5.1.2弧度制（教案）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
教学设计
一、教学目标
1.理解并掌握弧度制的定义，领会弧度制含义的合理性.
2.掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式.
3.熟练地进行角度制与弧度制的换算.
二、教学重难点
1.教学重点
理解并掌握弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的互化，弧度制的运用.
2.教学难点
理解弧度制的定义，弧度制的运用.
三、教学过程
（一）新课导入
我们在回答自己的体重的时，有同学会说自己50公斤，有同学会说自己100斤，这两种回答的体重都是相同的.这两种回答采取的单位制不同，但它们之间能进行换算，1公斤=2斤.不同的单位制能给解决问题带来方便，那角的度量是否也能用不同的单位制呢？
（二）探索新知
探究一：角度、弧度制的概念
角度制：角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
如图，在射线上任取一点（不同于点），.在旋转过程中，点所形成的圆弧的长为.与的比值是多少？你能得出什么结论？
老师让学生动手求比值，回答问题
师生共同探究发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关，与半径无关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.
【证明过程】
在两个同心圆内作出，当半径为时，的长，弧长与半径的比值为.当半径为时，的长，弧长与半径的比值为.两者比值相等.
即当圆心角一定时，它所对弧长与半径的比值是一定的，与半径大小无关.
弧度：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
单位圆：我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角.
根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角，那么.（变形：弧长公式，）
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
探究二：角度与弧度的换算
对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？（学生思考）
角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，防止出现或一类错误写法，正确写法为，或.
角度与弧度的互化关系
角度化弧度 弧度化角度




例4 按照下列要求，把化成弧度：
（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值.
解：（1）因为，所以.
（2）利用计算器有
因此，.
例5 将换算成角度（用度数表示，精确到0.001）.
解：利用计算器有
因此，.
规定：用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.
（学生探究表格，老师检查修正）
特殊角的度数与弧度数的对应表：
度





弧度 0




度





弧度





老师引导学生分析得出：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系.
探究三：弧长公式、扇形面积公式
例6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）；（2）；（3）.
其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
证明：由公式可得.
下面证明（2）（3）.
半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是
将转换为弧度，得，于是.
将代入上式，即得.
因此，引入弧度制的原因之一是，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.
【总结】
角度制 弧度制
弧长公式

扇形面积公式

注意事项 是扇形的半径，是圆心角的角度数 是扇形的半径，是圆心角的弧度数
（三）课堂练习
1.下列说法中,正确的是( )
A.1弧度角的大小与圆的半径无关
B.大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C.圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
D.用弧度来表示的角都是正角
答案：A
解析：由弧度的定义得,弧度的大小与圆的半径无关,它由比值唯一确定,故A正确,B错误;圆心角为1弧度的扇形的弧长,与半径有关,故C错误;正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,故D错误．故选A．
2.-300°化为弧度是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：.故选B.
3.把化成角度是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：,则化成角度是.
4.圆的半径为r,该圆上长为的弧所对的圆心角是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由公式，得，
因此所求的圆心角是.
5.___________弧度,弧度=_____________.
答案：;
解析：,.
6.已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径_________，圆心角=_________.
答案：2；
解析：设圆心角度数为，由扇形的面积公式得，解得，由扇形的弧长公式得，解得.
（四）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.弧度制的定义
3.角度制与弧度制的换算关系
4.弧长公式和扇形面积公式
作业：
四、板书设计
5.1.2 弧度制
一、复习引入
二、弧度制的定义
三、角度制和弧度制的换算关系
四、弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
五、例题
六、巩固练习