3.2.1函数单调性导学案-2021-2022学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册（Word无答案）

函数单调性的定义
[知识梳理]
1.增函数与减函数
定义：对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值
（1）若当时，都有,则说在这个区间上是增函数；
（2）若当时，都有,则说在这个区间上是减函数.
注意区间D可以是定义域也可以是定义域的某个区间；
的任意性；
增函数随的增大而增大，呈上升趋势；减函数随的减小而减小，呈下降趋势.
2.增函数与减函数形式的等价变形
①在区间上是增函数当时有；
②在区间上是减函数当时有；
设那么
上是增函数；
上是减函数。
单调性与单调区间的定义
如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性（区间称为单调区间）
注意
单调区间之间不能用并的符号只能用逗号隔开.
[典型例题]
下列命题正确的是（
）
定义在（a，b）上的函数f（x），若存在x1，x2∈（a，b），当x1定义在（a，b）上的函数f（x），若无穷多x1，x2∈（a，b），当x1C.若函数f（x）在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f（x）在区间I1∪I2上就一定是减函数
D.若函数f（x）是区间I上的增函数，且f（x1）2．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是____________．
3．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是__________．
4.求下列函数的单调区间：
(1)
(2)
f(x)＝x|x－2|
题型一
用定义证明函数的单调性
2.用定义法判断在x∈（1，+∞）的单调性。
【课堂练习】
1.讨论在其定义域上的单调性.
设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性.
单调性的运算性质
[知识梳理]
1.单调函数的运算性质
若，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质：
（1）与具有相同的单调性；
（2）与，当时，具有相同的单调性，当时，具有相反的单调性；
（3）当恒不等于零时，与具有相反的单调性；
（4）当，都是增（减）函数时，都是增（减）函数；
（5）在公共区间内：增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。
2.函数的最大（小）值的定义
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
对于任意的，都有；
存在，使得.
那么，我们称是函数的最大（小）值.
注意
（1）首先是一个函数值，他是值域的一个元素；
对于定义域内的每一个元素都满足；
这两条缺一不可.
[典型例题]
求函数的单调区间。
求函数的单调区间.
3.函数在区间上的最值；
【课堂练习】
题型二
运用单调函数的运算性质判断函数的单调性
1.已知与均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性.
（2）
2.判断下列函数在其定义域内的单调性.
（1）
（2）
求单调性的基本方法
[知识梳理]
定义法：“取值-作差-变形-定号-下结论”。
图像法：根据函数图像的升、降趋势进行判断。
直接观察法：根据已知的结论，直接得到函数的单调性。
利用基本初等函数的单调性：①正比例函数②一次函数③反比例函数④二次函数⑤指数函数⑥对数函数⑦幂函数
5.复合函数的单调性：同增异减
[典型例题]
题型三
复合函数的单调性
1.函数的单调递增区间是_______.
2.函数的单调递增区间是
.
【课堂练习】
题型四
利用函数的单调性求参数的取值范围
1.函数在上是增函数，求实数a的取值范围．
2.函数在区间（-2，+∞）上是增函数，求的取值范围.
3.已知函数若，则实数的取值范围.
类型五
利用函数的单调性求最值
1.（1）函数在区间上有最大值9，最小值-7，求的值.
（2）已知对于函数，若的定义域和值域都为，求的值.
（3）
已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，求的取值范围
.
求函数在上的最值。
2.已知函数，.
当时，求函数的最小值；
若对任意，恒成立，试求的取值范围.
题型六
函数的单调性解不等式
1.定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的值的集合
2.已知函数求满足不等式的的取值范围.
【课后作业】
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝3－x
B．y＝x2－3x
C．y＝－
D．y＝－|x|
2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有(　　)
A．f(a)B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)>f(a)
3．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(　　)
A．[1,2]
B．[－1,0]
C．[0,2]
D．[2，＋∞)
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1)
D．(0,1]
5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)
A．(8，＋∞)
B．(8,9]
C．[8,9]
D．(0,8)
6．f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是_____和_____．
7．函数f(x)＝的最大值为________．
8．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是____________．
9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋1在[－1,2]上的最小值为f(2)，则实数a的取值范围是____________．
10．若函数y＝在(3，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是________________．
11.用定义证明在上为增函数.
12．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
13（1）
已知函数的最大值不大于，又当时，，求的值.
（2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值.
（3）已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值.
12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2．(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最值．