人教版八上高分笔记之导与练12.3.1角的平分线的性质（原卷+答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八上高分笔记之导与练12.3.1角的平分线的性质（原卷+答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-09 21:59:46 | ||
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文档简介
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12.3角的平分线的性质
角的平分线的性质
知识要点：
角的平分线上的点到角的两边的??
?相等.
2．三角形三条??
??的交点到三边的距离相等.
3．如图，根据角平分线的性质填空：
∵∠1=∠2,AD⊥CD,AB⊥BC,∴
=
?
(2)∵∠3=∠4,CD⊥AD,CB⊥AB,∴??
??=??
?
易错点睛：
如图，AD平分∠EAF，过点D作BCLAD，分别交AE，AF于点B，C.求证：BD=DC.
证明：∵AD平分∠EAF，BD⊥AD,CD⊥AD,
∴BD=CD.?
请指出上述证明过程中的错误之处.
【点睛】?误把BD，CD当作点D到AE，AF两边的距离而出错。
典型例题：
题型一
与角的平分线有关的尺规作图
例1、如图①，在ΔABC中，∠B＝∠C，D是BA延长线上一点，E是AC的中点.
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母.（不写作法，保留作图痕迹）
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F.
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由，
技巧点拨：两条线段之间的关系有位置关系和数量关系两种.位置关系包括垂直、平行等，数量关系包括相等、和差倍分等.当题目条件中的等线段、等角较多时，可考虑利用全等三角形进行证明.
变式练习：
已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧在ZAOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料回答下列问题.
这种作已知角的平分线的方法的依据是?
.（填序号）
①“SSS”?②“SAS”?③“AAS”?④“ASA”
（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．
2、如图，AB//CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点M.
（1）若∠ACD＝135°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：ΔACN≌ΔMCN.?
题型二??角的平分线的性质的应用
1．利用角的平分线的性质求线段长度
例2、如图，在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点?E.若ΔBDE的周长是4cm，求AB的长．
解题策略：已知三角形的周长求某条线段的长时，若没有其他条件可得线段长度，则考虑进行转化，将三角形三边的长转化为一条线段的长.
变式练习：
1、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，
BD，使BE＝BD；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在LCBA的内部相交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（
)
A.无法确定
B.
C.1???????????D.2?
2、如图，AB//CD，0为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，过点0作OE⊥AC于点E，OG⊥CD于点G，延长GO交AB于点F.若OE＝2，则FG的长为
．
第1题
第2题
利用角的平分线的性质面积
例3、如图，已知ΔABC的周长是20，B0，CO分别平分∠ABC?和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则ΔABC的面积是（?
)
A.20
B.25
C.30
D.35
解题策略:通过巧作辅助线，利用角的平分线的性质得出3个三角形等高，运用转化思想和整体思想将ΔABC的面积问题转化为与ΔABC的周长相关的计算问题.
变式练习：
如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（
?)
A.24
B.30
C.36
D.42
第1题
第2题
2、如图，AD是ΔABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，ΔADG和ΔAED的面积分别为50和38，则ΔDEF的面积为(
)??
A.8
B.12
C.4
D.6
利用角的平分线的性质进行证明
例4、如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.求证：∠PCB＋∠BAP=180°.?
变式练习：
如图，0D平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN.?
2、如图，已知BF平分ΔABC的外角∠ABE，D为射线BF上一动点，AB与CD交于点P.若DA＝DC，求证：∠ABC＝∠ADC.
基础练习：
ΔABC的三边AB,BC,AC分别是6:4:4，点P为ΔABC三条角平分线的交点，则ΔABP,ΔBCP,ΔACP的面积比是??
2、如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CB＝6,1是三条角平分线的交点，ID⊥BC于点D，则ID的长是___
__
第1题
第2题
第3题
3、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M.N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3．AB＝10，则ΔABD的面积是??
4、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF．求证：CB＝CD.
5、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB//CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
（1）求证：AM⊥DM；
（2）求证：M为BC的中点．
综合题探究
6、（1）【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知BD、CD的数量关系为：?
（2）【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD=90°（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明。
（3）【应用】如图③，在四边形ABDC中，BD=CD,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD=90°，DE⊥AB，垂足为E．试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由.
答案：
知识要点：
1.角的平分线上的点到角的两边的??距离??相等.
2．三角形三条??角平分线??的交点到三边的距离相等.
3．如图，根据角平分线的性质填空：
∵∠1=∠2,AD⊥CD,AB⊥BC,∴
AD
=
AB
?
(2)∵∠3=∠4,CD⊥AD,CB⊥AB,∴??CD??=??CB?
易错点睛：
如图，AD平分∠EAF，过点D作BCLAD，分别交AE，AF于点B，C.求证：BD=DC.
证明：∵AD平分∠EAF，BD⊥AD,CD⊥AD,
∴BD=CD.?
请指出上述证明过程中的错误之处.
【点睛】?误把BD，CD当作点D到AE，AF两边的距离而出错。
典型例题：
题型一
与角的平分线有关的尺规作图
例1、如图①，在ΔABC中，∠B＝∠C，D是BA延长线上一点，E是AC的中点.
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母.（不写作法，保留作图痕迹）
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F.
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由，
解：（1）如图②．
（2）AF//BC，AF＝BC．理由：
∵∠ABC=∠C,∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.?
由作图可知∠DAC＝2∠FAC，
∴∠C=∠FAC∴AF//BC.
∵E是AC的中点，∴AE＝CE.
在ΔAEF和ΔCEB中，∠FAE=∠C,AE=CE,∠AEF=∠CEB,?
∴ΔAEF≌ΔCEB(ASA)∴AF=BC.
技巧点拨：两条线段之间的关系有位置关系和数量关系两种.位置关系包括垂直、平行等，数量关系包括相等、和差倍分等.当题目条件中的等线段、等角较多时，可考虑利用全等三角形进行证明.
变式练习：
已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧在ZAOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料回答下列问题.
这种作已知角的平分线的方法的依据是?①.（填序号）
①“SSS”?②“SAS”?③“AAS”?④“ASA”
（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．
解：由作图可知OM＝ON，MC=NC.
在ΔOMC?和ΔONC中，
OM=ON,
OC=0C,
MC=NC,
∴ΔOMC≌ΔONC(SSS),∴∠MOC=∠NOC,
∴OC为∠AOB的平分线.
2、如图，AB//CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点M.
（1）若∠ACD＝135°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：ΔACN≌ΔMCN.?
（1）解：∵AB//CD，
∴∠ACD+∠CAB=?180°?
又∠ACD＝135°，
∴∠CAB=45°.
由作图可知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=∠CAB=x45°=22.5°.
（2）证明：AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠MAB．
∵AB//CD,∴∠MAB=∠CMA.∴∠CAM=∠CMA∴CN⊥AM,
∴∠ANC=∠MNC=90°.?
在ΔACN和ΔMCN中，?∠CAN=∠CMN,∠ANC=∠MNC,CN=CN,?
∴ΔACN≌ΔMCN(AAS).
题型二??角的平分线的性质的应用
1．利用角的平分线的性质求线段长度
例2、如图，在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点?E.若ΔBDE的周长是4cm，求AB的长．
解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴∠C=∠DEA=90°,DC=DE.
在RtΔACD和RtΔAED中，
AD=AD,?
DC=DE,?
∴RtΔACD≌RtΔAED(HL).∴AC=AE.?
又AC＝BC，∴AE＝BC．∵ΔBDE的周长是4cm，
∴BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=?AB＝4cm，即AB＝4?cm．?
解题策略：已知三角形的周长求某条线段的长时，若没有其他条件可得线段长度，则考虑进行转化，将三角形三边的长转化为一条线段的长.
变式练习：
1、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，
BD，使BE＝BD；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在LCBA的内部相交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（
C?
)
A.无法确定
B.
C.1???????????D.2?
2、如图，AB//CD，0为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，过点0作OE⊥AC于点E，OG⊥CD于点G，延长GO交AB于点F.若OE＝2，则FG的长为4．
第1题
第2题
利用角的平分线的性质面积
例3、如图，已知ΔABC的周长是20，B0，CO分别平分∠ABC?和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则ΔABC的面积是（?)
A.20
B.25
C.30
D.35
解析：如图，连接OA，过点0分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F..
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OF＝OD＝3．
∵ΔABC的周长是20，即AB＋BC＋AC＝20，
∴SΔABC?=SΔAOB+S△BOC+S△AOC
=AB·OE+BC·0D+AC·OF
=0D·(AB+BC+AC)=x3x20=30.
答案：C
解题策略:通过巧作辅助线，利用角的平分线的性质得出3个三角形等高，运用转化思想和整体思想将ΔABC的面积问题转化为与ΔABC的周长相关的计算问题.
变式练习：
如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（
B?)
A.24
B.30
C.36
D.42
第1题
第2题
2、如图，AD是ΔABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，ΔADG和ΔAED的面积分别为50和38，则ΔDEF的面积为(
D
)??
A.8
B.12
C.4
D.6
利用角的平分线的性质进行证明
例4、如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.求证：∠PCB＋∠BAP=180°.?
证明：如图，过点P作PE⊥BA的延长线于点E.
∵∠1=∠2,PF⊥BC∴PE=PF.?
在RtΔAPE和RtΔCPF中，PA=PC,?PE=PF,?
∴RtΔAPE≌RtΔCPF(HL).
∴∠PAE=∠PCF.
∵∠PAE+∠BAP=180°,∴∠PCB+∠BAP=180°
解题策略：
上图中，∠1＝∠2，AP＝PC，∠PCB＋∠BAP＝180°，BF＝（AB＋BC）这四个条件可知二推二.
变式练习：
如图，0D平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN.?
证明：∵OD平分∠EOF，
∴∠BOD=∠AOD.
在ΔBOD和ΔAOD?中：
OB=OA,?∠BOD=∠AOD,OD=0D,?
∴ΔBOD≌ΔAOD(SAS).?
∴∠BDO＝∠ADO，即DO平分∠BDA.?
又P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN.?
2、如图，已知BF平分ΔABC的外角∠ABE，D为射线BF上一动点，AB与CD交于点P.若DA＝DC，求证：∠ABC＝∠ADC.
证明：如图，过点D分别作DM⊥BE于点M，DN⊥AB于点N.
又BF平分∠ABE，
∴DM=DN.
在RtΔCDM和RtΔADN中，
DC=DA,
DM=DN,
∴RtΔCDM≌RtΔADN(HL).
∴∠DCM=∠DAN.
∴∠DPB=∠ABC+∠DCM,∠APC=∠ADC+∠DAN，且∠DPB＝∠APC，
∴∠ABC＝∠ADC.
基础练习：
ΔABC的三边AB,BC,AC分别是6:4:4，点P为ΔABC三条角平分线的交点，则ΔABP,ΔBCP,ΔACP的面积比是??3:2:2
2、如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CB＝6,1是三条角平分线的交点，ID⊥BC于点D，则ID的长是___2__
第1题
第2题
第3题
3、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M.N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3．AB＝10，则ΔABD的面积是??15
4、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF．求证：CB＝CD.
证明：连接AC，在ΔAEC和ΔAFC中，AE=AF,CE=CF.AC=AC
ΔAEC≌ΔAFC（SSS）
∴∠CAE=∠CAF
∵∠B=∠D=900
∴CB=CD
5、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB//CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
（1）求证：AM⊥DM；（2）求证：M为BC的中点．
证明：（1）∵AB//CD．
∴∠BAD＋∠ADC＝180°．
∵AM平分∠BAD．DM平分／ADC，
∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°．
∴∠MAD＋∠ADM＝90°,∴∠AMD＝90°，即AM＿DM；??
过点M作MNLAD交AD于点N，
∵∠B＝90°，AB//CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD.DM平分∠ADC，
∴BM＝MN.MN＝CM·∵BM＝CM，即M为BC的中点.
综合题探究
6、（1）【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知BD、CD的数量关系为：?BD=CD
（2）【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD=90°（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明。
（3）【应用】如图③，在四边形ABDC中，BD=CD,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD=90°?
DE⊥AB，垂足为E．试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由.
解：（2）结论仍然成立，理由：如图②，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC
的延长线于点E
∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF.
∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,?
∵∠ABD=∠FCD.?
在ΔDEB和ΔDFC中，∠EBD=∠FCD,∠DEB=∠F=90°,?DE=DF,?
∴ΔDEB≌ΔDFC(AAS),∴BD=CD.
（3）AB＝AC＋2BE．理由：如图③，过点D作DF⊥AC的延长线于点F，连接AD.
∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°.?
∴∠ABD=∠FCD.?
在ΔDEB和ΔDFC中?∠EBD=∠FCD,∠DEB=∠F=90°,?BD=CD,?
∴ΔDEB≌ΔDFC（AAS），
∴DE=DF.BE=CF.
在RtΔADF和RtΔADE中
AD=AD,
DF=DE,
RtΔADF≌RtΔADE(HL),
∴AF=AE,
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE.
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12.3角的平分线的性质
角的平分线的性质
知识要点：
角的平分线上的点到角的两边的??
?相等.
2．三角形三条??
??的交点到三边的距离相等.
3．如图，根据角平分线的性质填空：
∵∠1=∠2,AD⊥CD,AB⊥BC,∴
=
?
(2)∵∠3=∠4,CD⊥AD,CB⊥AB,∴??
??=??
?
易错点睛：
如图，AD平分∠EAF，过点D作BCLAD，分别交AE，AF于点B，C.求证：BD=DC.
证明：∵AD平分∠EAF，BD⊥AD,CD⊥AD,
∴BD=CD.?
请指出上述证明过程中的错误之处.
【点睛】?误把BD，CD当作点D到AE，AF两边的距离而出错。
典型例题：
题型一
与角的平分线有关的尺规作图
例1、如图①，在ΔABC中，∠B＝∠C，D是BA延长线上一点，E是AC的中点.
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母.（不写作法，保留作图痕迹）
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F.
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由，
技巧点拨：两条线段之间的关系有位置关系和数量关系两种.位置关系包括垂直、平行等，数量关系包括相等、和差倍分等.当题目条件中的等线段、等角较多时，可考虑利用全等三角形进行证明.
变式练习：
已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧在ZAOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料回答下列问题.
这种作已知角的平分线的方法的依据是?
.（填序号）
①“SSS”?②“SAS”?③“AAS”?④“ASA”
（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．
2、如图，AB//CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点M.
（1）若∠ACD＝135°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：ΔACN≌ΔMCN.?
题型二??角的平分线的性质的应用
1．利用角的平分线的性质求线段长度
例2、如图，在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点?E.若ΔBDE的周长是4cm，求AB的长．
解题策略：已知三角形的周长求某条线段的长时，若没有其他条件可得线段长度，则考虑进行转化，将三角形三边的长转化为一条线段的长.
变式练习：
1、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，
BD，使BE＝BD；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在LCBA的内部相交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（
)
A.无法确定
B.
C.1???????????D.2?
2、如图，AB//CD，0为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，过点0作OE⊥AC于点E，OG⊥CD于点G，延长GO交AB于点F.若OE＝2，则FG的长为
．
第1题
第2题
利用角的平分线的性质面积
例3、如图，已知ΔABC的周长是20，B0，CO分别平分∠ABC?和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则ΔABC的面积是（?
)
A.20
B.25
C.30
D.35
解题策略:通过巧作辅助线，利用角的平分线的性质得出3个三角形等高，运用转化思想和整体思想将ΔABC的面积问题转化为与ΔABC的周长相关的计算问题.
变式练习：
如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（
?)
A.24
B.30
C.36
D.42
第1题
第2题
2、如图，AD是ΔABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，ΔADG和ΔAED的面积分别为50和38，则ΔDEF的面积为(
)??
A.8
B.12
C.4
D.6
利用角的平分线的性质进行证明
例4、如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.求证：∠PCB＋∠BAP=180°.?
变式练习：
如图，0D平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN.?
2、如图，已知BF平分ΔABC的外角∠ABE，D为射线BF上一动点，AB与CD交于点P.若DA＝DC，求证：∠ABC＝∠ADC.
基础练习：
ΔABC的三边AB,BC,AC分别是6:4:4，点P为ΔABC三条角平分线的交点，则ΔABP,ΔBCP,ΔACP的面积比是??
2、如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CB＝6,1是三条角平分线的交点，ID⊥BC于点D，则ID的长是___
__
第1题
第2题
第3题
3、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M.N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3．AB＝10，则ΔABD的面积是??
4、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF．求证：CB＝CD.
5、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB//CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
（1）求证：AM⊥DM；
（2）求证：M为BC的中点．
综合题探究
6、（1）【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知BD、CD的数量关系为：?
（2）【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD=90°（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明。
（3）【应用】如图③，在四边形ABDC中，BD=CD,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD=90°，DE⊥AB，垂足为E．试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由.
答案：
知识要点：
1.角的平分线上的点到角的两边的??距离??相等.
2．三角形三条??角平分线??的交点到三边的距离相等.
3．如图，根据角平分线的性质填空：
∵∠1=∠2,AD⊥CD,AB⊥BC,∴
AD
=
AB
?
(2)∵∠3=∠4,CD⊥AD,CB⊥AB,∴??CD??=??CB?
易错点睛：
如图，AD平分∠EAF，过点D作BCLAD，分别交AE，AF于点B，C.求证：BD=DC.
证明：∵AD平分∠EAF，BD⊥AD,CD⊥AD,
∴BD=CD.?
请指出上述证明过程中的错误之处.
【点睛】?误把BD，CD当作点D到AE，AF两边的距离而出错。
典型例题：
题型一
与角的平分线有关的尺规作图
例1、如图①，在ΔABC中，∠B＝∠C，D是BA延长线上一点，E是AC的中点.
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母.（不写作法，保留作图痕迹）
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F.
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由，
解：（1）如图②．
（2）AF//BC，AF＝BC．理由：
∵∠ABC=∠C,∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.?
由作图可知∠DAC＝2∠FAC，
∴∠C=∠FAC∴AF//BC.
∵E是AC的中点，∴AE＝CE.
在ΔAEF和ΔCEB中，∠FAE=∠C,AE=CE,∠AEF=∠CEB,?
∴ΔAEF≌ΔCEB(ASA)∴AF=BC.
技巧点拨：两条线段之间的关系有位置关系和数量关系两种.位置关系包括垂直、平行等，数量关系包括相等、和差倍分等.当题目条件中的等线段、等角较多时，可考虑利用全等三角形进行证明.
变式练习：
已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧在ZAOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料回答下列问题.
这种作已知角的平分线的方法的依据是?①.（填序号）
①“SSS”?②“SAS”?③“AAS”?④“ASA”
（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．
解：由作图可知OM＝ON，MC=NC.
在ΔOMC?和ΔONC中，
OM=ON,
OC=0C,
MC=NC,
∴ΔOMC≌ΔONC(SSS),∴∠MOC=∠NOC,
∴OC为∠AOB的平分线.
2、如图，AB//CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点M.
（1）若∠ACD＝135°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：ΔACN≌ΔMCN.?
（1）解：∵AB//CD，
∴∠ACD+∠CAB=?180°?
又∠ACD＝135°，
∴∠CAB=45°.
由作图可知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=∠CAB=x45°=22.5°.
（2）证明：AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠MAB．
∵AB//CD,∴∠MAB=∠CMA.∴∠CAM=∠CMA∴CN⊥AM,
∴∠ANC=∠MNC=90°.?
在ΔACN和ΔMCN中，?∠CAN=∠CMN,∠ANC=∠MNC,CN=CN,?
∴ΔACN≌ΔMCN(AAS).
题型二??角的平分线的性质的应用
1．利用角的平分线的性质求线段长度
例2、如图，在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点?E.若ΔBDE的周长是4cm，求AB的长．
解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴∠C=∠DEA=90°,DC=DE.
在RtΔACD和RtΔAED中，
AD=AD,?
DC=DE,?
∴RtΔACD≌RtΔAED(HL).∴AC=AE.?
又AC＝BC，∴AE＝BC．∵ΔBDE的周长是4cm，
∴BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=?AB＝4cm，即AB＝4?cm．?
解题策略：已知三角形的周长求某条线段的长时，若没有其他条件可得线段长度，则考虑进行转化，将三角形三边的长转化为一条线段的长.
变式练习：
1、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，
BD，使BE＝BD；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在LCBA的内部相交于点F；作射线BF交AC于点G.若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（
C?
)
A.无法确定
B.
C.1???????????D.2?
2、如图，AB//CD，0为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，过点0作OE⊥AC于点E，OG⊥CD于点G，延长GO交AB于点F.若OE＝2，则FG的长为4．
第1题
第2题
利用角的平分线的性质面积
例3、如图，已知ΔABC的周长是20，B0，CO分别平分∠ABC?和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则ΔABC的面积是（?)
A.20
B.25
C.30
D.35
解析：如图，连接OA，过点0分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F..
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OF＝OD＝3．
∵ΔABC的周长是20，即AB＋BC＋AC＝20，
∴SΔABC?=SΔAOB+S△BOC+S△AOC
=AB·OE+BC·0D+AC·OF
=0D·(AB+BC+AC)=x3x20=30.
答案：C
解题策略:通过巧作辅助线，利用角的平分线的性质得出3个三角形等高，运用转化思想和整体思想将ΔABC的面积问题转化为与ΔABC的周长相关的计算问题.
变式练习：
如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（
B?)
A.24
B.30
C.36
D.42
第1题
第2题
2、如图，AD是ΔABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，ΔADG和ΔAED的面积分别为50和38，则ΔDEF的面积为(
D
)??
A.8
B.12
C.4
D.6
利用角的平分线的性质进行证明
例4、如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.求证：∠PCB＋∠BAP=180°.?
证明：如图，过点P作PE⊥BA的延长线于点E.
∵∠1=∠2,PF⊥BC∴PE=PF.?
在RtΔAPE和RtΔCPF中，PA=PC,?PE=PF,?
∴RtΔAPE≌RtΔCPF(HL).
∴∠PAE=∠PCF.
∵∠PAE+∠BAP=180°,∴∠PCB+∠BAP=180°
解题策略：
上图中，∠1＝∠2，AP＝PC，∠PCB＋∠BAP＝180°，BF＝（AB＋BC）这四个条件可知二推二.
变式练习：
如图，0D平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN.?
证明：∵OD平分∠EOF，
∴∠BOD=∠AOD.
在ΔBOD和ΔAOD?中：
OB=OA,?∠BOD=∠AOD,OD=0D,?
∴ΔBOD≌ΔAOD(SAS).?
∴∠BDO＝∠ADO，即DO平分∠BDA.?
又P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN.?
2、如图，已知BF平分ΔABC的外角∠ABE，D为射线BF上一动点，AB与CD交于点P.若DA＝DC，求证：∠ABC＝∠ADC.
证明：如图，过点D分别作DM⊥BE于点M，DN⊥AB于点N.
又BF平分∠ABE，
∴DM=DN.
在RtΔCDM和RtΔADN中，
DC=DA,
DM=DN,
∴RtΔCDM≌RtΔADN(HL).
∴∠DCM=∠DAN.
∴∠DPB=∠ABC+∠DCM,∠APC=∠ADC+∠DAN，且∠DPB＝∠APC，
∴∠ABC＝∠ADC.
基础练习：
ΔABC的三边AB,BC,AC分别是6:4:4，点P为ΔABC三条角平分线的交点，则ΔABP,ΔBCP,ΔACP的面积比是??3:2:2
2、如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CB＝6,1是三条角平分线的交点，ID⊥BC于点D，则ID的长是___2__
第1题
第2题
第3题
3、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M.N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3．AB＝10，则ΔABD的面积是??15
4、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF．求证：CB＝CD.
证明：连接AC，在ΔAEC和ΔAFC中，AE=AF,CE=CF.AC=AC
ΔAEC≌ΔAFC（SSS）
∴∠CAE=∠CAF
∵∠B=∠D=900
∴CB=CD
5、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB//CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
（1）求证：AM⊥DM；（2）求证：M为BC的中点．
证明：（1）∵AB//CD．
∴∠BAD＋∠ADC＝180°．
∵AM平分∠BAD．DM平分／ADC，
∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°．
∴∠MAD＋∠ADM＝90°,∴∠AMD＝90°，即AM＿DM；??
过点M作MNLAD交AD于点N，
∵∠B＝90°，AB//CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD.DM平分∠ADC，
∴BM＝MN.MN＝CM·∵BM＝CM，即M为BC的中点.
综合题探究
6、（1）【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知BD、CD的数量关系为：?BD=CD
（2）【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD=90°（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明。
（3）【应用】如图③，在四边形ABDC中，BD=CD,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD=90°?
DE⊥AB，垂足为E．试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由.
解：（2）结论仍然成立，理由：如图②，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC
的延长线于点E
∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF.
∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,?
∵∠ABD=∠FCD.?
在ΔDEB和ΔDFC中，∠EBD=∠FCD,∠DEB=∠F=90°,?DE=DF,?
∴ΔDEB≌ΔDFC(AAS),∴BD=CD.
（3）AB＝AC＋2BE．理由：如图③，过点D作DF⊥AC的延长线于点F，连接AD.
∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°.?
∴∠ABD=∠FCD.?
在ΔDEB和ΔDFC中?∠EBD=∠FCD,∠DEB=∠F=90°,?BD=CD,?
∴ΔDEB≌ΔDFC（AAS），
∴DE=DF.BE=CF.
在RtΔADF和RtΔADE中
AD=AD,
DF=DE,
RtΔADF≌RtΔADE(HL),
∴AF=AE,
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE.
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