6.4.2三角形的面积公式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步课堂训练（word含答案）

12014200108839002020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第六章 平面向量及其应用
6.4.2三角形的面积公式
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课堂小练
1.据记载，欧拉公式 eiθ=cosθ+sinθ?i （ θ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”，特别是当 θ=π 时，得到一令人着迷的优美恒等式 eiπ=?1 ，将数学中五个重要的数（自然数的底e，圆周率 π ，虚数单位i，自然数的单位1和零元0）联系到一起，很多数学家评价它是“最完美的数学公式”，根据欧拉公式，在复平面内，若复数 z=eiπ2 对应的点为 z ，将向量 OZ 绕原点 O 按逆时针方向旋转 π6 ，所得向量对应的复数是（??? ）
A.??12+32i????????????????????B.??32+12i????????????????????C.??12?32i????????????????????D.??32?12i
2.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积V，求这个球的直径d的近似公式，即 d≈3169V .随着人们对圆周率π值的认知越来越精确，还总结出了其他类似的近似公式.若取 π=3.14 ，试判断下列近似公式中最精确的一个是(??? )
A.?d≈32V?????????????????????B.?d≈3169V?????????????????????C.?d≈32011V?????????????????????D.?d≈32111V
3.一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（? ）（参考公式：球的表面积公式为 S=4πR2 ，其中R是球的半径）
A.?3π????????????????????????????????????????B.?4π????????????????????????????????????????C.?8π????????????????????????????????????????D.?12π
4.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积 V≈136L2? 的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式 V≈3112L2? 相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（??? ）
A.?227????????????????????????????????????B.?15750????????????????????????????????????C.?289????????????????????????????????????D.?337115
5.欧拉公式 eix=cosx+isinx （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当 x=π 时， Sn+Sn?Sn?1=2Sn?Sn?1=1n+1?(1n?1n+1)=2n+1?1n 被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知， e2i 表示的复数在复平面中位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
6.《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S= 14[c2a2?(c2+a2?b22)2] ．现有周长为4+ 10 的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（ 2 ﹣1）： 5 ：
（ 2 +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（?? ）
A.?34??????????????????????????????????????B.?54??????????????????????????????????????C.?32??????????????????????????????????????D.?52
7.古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即 V=kD3 ，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式 V=kD3 中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”，类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式 V=kD3 求体积（在正四面体中，D表示正四面体的棱长；在正方体中，D表示棱长），假设运用此体积公式求得球（直径为a）、正四面体（正四面体棱长为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为 k1 ， k2 ， k3 ，那么 k1:k2:k3 的值为（??? ）
A.?π:2:12????????????????????????B.?2π:2:12????????????????????????C.?π:2:6????????????????????????D.?π:22:12
8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 ? ，计算其体积 V 的近似公式 v≈136L2?. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为3.那么近似公式 v≈275L2? 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为（???? ）
A.?227???????????????????????????????????B.?258???????????????????????????????????C.?15750???????????????????????????????????D.?355113
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针对训练
9.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式 eix=cosx+isinx （ i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”.根据此公式， e4π3i 在复平面内对应的点位于第________象限， |eix?2| 的最大值为________.
10.欧拉在1748年给出的著名公式 eiθ=cosθ+isinθ (欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中,底数 e ＝2.71828…，根据欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ ，任何一个复数 z=r(cosθ+isinθ) ，都可以表示成 z=reiθ 的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数 z1=2eiπ3,z2=eiπ2 ，则复数 z=z1z2 在复平面内对应的点在第________象限．
11.古希腊数学家海伦著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边分别为 a、b、c ，则其面积 s=p(p?a)(p?b)(p?c) ，这里 p=a+b+c2 ，已知在 △ABC 中， BC=8 ， AB=3AC .
（1）设 AC=x ，试将三角形的面积s表示成 x 的函数；
（2）求s的最大值，并求三角形面积最大时 sinA 的值.
12.在 △ABC 中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，且满足 c2=(a?b)2+6 ，记此三角形的面积为S.
（1）若 C=2π3 ，求S的值；
（2）若 S=332 ，求 sinAsinB 的取值范围.
-10096594615答案解析
答案解析
1.【答案】 A
2.【答案】 D
3.【答案】 D
4.【答案】 C
5.【答案】 B
6.【答案】 C
7.【答案】 B
8.【答案】 B
9.【答案】 三；3
10.【答案】 四
11.【答案】 （1）解：设 AC=x ， AB=3AC=3x ，
所以 s=8+4x2?4x?82?8+2x2?8?2x2 =2(2+x)(x?2)(4+x)(4?x) （ 2（2）解：由（1）得， s=2(2+x)(x?2)(4+x)(4?x)=2(x2?4)(16?x2) =2?x4+20x2?64=2?(x2?10)2+36 ，
当 x2=10 即 x=10 时，s取得最大值12，
此时 AC=10 ， AB=310 ， BC=8 ，由余弦定理得： cosA=102+(310)2?822?10?310=35 ，
所以 sinA=1?cos2A=45 .
12.【答案】 （1）解：由余弦定理和已知条件得： c2=a2+b2?2ab+6=a2+b2?2abcosC ，
从而有 ab(1?cosC)=3 ，①
若 C=2π3 时得 ab=2 ，则 S=12absinC=32 ；
（2）解：若 S=12absinC=332 ②
联立①②得 1?cosCsinC=13 ，
整理得： sinC+3cosC=2sin(C+π3)=3 ，即 sin(C+π3)=32 ，
又 0则 sinAsinB=sinA?sin(2π3?A)=sinA?(32cosA+12sinA)
=34sin2A+12×1?cos2A2=12sin(2A?π6)+14 ，
∵ 0从而可得 sinAsinB 的取值范围为 (0,34] .