5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
　一、选择题(每小题5分，共20分)
1.＝(　　)
A．－1 B．－ C． D．1
2．若sin α＝，tan (α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为(　　)
A． B．－ C．7 D．
3．若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于(　　)
A． B．2 C．1＋ D．不确定
4．△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，则△ABC为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知tan ＝，则tan α＝________．
6．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知tan ＝2，tan β＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan (α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
2．(多选题)已知cos α＝－，则tan 的值不可能是(　　)
A．－ B．－7 C． D．7
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α－β＝________．
4．(tan 10°－)·＝________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．
6．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
　一、选择题(每小题5分，共20分)
1.＝(　　)
A．－1 B．－ C． D．1
分析选A.原式＝
＝
＝tan(30°－75°)
＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.
2．若sin α＝，tan (α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为(　　)
A． B．－ C．7 D．
分析选C.由sin α＝，且α是第二象限角，可得cos α＝－，则tan α＝－，
所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝7.
3．若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于(　　)
A． B．2 C．1＋ D．不确定
分析选B.因为α＋β＝π，
所以tan (α＋β)＝＝－1，
所以tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，
所以(1－tan α)(1－tan β)
＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β
＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝2.
4．△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，则△ABC为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
分析选C.依题意
所以tan A>0，tan B>0，又A，B，C∈(0，π)，
所以A∈，B∈，
又tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)
＝－＝－＝－6<0.
所以C∈，
所以△ABC为钝角三角形．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知tan ＝，则tan α＝________．
分析tan ＝tan ＝.
方法一：＝，解得tan α＝.
方法二：tan α＝tan ＝＝＝.
答案：
6．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值是________．
分析因为tan 60°＝tan(20°＋40°)
＝，
所以(1－tan 20°tan 40°)＝tan 20°＋tan 40°，
所以原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知tan ＝2，tan β＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
分析(1)因为tan ＝2，
所以＝2，
所以＝2，解得tan α＝.
(2)原式＝
＝＝
＝tan (β－α)＝＝＝.
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan (α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
分析由条件得cos α＝，cos β＝，
因为α，β为锐角，所以sin α＝＝，sinβ＝＝，
因此tanα＝7，tan β＝.
(1)tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2)因为tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又因为α，β为锐角，
所以0＜α＋2β＜，
所以α＋2β＝.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
分析选B.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)
＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°，①
又tan 45°＝tan(17°＋28°)＝，
所以①式＝1＋(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝2；
同理(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝2.所以原式＝4.
2．(多选题)已知cos α＝－，则tan 的值不可能是(　　)
A．－ B．－7 C． D．7
分析选AB.因为cos α＝－，
所以sin α＝±＝±，
所以tanα＝±，
当tan α＝时，
tan ＝＝；
当tan α＝－时，tan ＝＝7.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α－β＝________．
分析＝＝－7.
因为tan (α－β)＝＝－1，
又0°<α<90°，90°<β<180°，
所以－180°<α－β<0°，
所以α－β＝－45°.
答案：－7　－45°
4．(tan 10°－)·＝________．
分析原式＝(tan 10°－tan 60°)·＝·
＝·
＝－·＝－＝－2.
答案：－2
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．
分析由tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝＝－，
而0°由tan C＝tan [π－(A＋B)]＝＝＝，
而0°所以B＝30°，
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
6．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
分析假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，
(2)tan tan β＝2－同时成立．
由(1)得＋β＝，
所以tan ＝＝.
又tan tan β＝2－，
所以tan ＋tan β＝3－，
因此tan ，tan β可以看成方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
设方程的两根为x1，x2，
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，
所以tan ＝2－，tan β＝1，
所以α＝，β＝，
所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.