人教版八上高分笔记之导与练12.2.4用HL判断三角形全等（原卷+答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
12.2全等三角形的判定
用HL判定两个直角三角形全等
知识要点：
斜边和??
??分别相等的两个直角三角形全等，简写成?
??或??
2．两直角边对应相等的两个直角三角形?
依据是??
3．有一锐角和一直角边或斜边对应相等的两个直角三角形??
??，依据是??
或?
?
易错点睛：
如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，BE＝CF，求证：ΔABF≌ΔDCE.
【点睛】①误把BE＝CF看作两三角形对应边；②误把HL用作SAS.
典型例题：
题型一
用”HL”判定两个直角三角形全等
例1
如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，点E在BC的延长，且AE＝BD，BD的延长线与AE相交于点F.试猜想BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由.
变式练习：
1、如图，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
题型二
用其他方法判定两个直角三角形全等
如图，在ΔABC中，AD为边BC上的中线，分别过点C，B作直线AD的垂线，垂足分别为E，F.求证：BF＝CE.
知识点睛
对于证明两个直角三角形全等，一般三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”同样适用，要根据所给条件灵活选用适当的方法.
变式练习：
［教材P42例5变式题］如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F.求证：CE＝DF.
2、如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点0，且AB＝AC，连接AO．
（1）图中共有几对全等三角形？请一一列出．
（2）请选择一对全等三角形进行证明．
题型三
图形变换中全等三角形的探究题
例3、已知点A，E，F，C在一条直线上，且AE＝CF，过点E，F分别作?DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝CD.
（1）如图①，若EF与BD相交于点G，则EG与FG相等吗？请说明理由.
（2）如果将图①中ΔDEC的边EC沿AC方向移动至如图②所示的位置，其余条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
技巧点拨
类比、探究类问题的主要特征是图形结构类似或问法类似，此类题往往需要：①找特征（中点、特殊角等）；②找上一问中的全等三角形在下一问中是否依然存
在；③借助小题之间的联系，寻找条件和思路时，可照搬上一问的解题方法和思路.
变式练习：
如图①，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C位于直线AE的异侧，BD1AE于点D，CELAE于点E.
（1）求证：BD＝DE＋CE．
（2）若直线AE绕点A旋转到如图②所示的位置（BD＜CE），点B，C在直线AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE，CE有何数量关系？请予以证明.
（3）若直线AE绕点A旋转到如图③所示的位置（BD＞CE），点B，C在直线AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE，CE有何数量关系？请直接写出结果，不需证明。
基础练习：
如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，AC＝AE，且∠CDA＝55°，则∠B的度数为??
2、如图，AC⊥AB，BD⊥CD，请添加一个条件，使ΔABC≌ΔDCB．?；
（1）添加??
??，根据是（AAS）；???
添加_____
__,根据是（AAS）
添加??
?，根据是（HL）；
添加?
，根据是（HL）.
第1题
第2题
第3题
如图，MN//PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝
．
4、如图，BD，CE是ΔABC的高，且BE＝CD．求证：AE＝AD．
5、【教材变式】如图，在ΔABC中，D是AB的中点，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，且DM＝DN．
（1）求证：AM＝BN；
（2）求证：AC＝BC．
综合探究
6、（1）【问题背景】如图1，已知∠ADB＝∠AEC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．求证：EC＝DB；
（2）【尝试应用】如图2，已知点A（2,2），点C在x轴正半轴上，点B在y轴的负半轴上，AB＝AC．求OC-OB的值；
（3）【拓展创新】如图3，已知A（t，t），点D在x轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，且∠ADB＝∠ADx，直接写出OD＋BD-OB的值为??
?（用含t的式子表示）.
答案：
知识要点：
斜边和??一条直角边??分别相等的两个直角三角形全等，简写成?斜边、直角边??或??HL
2．两直角边对应相等的两个直角三角形?全等依据是??SAS
3．有一锐角和一直角边或斜边对应相等的两个直角三角形??全等??，依据是??AAS?或??ASA
易错点睛：
如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，BE＝CF，求证：ΔABF≌ΔDCE.
【点睛】①误把BE＝CF看作两三角形对应边；②误把HL用作SAS.
证明略.
典型例题：
题型一
用”HL”判定两个直角三角形全等
例1
如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，点E在BC的延长，且AE＝BD，BD的延长线与AE相交于点F.试猜想BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由.
解：猜想：BF⊥AE.理由：
∵∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ACE=90°.
RtΔBDC≌RtΔAEC(HL)∴∠CBD=∠CAE.
∵∠CAE+∠E=90°,∴∠EBF+∠E=90°.
∴∠BFE=180°-∠EBF-∠E=180°-90°=90°,
∴BF⊥AE.
变式练习：
1、如图，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，
∴∠ADC＝∠AFE＝90°．
在RtΔADC和RtΔAFE中，
AC=AE,?AD=AF,
∴RtΔADC≌RtΔAFE(HL)∴CD=EF.
在RtΔABD和RtΔABF中，
AB=AB,?
AD=AF,
∴RtΔABD≌RtΔABF(HL)∴BD=BF.
∴BD-CD＝BF-EF，即BC＝BE.
题型二
用其他方法判定两个直角三角形全等
如图，在ΔABC中，AD为边BC上的中线，分别过点C，B作直线AD的
垂线，垂足分别为E，F.求证：BF＝CE.
证明：∵CE⊥AF，BF⊥AF，∴∠CED＝∠BFD＝90°．
∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD.
在ΔBFD和ΔCED中，∠BFD=∠CED,?∠BDF=∠CDE,BD=CD,
∴ΔBFD≌ΔCED(AAS)∴BF=CE.
知识点睛
对于证明两个直角三角形全等，一般三角形全等的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”同样适用，要根据所给条件灵活选用适当的方法.
变式练习：
［教材P42例5变式题］如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F.求证：CE＝DF.
证明：根据ΔBCE≌ΔADF?易证CE＝DF.（略）
2、如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点0，且AB＝AC，连接AO．
（1）图中共有几对全等三角形？请一一列出．
（2）请选择一对全等三角形进行证明．
解：（1）4对．分别是
ΔADC≌ΔAEB,?
ΔBOD≌ΔCOE,?
ΔADO≌ΔAEO,?
ΔAOB≌ΔAOC.?
（2）选证ΔADC≌ΔAEB．(略)
题型三
图形变换中全等三角形的探究题
例3、已知点A，E，F，C在一条直线上，且AE＝CF，过点E，F分别作?DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝CD.
（1）如图①，若EF与BD相交于点G，则EG与FG相等吗？请说明理由.
（2）如果将图①中ΔDEC的边EC沿AC方向移动至如图②所示的位置，其余条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
解：（1）EG＝FG．理由：
∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.?
∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°.?
在RtΔABF和RtΔCDE中，
AB=CD,?
AF=CE,?
∴RtΔABF≌RtΔCDE(HL)∴BF=DE.?
在ΔDEG和ΔBFG中，∠DGE=∠BGF,?∠DEG=∠BFG,?DE=BF,?
∴ΔDEG≌ΔBFG(AAS)∴EG=FG.?
（2）当ΔDEC的边EC沿AC方向移动至如图②所示的位置时，仍有EG＝FG.理由：
∵AE＝CF，∴AE-EF＝CF-EF，即AF＝CE.
同（1），可得EG＝FG．
技巧点拨
类比、探究类问题的主要特征是图形结构类似或问法类似，此类题往往需要：①找特征（中点、特殊角等）；②找上一问中的全等三角形在下一问中是否依然存
在；③借助小题之间的联系，寻找条件和思路时，可照搬上一问的解题方法和思路.
变式练习：
如图①，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C位于直线AE的异侧，BD1AE于点D，CELAE于点E.
（1）求证：BD＝DE＋CE．
（2）若直线AE绕点A旋转到如图②所示的位置（BD＜CE），点B，C在直线AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE，CE有何数量关系？请予以证明.
（3）若直线AE绕点A旋转到如图③所示的位置（BD＞CE），点B，C在直线AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE，CE有何数量关系？请直接写出结果，不需证明。
证明：∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°.∴∠ABD+∠BAD=90°.?
又∠BAC＝90°∴∠CAE＋∠BAD＝90°．
∴∠ABD=∠CAE.?
在ΔABD和ΔCAE中，∠ADB=∠CEA,?∠ABD=∠CAE,?AB=CA,
∴ΔABD≌ΔCAE(AAS)∴BD=AE,AD=CE.
∵AE=AD+DE,∴BD=DE+CE.
（2）解：BD＝DE-CE．证明如下
∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠ADB=∠AEC=90°.
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∠BAC＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝900
∴∠ABD=∠CAE.
在△ADB和△CEA中：∠ADB=∠CEA,
∠ABD=∠CAE,AB=CA
∴△ADB≌△CEA(AAS)∴BD=AE,AD=CE
∴BD=AE=DE-AAD=DE-CE
解：BD=DE-CE
基础练习：
如图，在ΔABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，AC＝AE，且∠CDA＝55°，则∠B的度数为??20
2、如图，AC⊥AB，BD⊥CD，请添加一个条件，使ΔABC≌ΔDCB．?；
（1）添加??∠ABC=∠DCB??，根据是（AAS）；???
添加_____∠ACB=∠DBC__,根据是（AAS）
添加??AB＝CD?，根据是（HL）；
添加??AC＝BD，根据是（HL）.
第1题
第2题
第3题
如图，MN//PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝7．
4、如图，BD，CE是ΔABC的高，且BE＝CD．求证：AE＝AD．
证明：∵BD．CE是ΔABC的高，
∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝∠CDB＝90°，
在RtΔBEC和RtΔCDB中，?BC=BC,?BE=CD,
∴RtΔBEC≌RtΔCDB(HL),?
∴.BD＝CE?
在ΔABD与ΔAEC中，∠AEC=∠ADB,∠A＝∠A，BD=CE,
∴ΔABD≌ΔACE(AAS)∴AD=AE.
5、【教材变式】如图，在ΔABC中，D是AB的中点，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，且DM＝DN．
（1）求证：AM＝BN；
（2）求证：AC＝BC．
证明：（1）连接CD，先证ΔDAM≌ΔDBN（HL），∴AM＝BN；
（2）再证ΔCDM≌ΔCDN（HL），∴CM＝CN，∴AC＝BC．
综合探究
6、（1）【问题背景】如图1，已知∠ADB＝∠AEC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．求证：EC＝DB；
（2）【尝试应用】如图2，已知点A（2,2），点C在x轴正半轴上，点B在y轴的负半轴上，AB＝AC．求OC-OB的值；
（3）【拓展创新】如图3，已知A（t，t），点D在x轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，且∠ADB＝∠ADx，直接写出OD＋BD-OB的值为??2t?（用含t的式子表示）.
解：（1）在RtΔADB和RtΔAEC中，AB＝AC，AD＝AE，
∴RtΔADB≌RtΔAEC（HL），∴EC＝BD；
（2）过点A作AM⊥x轴于点M．AN⊥y轴于点N，
∵A（2.2），∴∠ANB＝∠AMC＝90°，AN＝AM＝2，
∵AB＝AC，由（1）知BN＝MC，∴OC-OB＝OM＋MC-（BN-ON）＝OM＋ON＝4；
（3）在OD延长线上截取DC＝DB，连接AC，
在ΔADB与ΔADC中．AD＝AD，∠ADC＝∠ADB．BD＝DC．∴ΔADB≌ΔADC．∴AB＝AC，由（2）知OC-OB＝20M＝21，
∴OD+DB-OB=OD+DC-OB=OC-OB=2t.?
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)