3.2.2函数奇偶性导学案-2021-2022学年高一上学期人教A版（2019）必修第一册（Word无答案）

函数奇偶性的定义
[知识梳理]
函数的奇偶性
1、奇偶性的定义：
奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有。
偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有。
奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数时，那么就说函数具有奇偶性。
注意：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
函数奇偶性的性质
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。
（2）若奇函数定义域中含有0，则必有。
（3）两个奇函数的和仍为奇函数。
（4）两个偶函数的和仍为偶函数。
（5）两个奇函数的积是偶函数。
（6）两个偶函数的积是偶函数。
（7）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
复合函数的奇偶性
“内偶则偶，内奇同外”。
[典型例题]
例1、下列说法中错误的个数为（　　）
①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过坐标原点；④偶函数的图象一定与y轴相交．
A．4
B．3
C．2
D．0
例2、判断下列函数的奇偶性
f(x)＝
（2）f(x)=
（3）f(x)＝－4x＋5x
（4）f(x)＝＋
例3、若函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于（
）
轴对称
轴对称
原点对称
以上均不对
例4、已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是(
）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
例5、已知函数满足：对任意的实数、总成立，且.求证：为偶函数。
[典型例题]
1、若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、下列函数中为偶函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
定义在上的函数是奇函数，则常数____，_____。
4.已知函数f(x)是定义在(－∞,+∞)上的偶函数，当x∈(－∞,0)时，f(x)=x-x4，则
当x∈(0.+∞)时，求f（x）。
5、已知函数对一切，都有，
（1）求证：为奇函数；（2）若，用表示。
判定奇偶性的基本方法
[知识梳理]
定义法：（1）求定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，直接判断为非奇非偶函数，若对称进行下一
步：
（2）求f（-x），并判断f（-x）与f（x）之间的关系
②当f（-x）=-f（x）时，为奇函数；
③当f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），为非奇非偶函数；
④当f（-x）=f（x）且f（-x）=-f（x），为既奇又偶函数。
图像法：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。
性质法：利用奇偶性的性质来判断
在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商都是偶函数；奇函数的和、差还是奇函数；奇数个奇函
数的积、商还是奇函数，偶数个奇函数积、商为偶函数。
复合函数的奇偶性：
“内偶则偶，内奇同外”。
分段函数奇偶性的判定：
判断分段函数f（x）的奇偶性的步骤
（1）求f（x）的定义域I1∪I2，判断是否关于原点对称；
（2）若对称，当x∈I1时，判断-x在I1上，还是在I2上，求f（-x），判断f（-x）与f（x）之间的关系；
当x∈I2时，判断-x在I1上，还是在I2上，求f（-x），判断f（-x）与f（x）之间的关系。
（3）得出结论
[典型例题]
例1、判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
（3）
（4）
例2、求下列函数的奇偶性
（1）
（2）
例3、设是上的奇函数，且当时，，求的解析式。
例4、设函数为奇函数，，，则（
）
（A）0
（B）1
（C）
（D）
【课堂练习】
1、判断下列函数的奇偶性
（2）
（4）
已知：,都是奇函数且在(0,+)有最大值5，求在上的最小值。
已知函数，且，求的值。
函数奇偶性的应用和周期性
[知识梳理]
1、求函数值
2、求解析式
利用函数的奇偶性求函数解析式问题，即已知某函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式，步骤如下：
（1）设所求区间上的任意x
（2）把所求区间内的变量转化到已知区间内
（3）利用函数奇偶性的定义f（x）=-f（-x）或f（x）=f（-x）求出解析式
3、求最值
4、奇偶性与单调性的综合应用
周期性：
（1）定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期.
[典型例题]
例1、已知，且f（d）=10，求f（-d）的值。
例2、f（x）是R上的奇函数，当x>0时，，求f（x）的解析式。
例3、已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于（
）
A.4
B.3
C.2
D.1
例4、设是定义在上的奇函数，且，又当≤≤时，，（1）证明：直线是函数图象的一条对称轴；（2）当时，求的解析式。
例5、定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则
________
。
例6、奇函数f(x)在区间[－b,－a]上单调递减且f(x)>0(0）。
A．单调递减
B．单调递增
C．不增不减
D．无法判断单调性
例7、【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文】已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为
（
）
例8已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)若f(3)＝1，f(x)＋f(x－8)≤2，且f(x)在(0，＋∞)上的单调增函数，求x的取值范围．
【课堂练习】
1、如果奇函数在上是增函数，且最小值是5，那么在上是（
）
A．增函数，最小值是-5
B．增函数，最大值是-5
C．减函数，最小值是-5
D．减函数，最大值是-5
2、定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+1)=－f(x),且在[－1,0]上单调递增,设a=f（3）,
b=f(),
c=f（2）,则a,b,c的大小关系是（
）。
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>b>a
3、已知偶函数在上单调递增，则下列关系式成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
4、设函数为奇函数，，，则（
）
（A）0
（B）1
（C）
（D）5
5、设是上的奇函数,.
当时有,则
.
6、函数对于任意实数满足条件，若，则________.
【课后作业】
1．函数（
）
A.是奇函数
　　　　　　　B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
2．函数（
）
A.是奇函数
　　　　　　　
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
3．下列函数是偶函数的是（
）
A.
B.
C．
D．
4．函数是（
）
（A）奇函数不是偶函数
（B）偶函数不是奇函数
（C）奇函数又是偶函数
（D）非奇非偶函数
5．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，恒有<0，则(　　)
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)6．如果奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，那么在区间上是（
）
A增函数，且最小值为-5
B．增函数，且最大值为-5
C减函数，且最小值为-5
D．减函数，且最大值为-5
7．已知，且，则的值为（
）
A．-26
B．-18
C．-10
D．10
8．若是奇函数，且在（－∞，0）内是增函数，又，则的解集是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
9．已知f(x)＝ax5－bx＋+5，且f(m)=2，则f(－m)=
．
10．已知奇函数f(x)满足f(x－1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－2015)=
．
11．判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
12．若为奇函数，则实数a=______________;
13．若奇函数．当时，，求使的的取值范围．
14.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝2x，分别求f(x)和g(x)的关系式．
15.
f(x)是R上奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)求f(x)在[2,3]上的解析式；
(3)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
16.已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
求证：f(x)是奇函数；
(2)判断f(x)在R上的单调性；
(3)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．