5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

二倍角的正弦、余弦、正切公式
　一、选择题(每小题5分，共20分)
1．cos275°＋cos215°＋cos75°cos 15°的值等于(　　)
A． B． C． D．1＋
2．化简·cos 28°的结果为(　　)
A． B．sin 28°
C．2sin 28° D．sin 14°cos 28°
3．已知sin ＝，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
4．在△ABC中若sin B sin C＝cos2则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知tan ＝3，则sin 2θ－2cos2θ＝________．
6．化简：＋＝__________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)化简：.
(2)求证：＝tan4A.
8．已知sin－2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为(　　)
A． B． C． D．π
2．(多选题)已知函数f(x)＝，则(　　)
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)没有最大值
C．函数f(x)没有最小值
D．函数f(x)的最小值为－
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知cos ＝，则sin ＝________，sin 2α＝________．
4．已知θ∈，＋＝2，则sin ＝________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝cos2－sincos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
6．在△ABC中，sinA cos A＝sin B cos B．且A≠B.
(1)求证：A＋B＝；
(2)求sin A＋sin B的取值范围；
(3)若(sin A sin B)x＝sin A＋sin B，试确定实数x的取值范围．
　一、选择题(每小题5分，共20分)
1．cos275°＋cos215°＋cos75°cos 15°的值等于(　　)
A． B． C． D．1＋
分析选C.原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.
2．化简·cos 28°的结果为(　　)
A． B．sin 28°
C．2sin 28° D．sin 14°cos 28°
分析选A.·cos 28°
＝×·cos 28°
＝tan 28°·cos 28°＝.
3．已知sin ＝，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
分析选C.因为2α＝2－，
所以sin 2α＝sin
＝－sin
＝－cos 2＝－
＝－＝－.
4．在△ABC中若sin B sin C＝cos2则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
分析选B.由sinB sin C＝cos2，得sinB sin C＝，
所以2sin B sin C＝1＋cos A.
所以2sin B sin C＝1＋cos [π－(B＋C)]
＝1－cos (B＋C)，
所以2sin B sin C＝1－cos B cos C＋sin B sin C，
所以cos B cos C＋sin B sin C＝1，所以cos (B－C)＝1.
又－180°＜B－C＜180°，所以B－C＝0°，
所以B＝C，所以△ABC是等腰三角形．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知tan ＝3，则sin 2θ－2cos2θ＝________．
分析由已知，得＝3，解得tan θ＝.
所以sin 2θ－2cos2θ＝
＝＝＝－.
答案：－
6．化简：＋＝__________．
分析原式＝＋
＝|sin 20°－cos 20°|＋
＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°＝cos 20°.
答案：cos 20°
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)化简：.
分析原式＝
＝
＝＝＝－4.
(2)求证：＝tan4A.
【证明】因为左边＝
＝＝＝(tan2A)2
＝tan4A＝右边，
所以＝tan4A.
8．已知sin－2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
分析(1)由sin －2cos ＝0，知cos ≠0，
所以tan ＝2，所以tan x＝＝＝－.
(2)由(1)知tanx＝－，
所以
＝
＝
＝
＝×＝×＝.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为(　　)
A． B． C． D．π
分析选D.由题意得
①2＋②2得cos β＝，cos α＝，
由α，β均为锐角知，sin β＝，sin α＝，
所以tan β＝2，tan α＝，
所以tan 2β＝－，所以tan (α＋2β)＝0，
又α＋2β∈，所以α＋2β＝π.
2．(多选题)已知函数f(x)＝，则(　　)
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)没有最大值
C．函数f(x)没有最小值
D．函数f(x)的最小值为－
分析选BD．因为f(x)＝＝
＝＝－tan x，0所以函数f(x)的最小值为－，无最大值．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知cos ＝，则sin ＝________，sin 2α＝________．
分析因为α＋＝α－＋，
所以sin ＝sin
＝cos ＝，
因为2α＝2＋，
所以sin 2α＝sin
＝cos 2
＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
答案：　－
4．已知θ∈，＋＝2，则sin ＝________．
分析＋＝2?＝2?sin θ＋cos θ＝2sin θcos θ?1＋sin 2θ＝2sin22θ，
因为θ∈，所以2θ∈(π，2π)，
所以sin2θ＝－，所以sin θ＋cos θ<0，
所以θ∈，所以2θ∈，
所以cos 2θ＝，
所以sin ＝sin 2θcos ＋sin cos 2θ＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝cos2－sincos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
分析(1)因为f(x)＝cos2－sincos －
＝(1＋cos x)－sin x－＝cos ，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos ＝，
所以cos ＝，
所以sin 2α＝－cos
＝－cos
＝1－2cos2＝1－＝.
6．在△ABC中，sinA cos A＝sin B cos B．且A≠B.
(1)求证：A＋B＝；
(2)求sin A＋sin B的取值范围；
(3)若(sin A sin B)x＝sin A＋sin B，试确定实数x的取值范围．
分析(1)因为sin A cos A＝sin B cos B，
所以sin 2A＝sin 2B，
解得2A＝2B或2A＋2B＝π，
化简可得A＝B或A＋B＝，
又A≠B，所以A＋B＝.
(2)由(1)可知A＋B＝，
故sin A＋sin B＝sin A＋sin ＝sin A＋cos A＝sin ，
因为0所以1故sin A＋sin B的取值范围是(1，].
(3)由题意可知x＝＝，
设sin A＋cos A＝t∈(1，]，
则t2＝1＋2sin A cos A，
故sin A cos A＝，代入得x＝＝＝≥＝2，
故实数x的取值范围为[2，＋∞).