5.6函数y＝A sin (ωx＋φ)(二)（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

函数y＝A sin (ωx＋φ)(二)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A.2，－　 B．2，－
C．4，－　 D．4，
2．将函数f(x)＝sin (2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以
是(　　)
A． B．　 C．　 D．
3．若函数f(x)＝sin －1(ω>0)的周期为，则函数f(x)的图象的对称轴方程为(　　)
A．x＝kπ＋(k∈Z)　 B．x＝kπ－(k∈Z)
C．x＝＋(k∈Z)　 D．x＝－(k∈Z)
4．函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A.[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z)
B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z)
C．[－1＋4k，1＋4k](k∈Z)
D．[－3＋8k，1＋8k](k∈Z)
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________．
6．设函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的图象过点；
②f(x)在上是减函数；
③f(x)的一个对称中心是；
④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sin ωx的图象．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．画出函数f(x)＝sin 在区间[0，π]上的图象．
8．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋A sin (ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　)
A．y＝12＋3sin t，t∈[0，24]
B．y＝12＋3sin ，t∈[0，24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0，24]
D．y＝12＋3sin ，t∈[0，24]
2．(多选题)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)在上单调递减
B．函数f(x)的最小正周期是π
C．函数f(x)的图象向左平移个单位后关于直线x＝对称
D．若圆半径为，则函数f(x)的解析式为f(x)＝sin
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知函数y＝2sin (ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________，φ＝________．
4．设偶函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则 f 的值为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝2sin (其中0<ω<1)，若点是函数f(x)的图象的一个对称中心．
(1)求ω的值，并求出函数f(x)的单调递增区间；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．
6．已知函数f(x)＝A sin (2x＋φ)－(A>0，0<φ<)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立，求实数m的取值范围．
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A.2，－　 B．2，－
C．4，－　 D．4，
分析选A.因为T＝＋＝＝，所以T＝π，所以＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ)，所以2×＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
又－<φ<，所以φ＝－.
2．将函数f(x)＝sin (2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以
是(　　)
A． B．　 C．　 D．
分析选B.因为P在f(x)的图象上，
所以f(0)＝sin θ＝.因为θ∈，
所以θ＝，
所以 f (x)＝sin .
所以g(x)＝sin .
因为g(0)＝，所以sin ＝.
验证φ＝π时，sin ＝sin
＝sin ＝成立．
3．若函数f(x)＝sin －1(ω>0)的周期为，则函数f(x)的图象的对称轴方程为(　　)
A．x＝kπ＋(k∈Z)　 B．x＝kπ－(k∈Z)
C．x＝＋(k∈Z)　 D．x＝－(k∈Z)
分析选C.由函数y＝sin －1的周期为，知＝，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.
4．函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A.[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z)
B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z)
C．[－1＋4k，1＋4k](k∈Z)
D．[－3＋8k，1＋8k](k∈Z)
分析选D.由题图知，T＝4×(3－1)＝8，
所以ω＝＝，所以f(x)＝sin .
把(1，1)代入，得sin ＝1，
即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，
所以φ＝，所以f(x)＝sin .
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得8k－3≤x≤8k＋1(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[8k－3，8k＋1](k∈Z).
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________．
分析由题意得＝2π－π，
所以T＝π，ω＝.
又由x＝π时，y＝－1得－1＝sin ，
－<π＋φ≤π，
所以π＋φ＝π，所以φ＝π.
答案：π
6．设函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的图象过点；
②f(x)在上是减函数；
③f(x)的一个对称中心是；
④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sin ωx的图象．
分析因为周期为π，所以＝π?ω＝2，
所以f(x)＝3sin (2x＋φ)， f ＝3sin ，
则sin ＝1或－1.
又φ∈，＋φ∈，
所以＋φ＝?φ＝，
所以f(x)＝3sin .
①：令x＝0?f(x)＝，正确．
②：令2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z
?kπ＋即f(x)在上单调递减，而在上单调递增，错误．③：令x＝?f(x)＝3sin π＝0，正确．
④：应平移个单位长度，错误．
答案：①③
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．画出函数f(x)＝sin 在区间[0，π]上的图象．
分析列表，
2x－ － － 0
π
x 0



π
y － －1 0 1 0 －
描点、连线，
函数y＝f(x)在区间[0，π]上图象是：
8．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
分析(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，所以ω＝＝，
所以y＝100sin ＋800.又当t＝6时，y＝900，
所以900＝100sin ＋800，
所以sin (π＋φ)＝1，所以sin φ＝－1，取φ＝－，
所以y＝100sin ＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin ＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋A sin (ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　)
A．y＝12＋3sin t，t∈[0，24]
B．y＝12＋3sin ，t∈[0，24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0，24]
D．y＝12＋3sin ，t∈[0，24]
分析选A.根据题意及题表中的数据，水深的最大值近似为15，最小值近似为9，即k＋A＝15且k－A＝9，所以k＝12，A＝3.排除法：因为y＝f(t)可以近似看成y＝k＋A sin (ωt＋φ)的图象，所以由T＝12可排除C，D，将(3，15)代入，排除B.
2．(多选题)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)在上单调递减
B．函数f(x)的最小正周期是π
C．函数f(x)的图象向左平移个单位后关于直线x＝对称
D．若圆半径为，则函数f(x)的解析式为f(x)＝sin
分析选BCD.由图看的点C的横坐标为，所以f(x)的最小正周期T＝2＝π，故B正确；所以ω＝2，又 f ＝0，由五点作图法可得2·＋φ＝0，
所以φ＝，因此f(x)＝A sin ，
由x∈，可得2x＋∈，所以函数f(x)在上不单调，故A错误；
函数f(x)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝A sin ＝A cos 2x，
对称轴为2x＝kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z，故关于直线x＝对称，故C正确；
若圆半径为，则A＝，
所以A＝，函数f(x)解析式为f(x)＝sin .
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知函数y＝2sin (ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________，φ＝________．
分析由题意知，T＝2×＝π，
所以ω＝＝2；又因为当x＝时有最大值2.
f＝2sin ＝2sin ＝2，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且|φ|≤，所以φ＝.
答案：2　
4．设偶函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则 f 的值为________．
分析由题意知，点M到x轴的距离是，根据题意可设f(x)＝cos ωx，又由题图知·＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝cos πx，故f＝cos ＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝2sin (其中0<ω<1)，若点是函数f(x)的图象的一个对称中心．
(1)求ω的值，并求出函数f(x)的单调递增区间；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．
分析(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以－＋＝kπ(k∈Z)，ω＝－3k＋(k∈Z)，因为0<ω<1，所以当k＝0时，可得ω＝.
所以f(x)＝2sin .令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由(1)知，f(x)＝2sin ，x∈[－π，π]，
列表如下：
x＋ － － 0
π
x －π － －

π
f(x) －1 －2 0 2 0 －1
作出函数的部分图象如图所示：
6．已知函数f(x)＝A sin (2x＋φ)－(A>0，0<φ<)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立，求实数m的取值范围．
分析因为函数f(x)＝A sin (2x＋φ)－
的图象在y轴上的截距为1，
所以A sin φ－＝1，即A sin φ＝.
因为函数f(x)＝A sin (2x＋φ)－的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<，所以φ＝，所以A·sin ＝，
所以A＝，所以f(x)＝sin －.
当x∈时，2x＋∈，
所以当2x＋＝，
即x＝时，f(x)min＝－－＝－2.
令m2－3m≥－2，
解得m≥2或m≤1.
故实数m的取值范围为(－∞，1]∪[2，＋∞).