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第三章
函数
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知函数，则（
）
A．
B．
C．4
D．5
2．若函数为奇函数，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．
3．已知函数，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
4．若函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数，若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的值为（
）
A．0
B．1
C．0和
D．0和1
7．对，记函数的最小值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．函数满足，当有，且对任意的，不等式恒成立．则实的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．函数的一个正零点所在的区间不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
10．下列四组函数中，表示同一函数的有（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
11．已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（
）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．4是函数的周期
D．在上单调递减
12．函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（
）
A．当时，
B．关于的不等式的解集为
C．关于的方程有三个实数解
D．，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为__________________.
(结果用区间表示)
14．已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.
15．函数满足，且，当时，，则___________.
16．设，已知函数，若是在R上的增函数，则b的取值范围是_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数（）是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断函数在的单调性，并证明.
18．（12分）已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围；
（3）求不等式的解集.
19．（12分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值，并求函数的最小值．
20．（12分）已知函数是定义在上的函数，图象关于轴对称，当，.
（1）求出的解析式.
（2）若函数与函数的图象有四个交点，求的取值范围.
21．（12分）定义在上的函数满足：①；②当时，；③对任意实数，都有.
（1）证明：当时，；
（2）判断在上的单调性；
（3）解不等式.
22．（12分）已知函数.
（1）证明：函数是偶函数；
（2）记，，求的值；
（3）若实数满足，求证：.
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第三章
函数
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知函数，则（
）
A．
B．
C．4
D．5
【答案】C
【分析】
根据分段函数逐层代入即可求解.
【详解】
解：函数，则，则，
故选：C.
2．若函数为奇函数，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．
【答案】A
【分析】
首先根据奇函数的定义域必须关于原点对称求得，再验证时是否满足题意，最后求解.
【详解】
因为函数为奇函数，
所以定义域必须关于原点对称，
由题意得：即，
所以，
又当时，
满足，函数是奇函数.
所以成立
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性求函数的解析式，在判断奇偶性时一定要贯彻定义域优先原则.
3．已知函数，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由已知可得的定义域即函数的定义域为，令，可得答案．
【详解】
由，解得，
即的定义域是，则，
即函数的定义域为，
令，解得，
则函数的定义域为．
故选：B．
4．若函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
求出二次函数的单调递减区间，再由给定条件可得集合的包含关系，列式求解即得.
【详解】
函数的单调背叛区间是，
依题意得，于是得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
5．函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
分析函数的奇偶性及其在区间上的单调性，由此可得出合适的选项.
【详解】
函数的定义域为，，
函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除B、C选项；
当时，，因为，在区间上都是增函数，
所以函数在上单调递增，排除A选项，
故选：D.
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左、右位置；从函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
利用上述方法排除、筛选选项．
6．已知函数，若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的值为（
）
A．0
B．1
C．0和
D．0和1
【答案】D
【分析】
将写成分段函数的形式，同时将问题转化为“的图象有两个不同的交点”，根据图象求解出的值.
【详解】
，
关于的方程有两个不同的实数解的图象有两个不同的交点，
在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图：
且，
由图象可知，当或时，的图象有两个不同的交点，
所以或，
故选：D.
7．对，记函数的最小值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
根据已知定义，求出函数的解析式，根据一次函数的单调性分类讨论求解即可.
【详解】
，
当时，，显然当时，有，
当时，，显然当时，有，
因此函数的最小值是.
故选：B
8．函数满足，当有，且对任意的，不等式恒成立．则实的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先由定义判断的奇偶性和单调性，可得在，恒成立，两边平方可得在，恒成立，构造函数，再根据二次函数的性质分类讨论，计算可得；
【详解】
解：由函数满足，可得为偶函数；
当，，有，可得在单调递减．
由即，
可得在，恒成立，
即在，恒成立，
即在，恒成立，
显然当时，不等式不成立，故舍去；
当时，函数对称轴为，
当，即或时，函数在上单调递增，只需，解得或，所以或；
当，即时，函数在上单调递减，只需，解得或，所以；
当，即时，只需，显然不成立，
综上可得，的取值范围是．
故选：．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．函数的一个正零点所在的区间不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
判断函数的单调性，利用零点的存在性定理得到零点所在的区间，由此即可判断的正零点不可能在的区间.
【详解】
因为在上是增函数，所以至多有一个零点，
又因为，所以有且仅有一个零点且零点在内，
所以的正零点不可能在内.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查函数的零点存在性定理的应用，难度较易.判断零点个数时，注意单调函数的零点至多有
个.
10．下列四组函数中，表示同一函数的有（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【分析】
A、C选项通过判断两函数的定义域与解析式均一致，所以是同一函数；B选项通过判断两函数的解析式不一致，所以不是同一函数；D选项通过判断两函数的定义域不一致，所以不是同一函数，故D错误
【详解】
A：的定义域为,的定义域为,且，所以两函数的定义域与解析式均一致，所以是同一函数，故A正确；
B：两函数的解析式不一致，所以不是同一函数，故B错误；
C：的定义域为,的定义域为,且，所以两函数的定义域与解析式均一致，所以是同一函数，故C正确；
D：的定义域为或,的定义域为，两函数的定义域不一致，所以不是同一函数，故D错误
故选：AC.
11．已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（
）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．4是函数的周期
D．在上单调递减
【答案】ACD
【分析】
A.
由的图象与的图象关系判断；C.由满足判断；BD.由对任意的，且，都有，得到在上递增，再结合函数的周期性判断.
【详解】
因为的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，所以是偶函数，故A正确；
满足，所以4是函数的周期，故C正确；
因为对任意的，且，都有，所以在上递增，又
，所以在上单调递减，故D正确B错误；
故选：ACD
12．函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（
）
A．当时，
B．关于的不等式的解集为
C．关于的方程有三个实数解
D．，
【答案】BCD
【分析】
对于选项A利用奇函数定义可得；利用单调性和奇函数定义可判断选项B；利用图像可判断选项C
D.
【详解】
解：设，则，，选项A错误；
当时，，
当时，
结合函数的解析式绘制函数图像如图所示，
函数为奇函数，不等式
即，
由图可知函数在上单调递增，
故不等式等价于，解得，选项B正确；
当时，即，解得（舍）或，
即方程在区间上有一个实数根，
由对称性可知函数在上也有一个实数根，
故方程在区间上有三个实数根，选项C正确；
由函数的解析式和函数图像可知函数的值域为，
故，，选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为__________________.
(结果用区间表示)
【答案】
【分析】
根据函数解析式有意义得到，解不等式组即可求出结果.
【详解】
由题意得，解得且，
故答案为：.
14．已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.
【答案】
【分析】
结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】
由题意得：解得故答案为：
15．函数满足，且，当时，，则___________.
【答案】
【分析】
根据已知条件判断出函数为周期函数并求解出周期，然后计算出的值，再结合周期性将问题转化为计算的值，结合时可求解出结果.
【详解】
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴为周期函数，周期，且，
∴.
∵当时，，则，，
∴.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是根据且得到函数是周期的周期函数.
16．设，已知函数，若是在R上的增函数，则b的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
结合勾形函数的单调性，根据分段函数单调性的定义求解．
【详解】
时，，，
时，，，
即时，，是奇函数．
时，是增函数，
函数，当时，在和上都是增函数，
因此要使是上的增函数，则，，不合题意，舍去，
时，由对勾函数性质知在和上是增函数，在和上是减函数，
因此要使是上的增函数，所以，所以．
故答案为：．
【点睛】
思路点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围．掌握勾形函数的单调性是解题关键．分段函数在上单调递增，则函数在每一段上都是增函数，且相邻两端，右侧端点处函数值不小于左侧端点处函数值．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数（）是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断函数在的单调性，并证明.
【答案】(1)，；(2)单调递增，证明见解析.
【分析】
(1)由奇函数的性质及所给的值列式即可得解；
(2)利用函数单调性定义通过“取值，作差，判断符号”的步骤即可作答.
【详解】
(1)因函数是上的奇函数，于是有，解得，即有，
，解得，此时是上的奇函数，
所以，；
(2)函数在上单调递增，
，，而，，，
于是得，即，
所以函数在上单调递增.
18．（12分）已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）2；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用，即可求出的值.
（2）画出图形，观察图像即可建立不等式求解.
（3）由可得，然后分和两种情况讨论，每种情况结合图像即可得到答案.
【详解】
（1）设，则，所以，
是奇函数，，
，
（2）的图象如图
函数在区间上单调递增，
，
.
（3）由可得，即，
当时，由图像可得：，
当时，由图像可得：，
综上：
【点睛】
本题主要考查了分段函数的奇偶性，单调性的综合运用，属于基础题.
19．（12分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值，并求函数的最小值．
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）设，则，进而根据函数奇偶性求解解析式即可得答案；
（2）根据二次函数的性质，分和两种情况讨论求解得，再求函数的最值即可.
【详解】
解：（1）设，则，
由是定义在上的偶函数
∴
∴
（2）由（1）知，当时，，开口向上，对称轴是
①若，即时，的最大值
②若，即时，的最大值
∴
∵
∴
20．（12分）已知函数是定义在上的函数，图象关于轴对称，当，.
（1）求出的解析式.
（2）若函数与函数的图象有四个交点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）函数图象关于轴对称，即为偶函数，即可求出的解析式，便可得解；
（2）作出函数的图象，即可得出与函数的图象有四个交点时的取值范围.
【详解】
（1）函数图象关于轴对称，即为偶函数，
当时，，
当时，，，
所以；
（2）由第一问，根据二次函数性质，作出函数图象：
要使函数与函数的图象有四个交点，则
【点睛】
此题考查根据函数奇偶性求函数解析式，求解函数根的个数，考查数形结合思想.
21．（12分）定义在上的函数满足：①；②当时，；③对任意实数，都有.
（1）证明：当时，；
（2）判断在上的单调性；
（3）解不等式.
【答案】（1）证明见解析；（2）在上是增函数；（3）.
【分析】
（1）赋值法可直接求出结果；
（2）利用单调性得定义即可判断；
（3）根据题意原不等式等价于，然后利用函数得单调性解不等式即可.
【详解】
（1）令，则，又，所以.
当时，，在中，令，
则，所以，又因为时，，故.
（2）设，且，则，所以且.
于是，故在上是增函数.
（3）由题意知，所以原不等式等价于.
由（2），在上是增函数得到，，，故此不等式的解集是.
22．（12分）已知函数.
（1）证明：函数是偶函数；
（2）记，，求的值；
（3）若实数满足，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）由可得结论；
（2）由可求得结果；
（3）根据解析式，利用可化简得到，进而得到结论.
【详解】
（1）证明：对任意实数，都有，
是偶函数.
（2）当时，，，
.
（3）证明：由得：，
即，
整理可得：，.
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