向电势降低判断场强的方向
2.图象（为电场强度）
①
图线与轴围成的面积为电势差，即
式中的为沿电场线方向上的距离
②
图线的正负可表示电场方向
3.图象（为电势能）
①
图象上某点的斜率表示电场力，斜率的正负表示电场力的方向
②
根据电场力做功可判断电势能的变化
【典例5】（多选）空间某一静电场的电势φ在x轴上的分布如图4所示，x轴上两点B、C的电场强度在x轴方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有（ ）
A.EBx的大小大于ECx的大小
B.EBx的方向沿x轴正方向
C.电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量最大
D.负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功后做负功
【典例6】（多选）如图甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴.理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化的关系如图乙所示，则（ ）
A.c点处的场强和a点处的场强大小相等、方向相同
B.球内部的电场为匀强电场
C.a、c两点处的电势相等
D.假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，则从a点处移动到c点处的过程中，电场力一直做正功
【练习13】在某电场中，沿x轴上的电势分布如图所示，由图可以判断（ ）
A．x＝2
m处电场强度一定为零
B．x＝2
m处电场方向一定沿x轴正方向
C．沿x轴正方向，电场强度先增大后减小
D．某负电荷沿x轴正方向移动，电势能始终增大
【练习14】沿电场中某条直电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑电场力作用，则（ ）
A.从O点到C点，电势先升高后降低
B.粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C.粒子在AB段电势能变化量大于BC段电势能变化量
D.粒子在AB段电势能变化量小于BC段电势能变化量
【练习15】（多选）一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2x3段是直线，则下列说法正确的是（ ）
A.x1处电场强度最小，但不为零
B.粒子在O～x3段做变速运动，x2～x3段做匀变速运动
C.x2～x3段的电场强度大小方向均不变，为一定值
D.在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2＝φ0>φ3
【练习16】（多选）在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图所示.电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed.点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推.现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd.下列选项正确的是（ ）
A.Ea∶Eb＝4∶1
B.Ec∶Ed＝2∶1
C.Wab∶Wbc＝3∶1
D.Wbc∶Wcd＝1∶3
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第三节
电势差与电场强度的关系
一、定性关系
等差等势面密集的区域电场线也较为密集
二、定量关系
1.在匀强电场中，将正点电荷从移至，间距为，电场强度为。
【推导证明】
根据电场力做功的表达式可知
可得
也可以写为关于电压的表达式
2.理解
①
公式中的为沿电场线方向上的距离
②
公式适用于匀强电场的计算和非匀强电场的分析
③
电场强度在匀强电场中表达为
所以场强的单位也可写为
需要注意的是，公式的物理意义为，在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。也就是说，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
【典例1】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.E＝适用于任何电场
B.E＝适用于任何电场
C.E＝k适用于真空中的点电荷形成的电场
D.E是矢量，由U＝Ed可知，U也是矢量
【答案】BC
【解析】
E＝只适用于匀强电场，A错误；E＝适用于任何电场，B正确；E＝k适用于真空中的点电荷形成的电场，C正确；在公式U＝Ed中，E是矢量，U是标量，D错误。
【典例2】如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1
m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100
V/m，则O、P两点的电势差可表示为（ ）
A.UOP＝－10sin
θ
(V)
B.UOP＝10sin
θ
(V)
C.UOP＝－10cos
θ
(V)
D.UOP＝10cos
θ
(V)
【答案】A
【解析】
由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的，沿着电场线的方向电势是降低的，所以P点的电势高于O点的电势，O、P两点的电势差UOP为负值.根据电势差与场强的关系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsin
θ＝－10sin
θ
(V)，所以A正确.
【练习1】下列说法正确的是（ ）
A.根据E＝，可知电场中某点的场强与静电力成正比
B.根据E＝，可知点电荷在电场中某点产生的场强与该点电荷的电荷量Q成正比
C.根据场强叠加原理，可知合电场的场强一定大于分电场的场强
D.根据U＝Ed，可知同一电场中两个点的距离越远，它们之间的电势差越大
【答案】B
【解析】
电场中某点的场强由电场自身决定，与F或q无关，A错误；点电荷在某点产生的场强大小与场源电荷量成正比，与该点到场源电荷的距离的二次方成反比，B正确；合电场的场强可能比分电场的场强大，也可能小于分电场的场强，或与分电场的场强大小相等，C错误；在匀强电场中，若沿电场线方向上两点间的距离越远，则它们之间的电势差就一定越大，在不同方向上该关系不成立，D错误。
【练习2】如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50
V，φc＝20
V，则a、c连线中点b的电势φb为（ ）
A.等于35
V
B.大于35
V
C.小于35
V
D.等于15
V
【答案】C
【解析】
从电场线疏密可以看出ab段场强大于bc段场强，由U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb＜＝35
V.
【练习3】如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是（ ）
A.M点的电势与P点的电势相同
B.将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
【答案】D
【解析】
根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A错误；将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误；根据UAB＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确。
【练习4】如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则（ ）
A.a一定带正电，b一定带负电
B.a加速度减小，b加速度增大
C.MN两点电势差|UMN|等于NQ两点电势差|UNQ|
D.a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小
【答案】B
【解析】
由带电粒子的运动轨迹，结合曲线运动的特点可知带电粒子所受的静电力方向，因为电场线的方向不确定，故不能判断带电粒子带电的性质，故A选项错误；由电场线的疏密可知，a加速度将减小，b加速度将增大，故B选项正确；因为是非匀强电场，故MN两点电势差并不等于NQ两点电势差，故C选项错误；因为等势线1与2之间的电场强度比2与3之间的电场强度要大，故1、2之间的电势差要大于2、3之间的电势差，但两粒子的带电荷量大小不确定，故无法比较动能变化量的大小，故D选项错误。
【练习5】如图所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们之间的距离为2
cm，两点的连线与场强方向成60°角。将一个电荷量为－2×10－5
C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.1
J。问：
(1)在此过程中，静电力对该电荷做了多少功？
(2)A、B两点的电势差UAB为多大？
(3)匀强电场的场强为多大？
【答案】(1)－0.1
J (2)5
000
V (3)5×105
V/m
【解析】
(1)电势能增加多少，静电力就做多少负功，故静电力对电荷做了－0.1
J的功。
(2)由W＝qU，得UAB＝＝
V＝5
000
V。
(3)由U＝Ed，得E＝＝＝5×105
V/m。
三、匀强电场中电势差的特点
1.与电场线不垂直的同一直线或平行直线上，电势差与距离成正比，如图所示
满足条件
2.与电场线不垂直的同一直线上行，两点中点的电势等于两点电势之和的一半，如图所示
满足条件
3.与电场线不垂直的等长平行线段两段的电势差相等，如图所示
满足条件
【典例3】如图所示的匀强电场场强为103
N/C，ab、cd平行于电场线，ac、bd垂直于电场线，ab＝cd＝4
cm，ac＝bd＝3
cm。则下述计算结果正确的是（ ）
A.a、b之间的电势差为40
V
B.a、c之间的电势差为50
V
C.将q＝－5×10－3
C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，静电力做的功是－0.25
J
D.将q＝－5×10－3
C的点电荷沿abd从a移到d，静电力做的功是0.25
J
【答案】A
【解析】
由U＝Ed得Uab＝103×0.04
V＝40
V，A正确；a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故静电力做功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10－3)×40
J＝－0.2
J，D错误。
【典例4】a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10
V，φb＝2
V，φc＝6
V，a、b、c三点所在平面与电场方向平行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是（ ）
【答案】D
【解析】
由于是匀强电场，因此a、b连线的中点与c点电势相等，电场强度的方向垂直于等势面且由高电势处指向低电势处，所以D正确。
【练习6】如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为L
m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5
V，φB＝－5
V，φC＝15
V，由此可以判断（ ）
A．场强的方向由C指向B
B．场强的方向垂直AD连线斜向上
C．场强的大小为
V/m
D．场强的大小为V/m
【答案】D
【解析】
D为BC的中点，则φD＝5
V，AD连线为一等势线，场强的方向垂直AD连线斜向下，选项A、B错误；由B到AD的距离d＝Lcos
30°
m＝L
m，则电场强度E＝＝
V/m，选项C错误，选项D正确。
【练习7】（多选）如图所示，图中五点均在匀强电场中，它们分别是一个圆的四个等分点和圆心.已知电场线与圆所在平面平行.下列有关圆心O和等分点a的电势、电场强度的相关描述正确的是（ ）
A.a点的电势为6
V
B.a点的电势为－2
V
C.O点的场强方向指向a点
D.O点的场强方向指向电势为2
V的点
【答案】AD
【解析】
在匀强电场中，沿某一直线若存在电势变化，则沿与该直线平行的其他直线也会存在相同的电势变化规律，所以有10
V－6
V＝φa－2
V，解得φa＝6
V，A项正确，B项错误；O点与a点处于同一等势面上，所以O点场强方向垂直Oa连线指向电势为2
V的点，C项错误，D项正确.
【练习8】如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6
V，点B处的电势为3
V，则电场强度的大小为（ ）
A.200
V/m
B.200
V/m
C.100
V/m
D.100
V/m
【答案】A
【解析】
在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3
V，如图所示
因此B、C在同一等势面上.O点到BC的距离d＝sin
α，而sin
α＝＝，所以d＝＝1.5×10－2
m.根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝
V/m＝200
V/m，故选项A正确。
【练习9】如图所示，在一个匀强电场(图中未画出)中有一个四边形ABCD，其中，M为AD的中点，N为BC的中点.一个带正电的粒子从A点移动到B点，电场力做功为WAB＝2.0×10－9
J；将该粒子从D点移动到C点，电场力做功为WDC＝4.0×10－9
J.则以下分析正确的是（ ）
A.若将该粒子从M点移动到N点，电场力做功为WMN＝3.0×10－9
J
B.若将该粒子从M点移动到N点，电场力做功WMN有可能大于4.0×10－9
J
C.若A、B之间的距离为1
cm，该粒子的电荷量为2×10－7
C，则该电场的场强一定是E＝1
V/m
D.若该粒子的电荷量为2×10－9
C，则A、B之间的电势差为1
V
【答案】AD
【解析】
在匀强电场中，由于M为AD的中点，N为BC的中点，故φM＝，φN＝，则WMN＝qUMN＝q(φM－φN)＝q(－)＝q(φA－φB)＋q(φD－φC)＝WAB＋WDC＝3.0×10－9
J，故A正确，B错误；由WAB＝qUAB＝qEd，若电场方向恰好沿AB方向，则d等于A、B之间的距离，d＝1
cm，得E＝＝1
V/m，若电场方向不沿AB方向，则d<1
cm，得到E>X1
V/m，故C错误；由WAB＝qUAB得，UAB＝＝1
V，故D正确.
【练习10】（多选）如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点.一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2.下列说法正确的是（ ）
A.此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B.若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C.若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D.若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
【答案】BD
【解析】
结合题意，只能判定Uab>0，Ucd>0，但电场方向不能确定，A项错误；由于M、N分别为ac和bd的中点，对于匀强电场，则UMN＝φM－φN＝－＝，可知该粒子由M移动到N过程中，电场力做功W＝，B项正确；电场强度的方向只有沿c→d时，场强E＝，但本题中电场方向未知，C项错误；若W1＝W2，则Uab＝Ucd，则ac与bd一定相互平行，可知UaM＝UbN，D项正确.
【练习11】如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10
C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8
J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20
cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，求：
(1)a、b两点的电势差Uab；
(2)匀强电场的场强大小和方向。
【答案】(1)60
V (2)375
V/m 方向与bc边垂直且由a指向c
【解析】
(1)因为正电荷从a到b和从a到c，电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知场强方向与ac平行，垂直指向bc。
Uab＝＝
V＝60
V
(2)由U＝Ed可得
E＝＝＝
V/m＝375
V/m
场强方向平行于ac，且由a指向c。
【练习12】如图所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10－6
C的电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了2.4×10－5
J的功，再从B点移到C点，电场力做了1.2×10－5
J的功.
(1)求A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC；
(2)如果规定B点的电势为零，则A点和C点的电势分别为多少？
(3)作出过B点的一条电场线.
【答案】见解析
【解析】
(1)UAB＝＝
V＝4
V
UBC＝＝
V＝－2
V
(2)UAB＝φA－φB，UBC＝φB－φC
又φB＝0
故φA＝4
V，φC＝2
V
(3)取AB的中点D，则D点的电势为2
V，连接CD，CD为等势线，电场线与等势线垂直，由高电势指向低电势，如图.
四、静电场中的图像问题
1.图象
①
图象某点的斜率表示电场强度，即
②
根据沿电场线方向电势降低判断场强的方向
2.图象（为电场强度）
①
图线与轴围成的面积为电势差，即
式中的为沿电场线方向上的距离
②
图线的正负可表示电场方向
3.图象（为电势能）
①
图象上某点的斜率表示电场力，斜率的正负表示电场力的方向
②
根据电场力做功可判断电势能的变化
【典例5】（多选）空间某一静电场的电势φ在x轴上的分布如图4所示，x轴上两点B、C的电场强度在x轴方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有（ ）
A.EBx的大小大于ECx的大小
B.EBx的方向沿x轴正方向
C.电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量最大
D.负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功后做负功
【答案】AD
【解析】
在φ－x图象中，图线的斜率大小表示场强大小，可见EBx＞ECx，选项A正确；同理可知O点场强在x轴方向上的分量最小，电荷在该点受到的电场力在x轴方向上的分量最小，选项C错误；沿电场方向电势降低，在O点左侧，Ex的方向沿x轴负方向，在O点右侧，Ex的方向沿x轴正方向，选项B错误，选项D正确.
【典例6】（多选）如图甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴.理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化的关系如图乙所示，则（ ）
A.c点处的场强和a点处的场强大小相等、方向相同
B.球内部的电场为匀强电场
C.a、c两点处的电势相等
D.假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，则从a点处移动到c点处的过程中，电场力一直做正功
【答案】AD
【解析】
根据题图乙所示的x轴上各点的电场强度随x变化的关系知c点处场强和a点处场强大小相等、方向相同，球内部的电场为非匀强电场，选项A正确，选项B错误；沿电场线方向电势逐渐降低，由题图乙易判断a点的电势大于c点的电势，选项C错误；假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，电场力与运动方向相同，电场力一直做正功，选项D正确.
【练习13】在某电场中，沿x轴上的电势分布如图所示，由图可以判断（ ）
A．x＝2
m处电场强度一定为零
B．x＝2
m处电场方向一定沿x轴正方向
C．沿x轴正方向，电场强度先增大后减小
D．某负电荷沿x轴正方向移动，电势能始终增大
【答案】D
【解析】
φ?x图像的斜率等于电场强度，则知x＝2
m处的电场强度不为零，故A错误；随着x的增大电势不断降低，但x＝2
m点的电场方向不一定沿x轴正方向，故B错误；由图像看出，斜率先减小后增大，则电场强度先减小后增大，故C错误；沿x轴正方向电势降低，某负电荷沿x轴正方向移动，受力的方向始终指向x轴的负方向，电场力做负功，电势能始终增大，故D正确。
【练习14】沿电场中某条直电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑电场力作用，则（ ）
A.从O点到C点，电势先升高后降低
B.粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C.粒子在AB段电势能变化量大于BC段电势能变化量
D.粒子在AB段电势能变化量小于BC段电势能变化量
【答案】C
【解析】
由O点到C点，沿电场线方向，电势逐渐降低，A项错误；带正电的粒子所受电场力与速度方向一致，所以粒子一直做加速直线运动，在0～x1段电场强度逐渐变大，带电粒子所受电场力逐渐变大，故粒子在OA段做加速度增大的变加速直线运动，B项错误；E－x图象中图线与坐标轴所围面积代表电势差，可知AB段的电势差大于BC段的电势差，故电场力做功WAB>WBC，由电场力做功与电势能变化的关系得，粒子在AB段电势能变化量大于BC段的电势能变化量，C项正确，D项错误.
【练习15】（多选）一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2x3段是直线，则下列说法正确的是（ ）
A.x1处电场强度最小，但不为零
B.粒子在O～x3段做变速运动，x2～x3段做匀变速运动
C.x2～x3段的电场强度大小方向均不变，为一定值
D.在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2＝φ0>φ3
【答案】BCD
【解析】
由E＝得场强与电势的关系：E＝，电势能：Ep＝qφ，联立可得：E＝·，可知Ep－x图象切线的斜率＝qE＝F电，x1处切线斜率为零，所以x1处电场强度为零，故A错误；由题图可知，O～x1，x1～x2，x2～x3，三段斜率大小变化情况为变小，变大，不变，则可知三段电场力变小，变大，不变，故B、C正确；根据电势能与电势的关系：Ep＝qφ，粒子带负电，q<0，可知电势能越大，粒子所在处的电势越低，所以φ1>φ2＝φ0>φ3，故D正确.
【练习16】（多选）在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图所示.电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed.点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推.现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd.下列选项正确的是（ ）
A.Ea∶Eb＝4∶1
B.Ec∶Ed＝2∶1
C.Wab∶Wbc＝3∶1
D.Wbc∶Wcd＝1∶3
【答案】AC
【解析】
由题图可知，a、b、c、d到点电荷的距离分别为1
m、2
m、3
m、6
m，根据点电荷的场强公式E＝k可知，＝＝，＝＝，故A正确，B错误；电场力做功W＝qU，a与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3
V、1
V、1
V，所以＝，＝，故C正确，D错误.
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精品试卷·第
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