11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021七下·罗湖期末）画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A． AB边上的高CH
B． AB边上的高CH
C． AB边上的高AH
D． AB边上的高AH
2．（2021·兴平模拟）如图，CM 是 的中线， 的周长比 的周长大 ， ，则 AC 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·西安模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）.
A．点D B．点E C．点F D．点G
4．（2021八上·拱墅期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线
C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
5．（2021七下·江宁期末）如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F.若△ABF的面积是4，则四边形DCEF的面积是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
6．（2021七下·吴兴期末）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，则图②中阴影部分的面积是空白部分面积的（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·绍兴模拟）已知△ABC的两条中线的长分别为5、10，若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
8．（2021七下·深圳期中）如图， ABC中，AD是BC边上的中线，CE是 ACD中AD边上的中线，如果 ABC的面积是20，那么 ACE的面积是（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
二、填空题
9．（2021八下·东莞月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是 ．
10．（2020八上·江川期末）如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 ．
11．（2020八上·个旧月考）如图，在 中， ， ， 为中线，则 与 的周长之差 .
12．（2020七下·宝安期中）一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是 三角形.
13．（2021七下·万州期末）如图，在 ABC中，E是 ABC中线AD上一点，AE=2DE，若 ABE的面积为6，则 ABC的面积为 .
三、解答题
14．（2021七下·浦东期中）如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积。
15．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
16．（2021八上·平罗期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠EAD的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】根据三角形高的定义，可知A、C、D错误，B正确.
故答案为：B
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，据此逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM=BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）-（AC+AM+CM）=3cm，
∴BC-AC=3cm，
∵BC=8cm，
∴AC=5cm，
故答案为：C.
【分析】根据三角形中线的特点及三角形周长的计算方法进行解答即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线
∴点D是△ABC重心.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的重心的定义“三角形重心是三角形三边中线的交点”并结合网格图的特征可判断求解.
4．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
故答案为：A.
【分析】根据等底同高的三角形的面积相等可知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
5．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵△ABC的中线AD、BE相交于点F，
∴F点为△ABC的重心，
∴AF=2DF，BF=2EF，
∴S△BDF= S△ABF= ×4=2，S△AEF= S△ABF= ×4=2，
∵BE为中线，
∴S△BCE=S△ABE=4+2=6，
∴四边形DCEF的面积=S△BCE-S△BDF=6-2=4.
故答案为：B.
【分析】由题意可得F点为△ABC的重心，则AF=2DF，BF=2EF，结合三角形的面积公式可得S△BDF=2，S△AEF=2，然后根据中线的性质可得S△BCE=S△ABE=6，最后根据面积间的和差关系进行解答.
6．【答案】D
【知识点】七巧板；三角形的面积
【解析】【解答】解：设图①中大正方形的边长为1，则面积为1，
∴S1=，
S2=，
S3=
∴ 阴影部分的面积=S1+S2+S3=，
∴ 空白部分面积=1-=，
∴ 阴影部分的面积是空白部分面积的 .
故答案为：D.
【分析】图②中阴影部分的面积是三个等腰直角三角形的面积和，设图①中大正方形的边长为1，分别求出三个等腰直角三角形的面积，相加求出阴影部分的面积，再求出空白部分面积，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【解答】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长
∵角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O
∴ ，
∵OD=DG
∴
∴
∴
∴
∵第三条中线的长也是整数
∴第三条中线长的最大值为14
故答案为：C．
【分析】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长，根据三角形的三边关系和中线的性质列出不等式组，即可求出第三条中线长的最大值．
8．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是BC上的中线，△ABC的面积是20，
∴S△ACD＝S△ABD＝ S△ABC＝10，
∵CE是△ACD中AD边上的中线，
∴S△ACE＝S△CED＝ S△ACD＝5．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个部分，即可得到答案。
9．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画出图形
过点C做CD⊥AB，交AB于点D，如图所示
在直角三角形ABC中，AC=9，AB=15，根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2
∴BC=12
∵S△ABC=
AC×BC=
AB×CD
∴CD=AC×BC÷AB=
【分析】首先根据勾股定理计算得到BC的长度，继而根据三角形的面积为定值即可得到求出点C到AB的距离。
10．【答案】AD
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，
故答案为AD
【分析】根据三角形的高的定义求解即可。
11．【答案】3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： 是 中 边上的中线，
，
与 的周长之差
.
则 与 的周长之差 .
故答案为：3.
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差.
12．【答案】直角
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵三角形两边上的高的交点，恰好是三角形的一个顶点，
∴此三角形是直角三角形.
故答案为直角.
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
13．【答案】18
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AE=2DE，S△ABE=6，
∴S△DBE= S△ABE=3，
∴S△ABD=6+3=9，
∵D为BC中点，
∴S△ABC=2S△ABD=18.
故答案为：18.
【分析】由于AE=2DE且△ABE与△BED是两个同高三角形，可得S△DBE= S△ABE=3，从而得出S△ABD=9，由于AD是△ABC的中线，可得S△ABC=2S△ABD，据此即得结论.
14．【答案】解：∵ ∠1=∠2，
∴ AD∥BC，
∴ △CAD和△ABC的高相等，
∵ AD=2BC，
∴S△CAD=2S△ABC=2×3=6.
【知识点】平行线的判定；平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC， 得出△CAD和△ABC的高相等，根据题意得出S△CAD=2S△ABC，即可得出答案.
15．【答案】解：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ABD＝ S△ABC，S△BDE＝ S△ABD，
∴S△BDE＝ × S△ABC＝ S△ABC，
∵△ABC的面积为40，
∴S△BDE＝ ×40＝10，
设△BDE中BD边上的高为x，
∵BD＝5，
∴ ×5 x＝10，
解得x＝4，
故△BDE中BD边上的高为4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】由D为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，再由等底同高的三角形面积相等，得到△BDE的面积=△ABC的面积÷4；求出△BDE中BD边上的高.
16．【答案】解：∵∠BAC=60°，∠C=50°
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-90°-∠C=40°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=30°
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=40°-30°=10°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】先由AD是高得到 ∠ADC=90° ，接着通过三角形内角和求到∠DAC=40°，再由AE是角平分线得到 ∠EAC=30° ，最后由 ∠EAD=∠DAC-∠EAC 算出∠EAD的度数.
1 / 111.1.2 三角形的高、中线与角平分线 同步练习----初中数学人教版八年级上册
一、单选题
1．（2021七下·罗湖期末）画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A． AB边上的高CH
B． AB边上的高CH
C． AB边上的高AH
D． AB边上的高AH
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】根据三角形高的定义，可知A、C、D错误，B正确.
故答案为：B
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，据此逐一判断即可.
2．（2021·兴平模拟）如图，CM 是 的中线， 的周长比 的周长大 ， ，则 AC 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM=BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）-（AC+AM+CM）=3cm，
∴BC-AC=3cm，
∵BC=8cm，
∴AC=5cm，
故答案为：C.
【分析】根据三角形中线的特点及三角形周长的计算方法进行解答即可.
3．（2021·西安模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）.
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线
∴点D是△ABC重心.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的重心的定义“三角形重心是三角形三边中线的交点”并结合网格图的特征可判断求解.
4．（2021八上·拱墅期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线
C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
故答案为：A.
【分析】根据等底同高的三角形的面积相等可知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
5．（2021七下·江宁期末）如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F.若△ABF的面积是4，则四边形DCEF的面积是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵△ABC的中线AD、BE相交于点F，
∴F点为△ABC的重心，
∴AF=2DF，BF=2EF，
∴S△BDF= S△ABF= ×4=2，S△AEF= S△ABF= ×4=2，
∵BE为中线，
∴S△BCE=S△ABE=4+2=6，
∴四边形DCEF的面积=S△BCE-S△BDF=6-2=4.
故答案为：B.
【分析】由题意可得F点为△ABC的重心，则AF=2DF，BF=2EF，结合三角形的面积公式可得S△BDF=2，S△AEF=2，然后根据中线的性质可得S△BCE=S△ABE=6，最后根据面积间的和差关系进行解答.
6．（2021七下·吴兴期末）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，则图②中阴影部分的面积是空白部分面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】七巧板；三角形的面积
【解析】【解答】解：设图①中大正方形的边长为1，则面积为1，
∴S1=，
S2=，
S3=
∴ 阴影部分的面积=S1+S2+S3=，
∴ 空白部分面积=1-=，
∴ 阴影部分的面积是空白部分面积的 .
故答案为：D.
【分析】图②中阴影部分的面积是三个等腰直角三角形的面积和，设图①中大正方形的边长为1，分别求出三个等腰直角三角形的面积，相加求出阴影部分的面积，再求出空白部分面积，即可得出答案.
7．（2020·绍兴模拟）已知△ABC的两条中线的长分别为5、10，若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【解答】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长
∵角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O
∴ ，
∵OD=DG
∴
∴
∴
∴
∵第三条中线的长也是整数
∴第三条中线长的最大值为14
故答案为：C．
【分析】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长，根据三角形的三边关系和中线的性质列出不等式组，即可求出第三条中线长的最大值．
8．（2021七下·深圳期中）如图， ABC中，AD是BC边上的中线，CE是 ACD中AD边上的中线，如果 ABC的面积是20，那么 ACE的面积是（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是BC上的中线，△ABC的面积是20，
∴S△ACD＝S△ABD＝ S△ABC＝10，
∵CE是△ACD中AD边上的中线，
∴S△ACE＝S△CED＝ S△ACD＝5．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个部分，即可得到答案。
二、填空题
9．（2021八下·东莞月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画出图形
过点C做CD⊥AB，交AB于点D，如图所示
在直角三角形ABC中，AC=9，AB=15，根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2
∴BC=12
∵S△ABC=
AC×BC=
AB×CD
∴CD=AC×BC÷AB=
【分析】首先根据勾股定理计算得到BC的长度，继而根据三角形的面积为定值即可得到求出点C到AB的距离。
10．（2020八上·江川期末）如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 ．
【答案】AD
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，
故答案为AD
【分析】根据三角形的高的定义求解即可。
11．（2020八上·个旧月考）如图，在 中， ， ， 为中线，则 与 的周长之差 .
【答案】3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： 是 中 边上的中线，
，
与 的周长之差
.
则 与 的周长之差 .
故答案为：3.
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差.
12．（2020七下·宝安期中）一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是 三角形.
【答案】直角
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵三角形两边上的高的交点，恰好是三角形的一个顶点，
∴此三角形是直角三角形.
故答案为直角.
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
13．（2021七下·万州期末）如图，在 ABC中，E是 ABC中线AD上一点，AE=2DE，若 ABE的面积为6，则 ABC的面积为 .
【答案】18
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AE=2DE，S△ABE=6，
∴S△DBE= S△ABE=3，
∴S△ABD=6+3=9，
∵D为BC中点，
∴S△ABC=2S△ABD=18.
故答案为：18.
【分析】由于AE=2DE且△ABE与△BED是两个同高三角形，可得S△DBE= S△ABE=3，从而得出S△ABD=9，由于AD是△ABC的中线，可得S△ABC=2S△ABD，据此即得结论.
三、解答题
14．（2021七下·浦东期中）如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积。
【答案】解：∵ ∠1=∠2，
∴ AD∥BC，
∴ △CAD和△ABC的高相等，
∵ AD=2BC，
∴S△CAD=2S△ABC=2×3=6.
【知识点】平行线的判定；平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC， 得出△CAD和△ABC的高相等，根据题意得出S△CAD=2S△ABC，即可得出答案.
15．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
【答案】解：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ABD＝ S△ABC，S△BDE＝ S△ABD，
∴S△BDE＝ × S△ABC＝ S△ABC，
∵△ABC的面积为40，
∴S△BDE＝ ×40＝10，
设△BDE中BD边上的高为x，
∵BD＝5，
∴ ×5 x＝10，
解得x＝4，
故△BDE中BD边上的高为4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】由D为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，再由等底同高的三角形面积相等，得到△BDE的面积=△ABC的面积÷4；求出△BDE中BD边上的高.
16．（2021八上·平罗期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠EAD的度数.
【答案】解：∵∠BAC=60°，∠C=50°
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-90°-∠C=40°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=30°
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=40°-30°=10°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】先由AD是高得到 ∠ADC=90° ，接着通过三角形内角和求到∠DAC=40°，再由AE是角平分线得到 ∠EAC=30° ，最后由 ∠EAD=∠DAC-∠EAC 算出∠EAD的度数.
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