5.7三角函数的应用（练习题）- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word版含解析）

三角函数的应用
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．智能主动降噪耳机的工作原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音(如图).已知某噪音的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0<φ＜)的振幅为1，周期为2π，初相为0，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为(　　)
A.y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
2．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)
A．[0，5]　 B．[5，10]
C．[10，15] D．[15，20]
3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin (2t＋)，s2＝10cos 2t确定，则当t＝s时，s1与s2的大小关系是(　　)
A．s1＞s2　 B．s1＜s2
C．s1＝s2　 D．不能确定
4．稳定房价是我国近几年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．某市某房地产中介对本市一楼盘对今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10 000元　 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．振动量函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和，则它的运动周期为________，相位是________．
6．如图，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin ＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续________min.
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin 来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
8．如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上的点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
2．(多选题)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)
A.该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
4．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin ＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时达到最低油价，则ω的最小值为__________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：
时间 /时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
温度 /℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8
(1)作出这些数据的散点图；
(2)用一个三角函数来近似描述这些数据．
6．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．智能主动降噪耳机的工作原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音(如图).已知某噪音的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0<φ＜)的振幅为1，周期为2π，初相为0，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为(　　)
A.y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
分析选C.由某噪音的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0<φ＜)的振幅为1，周期为2π，初相为0，知声波曲线：y＝sin x，通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为y＝－sin x．
2．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)
A．[0，5]　 B．[5，10]
C．[10，15] D．[15，20]
分析选C.当10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，此时F(t)＝50＋4sin 是增函数，即车流量在增加．
3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin (2t＋)，s2＝10cos 2t确定，则当t＝s时，s1与s2的大小关系是(　　)
A．s1＞s2　 B．s1＜s2
C．s1＝s2　 D．不能确定
分析选C.当t＝时，s1＝5sin ＝5sin ＝－5，
当t＝时，s2＝10cos ＝10×＝－5，故s1＝s2.
4．稳定房价是我国近几年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．某市某房地产中介对本市一楼盘对今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10 000元　 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
分析选C.因为y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，
所以当x＝1时，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，
500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
所以ω可取，φ可取π，
即y＝500sin ＋9 500.
当x＝3时，y＝9 000.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．振动量函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和，则它的运动周期为________，相位是________．
分析因为频率f＝，所以T＝＝，所以ω＝＝3π，所以相位ωx＋φ＝3πx－π.
答案：　3πx－π
6．如图，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin ＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续________min.
分析40sin ＋50>70，
即cos t<－，从而<<，
4答案：4
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin 来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
分析(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220V，当100πt＋＝，即t＝s时第一次取得最大值．
8．如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上的点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？
分析(1)如图，建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为＝，又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，
所以z＝4sin ＋2.当t＝0时，z＝0，
得sin φ＝－，即φ＝－.故所求的函数表达式为z＝4sin ＋2.
(2)令z＝4sin ＋2＝6，
得sin ＝1.取t－＝，得t＝4.
故点P第一次到达最高点需要4 s．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
分析选C.令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，
得l＝θ，sin ＝，所以d＝2sin ＝2sin .
即d＝f(l)＝2sin (0≤l≤2π)，它的图象为C.
2．(多选题)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)
A.该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
分析选ABD.由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8 s；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
分析由已知得＝1，
所以＝2π，＝4π2，
l＝ cm.
答案：
4．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin ＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时达到最低油价，则ω的最小值为__________．
分析因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin ＋60，最高油价80美元，
所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin ＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，
得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝.
故ω的最小值为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：
时间 /时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
温度 /℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8
(1)作出这些数据的散点图；
(2)用一个三角函数来近似描述这些数据．
分析(1)散点图如图所示，
(2)设t时的体温y＝A sin (ωt＋φ)＋c，
由表知ymax＝37.4，ymin＝36.6，
则c＝＝37，A＝＝0.4，
ω＝＝＝.
由0.4sin ＋37＝37.4
得sin ＝1，
即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以φ＝2kπ－，k∈Z，取φ＝－，
故可用函数y＝0.4sin ＋37来近似描述这些数据．
6．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
分析(1)设该函数为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，
所以f(8)＝500.根据上述分析可得，＝12，
故ω＝，且解得
根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，
当x＝8时，f(x)最大，
故sin ＝－1，且sin ＝1.
又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin ＋300.
(2)由条件可知，200sin ＋300≥400，
化简，得sin ≥?2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．