5.5.1两角差的余弦公式（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

两角差的余弦公式
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若sin ＝a，则cos ＝(　　)
A．－a B．a C．1－a D．1＋a
2．已知cos ＝－，则cos x＋cos (x－)的值是(　　)
A．－ B．± C．－1 D．±1
3．若sin αsin β＝1，则cos (α－β)的值为(　　)
A．0 B．1 C．±1 D．－1
4．若0<α<，－<β<0，cos ＝，cos (－)＝，则cos ＝(　　)
A． B．－ C． D．－
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若cos (α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．
6．化简＝________．
三、解答题
7．(10分)若x∈，且sin x＝，
求2cos ＋2cos x的值．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x，则f(x)的最小正周期与值域分别为(　　)
A．π　[－，] B．2π　[－，]
C．π　[－1，1] D．2π　[－1，1]
2．(多选题)使sin x＋cos x＝cos (x＋φ)成立的φ的值是(　　)
A．－ B．－ C． D．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知△ABC中，sin (A＋B)＝，cos B＝－，则sin B＝________，cos A＝________．
4．(2021·枣庄高一检测)如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1，2，3)，则
cos cos (－)＋sin ·sin ＝____________．
三、解答题
5．(10分)已知函数f(x)＝－cos 2x cos ＋sin 2x sin .
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若<α<β<，f(α)＝，且f(β)＝，求角2β－2α的大小．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若sin ＝a，则cos ＝(　　)
A．－a B．a C．1－a D．1＋a
分析选B.cos ＝cos
＝cos cos ＋sin sin ＝a.
2．已知cos ＝－，则cos x＋cos (x－)的值是(　　)
A．－ B．± C．－1 D．±1
分析选C.cos x＋cos
＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sinx＝
＝cos ＝－1.
3．若sin αsin β＝1，则cos (α－β)的值为(　　)
A．0 B．1 C．±1 D．－1
分析选B.因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，
－1≤sin β≤1，
所以或者
解得
于是cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.
4．若0<α<，－<β<0，cos ＝，cos (－)＝，则cos ＝(　　)
A． B．－ C． D．－
分析选C.cos ＝cos [－]＝cos cos ＋
sin sin ，
而＋α∈，－∈，
因此sin ＝，sin ＝，
则cos ＝×＋×＝.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若cos (α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．
分析原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos (α－β)＝2＋2×＝.
答案：
6．化简＝________．
分析原式＝
＝＝.
答案：
三、解答题
7．(10分)若x∈，且sin x＝，
求2cos ＋2cos x的值．
分析因为x∈，sin x＝，
所以cos x＝－.
所以2cos ＋2cos x
＝2＋2cos x
＝2＋2cos x
＝sin x＋cos x
＝－＝.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x，则f(x)的最小正周期与值域分别为(　　)
A．π　[－，] B．2π　[－，]
C．π　[－1，1] D．2π　[－1，1]
分析选A.f(x)＝cos 2x＋sin 2x
＝ (cos 2x＋sin 2x)
＝
＝cos .
所以T＝＝π，f(x)的值域为[－，].
2．(多选题)使sin x＋cos x＝cos (x＋φ)成立的φ的值是(　　)
A．－ B．－ C． D．
分析选AC.对比公式特征知，cos φ＝，sin φ＝－，故φ＝－，都合适．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知△ABC中，sin (A＋B)＝，cos B＝－，则sin B＝________，cos A＝________．
分析在△ABC中，因为cos B＝－<0，
所以B为钝角，则sin B＝，
所以A＋B∈，
由sin (A＋B)＝，得cos (A＋B)＝－，
所以cos A＝cos [(A＋B)－B]＝cos (A＋B)cos B＋sin (A＋B)sin B＝－×＋×＝.
答案：　
4．(2021·枣庄高一检测)如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1，2，3)，则
cos cos (－)＋sin ·sin ＝____________．
分析设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD，
则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，
从而α1＋α2＋α3＝4π，
所以cos cos ＋
sin sin
＝cos
＝cos ＝－.
答案：－
三、解答题
5．(10分)已知函数f(x)＝－cos 2x cos ＋sin 2x sin .
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若<α<β<，f(α)＝，且f(β)＝，求角2β－2α的大小．
分析(1)因为f(x)＝－cos 2x cos ＋
sin 2x sin
＝cos 2x cos ＋sin 2x sin ＝cos ，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(α)＝，且f(β)＝，
所以cos ＝，
cos ＝.
又<α<β<，
所以2α－∈，2β－∈，
所以sin ＝
＝，
sin(2β－)＝＝，
所以cos(2β－2α)＝cos
＝cos cos ＋
sin sin (2α－)
＝×＋×＝.
又<α<β<，
所以0<2β－2α<，
所以2β－2α＝.