人教版八上高分笔记之导与练12.3.2角的平分线的判定（原卷+答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八上高分笔记之导与练12.3.2角的平分线的判定（原卷+答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-09 22:01:36 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
12.3角的平分线的性质
角的平分线的判定
知识要点：
角的内部到角的两边的距离??
__的点在角的平分线上.
2．到三角形三边距离相等的点是三角形______________
易错点睛
如图，L1，L2，L3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（?
??)
A．1处
B．2处
C．3处
D．4处
【点睛】??应考虑内角平分线的交点或内、外角平分线的交点。
典型例题：
题型一
角的平分线的判定及其应用
例1、如图，∠MON＝60°，A，B分别为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点0重合），在∠MON的内部，ΔAOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．求证：点P在∠MON的平分线上.
解题策略：利用角的平分线的判定定理时，一般过某一点作角的两边的垂线，即添加辅助线，这是解决此类问题的基本方法.
变式练习：
两块完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在△ABC的边AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定（
?)
在ZA的平分线上
B.在AC边的高上
C.在AB边的中线上???
D.以上都有可能
如图，已知AB//CD，AD⊥CD，AE⊥BC，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B的度数为（
)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
第2题
第3题
如图，在ΔABC中，0是ΔABC内一点，且点0到ΔABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC＝_____________
如图，已知D，E，F分别是ΔABC的三边上的点，CE＝BF，且ΔDCE?的面积与ΔDBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC.
题型二
角的平分线的性质与判定的综合应
例2、如图，ΔABC的两个外角的平分线BP与CP相交于点P．求证：∠1＝∠2．
变式练习：
1、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数是（
）
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
2、如图，BP，CP分别是ΔABC的外角∠MBC，∠BCN的平分线，PMLAB于点M，PN⊥AC于点N．若∠BAC＝44°，求∠BAP的度数
基础练习：
1、如图，在ΔABC中，作∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是（
?)?
A.AF平分BC
B.AF⊥BC
C.AF平分∠BAC
D.以上结论都正确
2、如图，在RtΔABC中，C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且DE＝DC．若
∠A＝36°，则∠DBC的度数为??
第1题
第2题
第3题
3、如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，若∠MON＝50°，C为OA上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为?
4、如图，CA＝CB，点E在BC上，点D在AC的延长线上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于点F，连接CF.
（1）求证：AF⊥BD；
（2）求证：CF平分∠AFD．
5、如图，D为ΔABC外一点，DA＝DB，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∠DAC=∠DBE.?
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若EC＝1，BC＝4，求AC的长．
综合应用
6、在ΔABE与ΔACD中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝α，BE与CD交于点O，连接AO.?
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：OA平分∠BOD；
（3）当α＝30°时，直接写出∠AOC的度数为??
°
答案：
知识要点：
角的内部到角的两边的距离??相等__的点在角的平分线上.
2．到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点
易错点睛
如图，L1，L2，L3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（?D??)
A．1处
B．2处
C．3处
D．4处
【点睛】??应考虑内角平分线的交点或内、外角平分线的交点。
典型例题：
题型一
角的平分线的判定及其应用
例1、如图，∠MON＝60°，A，B分别为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点0重合），在∠MON的内部，ΔAOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．求证：点P在∠MON的平分线上.
证明：如图，过点P分别作PC⊥⊥OM，PD⊥ON，垂足分别为C，D，则∠ACP＝∠ODP＝∠BDP＝90°．
在四边形OCPD中，
∠CPD＝360°-∠ACP-∠MON-∠ODP=360°-90°-60°-90°=120°.
∵∠APB=120°,∴∠APB=∠CPD.
∴∠CPD-∠APD=∠APB-∠APD,
即∠APC＝∠BPD.
在ΔAPC和ΔBPD中，∠ACP=∠BDP,?∠APC=∠BPD,AP=BP,
∴ΔAPC≌ΔBPD(AAS)·∴PC=PD.
∴点P在∠MON的平分线上.
解题策略：利用角的平分线的判定定理时，一般过某一点作角的两边的垂线，即添加辅助线，这是解决此类问题的基本方法.
变式练习：
两块完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在△ABC的边AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定（
A?)
在ZA的平分线上
B.在AC边的高上
C.在AB边的中线上???
D.以上都有可能
如图，已知AB//CD，AD⊥CD，AE⊥BC，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B的度数为（
C
)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
第2题
第3题
如图，在ΔABC中，0是ΔABC内一点，且点0到ΔABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC＝125°
如图，已知D，E，F分别是ΔABC的三边上的点，CE＝BF，且ΔDCE?的面积与ΔDBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC.
证明：如图，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.
∵ΔDCE的面积与ΔDBF的面积相等，
CE·DN=BF·DM.
∵CE=BF,∴DN=DM.又DN⊥AC，DM⊥AB，∴AD平分∠BAC.?
题型二
角的平分线的性质与判定的综合应
例2、如图，ΔABC的两个外角的平分线BP与CP相交于点P．求证：∠1＝∠2．
证明：如图，过点P分别作PE⊥AB的延长线于点E，PG⊥AC的延长线于点PH⊥BC于点H
∵BP是∠EBC的平分线，PE⊥AB,PH⊥BC,
∴PE＝PH.同理可证PG＝PH，∴PE＝PG.
又PE⊥AB，PG⊥AC，∴AP是∠BAC的平分线.
∴∠1=∠2.
方法总结:有关角的平分线的几何问题中常见的添加辅助线的
方法：若OP为∠AOB的平分线，则：
（1）向角的另一边作垂线段，构造直角三角形，如图①；
（2）作对折线，即在OA上截取OC＝0D，构造全等三角形，如图②.
变式练习：
1、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数是（
B
）
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
如图，BP，CP分别是ΔABC的外角∠MBC，∠BCN的平分线，PMLAB于点M，
PN⊥AC于点N．若∠BAC＝44°，求∠BAP的度数
解：如图，过点P作PD⊥BC?于点D.?
∵BP是∠MBC的?平分线，PM⊥AB，PD⊥BC,?
∴PM＝PD.同理，PN＝PD，
∴PM=PN.
又PM⊥AB，PN⊥AC，∴AP平分∠BAC.
∴∠BAP=∠BAC=x44°=22°.
基础练习：
1、如图，在ΔABC中，作∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是（
C?)?
A.AF平分BC
B.AF⊥BC
C.AF平分∠BAC
D.以上结论都正确
2、如图，在RtΔABC中，C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且DE＝DC．若
∠A＝36°，则∠DBC的度数为??27°
第1题
第2题
第3题
3、如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，若∠MON＝50°，C为OA上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为??55°
4、如图，CA＝CB，点E在BC上，点D在AC的延长线上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于点F，连接CF.
（1）求证：AF⊥BD；
（2）求证：CF平分∠AFD．
证明：（1）证ΔACE≌ΔBCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，
∴∠AFB=∠ACE=90°,∴AF⊥BD;?
（2）过点C分别作CM上AE于点M．CN⊥BD于点N，
证△ACM≌ΔBCN.∴CM＝CN.∴.CF平分∠AFD.?
5、如图，D为ΔABC外一点，DA＝DB，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∠DAC=∠DBE.?
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若EC＝1，BC＝4，求AC的长．
（1）证明略
（2）在RtΔDCF与RtΔDCE中，DC=DC,?DE=DF,?
..RtΔDCF≌RtΔDCE(HL),∴CF=CE=1.?
∵ΔDAF≌ΔDBE，∴AF＝BE＝BC＋CE＝5，∴AC＝AF＋CF＝6．
综合应用
6、在ΔABE与ΔACD中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝α，BE与CD交于点O，连接AO.?
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：OA平分∠BOD；
（3）当α＝30°时，直接写出∠AOC的度数为??105°
解：（1）∵∠BAC＝∠EAD，．∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD.在ΔABE与ΔACD中：
AB=AC,∠BAE=∠CAD.AE=AD.
∴ΔABE≌ΔACD(SAS),∴BE=CD;?
（2）过点A作AM⊥BE，AN⊥CD，垂足为M，N，则∠AMB＝∠ANC＝90°
∵ΔABE≌ΔACD，
∴∠B=∠C.?
在ΔABM与ΔACN中：∠B=∠C，∠AMB＝∠ANC，AB=AC,∴ΔABM≌ΔACN（AAS），
∴AM＝AN.
∵AM⊥BE.AN⊥CD，∴OA平分∠BOD；
（3）105°；
∵∠B＝∠C．∴∠BOC＝∠BAC＝30°，∴∠BOD＝150°．
∴OA平分∠BOD．
∴∠AOD=∠AOB=75°,∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=105°.?
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
12.3角的平分线的性质
角的平分线的判定
知识要点：
角的内部到角的两边的距离??
__的点在角的平分线上.
2．到三角形三边距离相等的点是三角形______________
易错点睛
如图，L1，L2，L3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（?
??)
A．1处
B．2处
C．3处
D．4处
【点睛】??应考虑内角平分线的交点或内、外角平分线的交点。
典型例题：
题型一
角的平分线的判定及其应用
例1、如图，∠MON＝60°，A，B分别为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点0重合），在∠MON的内部，ΔAOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．求证：点P在∠MON的平分线上.
解题策略：利用角的平分线的判定定理时，一般过某一点作角的两边的垂线，即添加辅助线，这是解决此类问题的基本方法.
变式练习：
两块完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在△ABC的边AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定（
?)
在ZA的平分线上
B.在AC边的高上
C.在AB边的中线上???
D.以上都有可能
如图，已知AB//CD，AD⊥CD，AE⊥BC，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B的度数为（
)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
第2题
第3题
如图，在ΔABC中，0是ΔABC内一点，且点0到ΔABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC＝_____________
如图，已知D，E，F分别是ΔABC的三边上的点，CE＝BF，且ΔDCE?的面积与ΔDBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC.
题型二
角的平分线的性质与判定的综合应
例2、如图，ΔABC的两个外角的平分线BP与CP相交于点P．求证：∠1＝∠2．
变式练习：
1、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数是（
）
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
2、如图，BP，CP分别是ΔABC的外角∠MBC，∠BCN的平分线，PMLAB于点M，PN⊥AC于点N．若∠BAC＝44°，求∠BAP的度数
基础练习：
1、如图，在ΔABC中，作∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是（
?)?
A.AF平分BC
B.AF⊥BC
C.AF平分∠BAC
D.以上结论都正确
2、如图，在RtΔABC中，C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且DE＝DC．若
∠A＝36°，则∠DBC的度数为??
第1题
第2题
第3题
3、如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，若∠MON＝50°，C为OA上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为?
4、如图，CA＝CB，点E在BC上，点D在AC的延长线上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于点F，连接CF.
（1）求证：AF⊥BD；
（2）求证：CF平分∠AFD．
5、如图，D为ΔABC外一点，DA＝DB，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∠DAC=∠DBE.?
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若EC＝1，BC＝4，求AC的长．
综合应用
6、在ΔABE与ΔACD中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝α，BE与CD交于点O，连接AO.?
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：OA平分∠BOD；
（3）当α＝30°时，直接写出∠AOC的度数为??
°
答案：
知识要点：
角的内部到角的两边的距离??相等__的点在角的平分线上.
2．到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点
易错点睛
如图，L1，L2，L3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（?D??)
A．1处
B．2处
C．3处
D．4处
【点睛】??应考虑内角平分线的交点或内、外角平分线的交点。
典型例题：
题型一
角的平分线的判定及其应用
例1、如图，∠MON＝60°，A，B分别为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点0重合），在∠MON的内部，ΔAOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．求证：点P在∠MON的平分线上.
证明：如图，过点P分别作PC⊥⊥OM，PD⊥ON，垂足分别为C，D，则∠ACP＝∠ODP＝∠BDP＝90°．
在四边形OCPD中，
∠CPD＝360°-∠ACP-∠MON-∠ODP=360°-90°-60°-90°=120°.
∵∠APB=120°,∴∠APB=∠CPD.
∴∠CPD-∠APD=∠APB-∠APD,
即∠APC＝∠BPD.
在ΔAPC和ΔBPD中，∠ACP=∠BDP,?∠APC=∠BPD,AP=BP,
∴ΔAPC≌ΔBPD(AAS)·∴PC=PD.
∴点P在∠MON的平分线上.
解题策略：利用角的平分线的判定定理时，一般过某一点作角的两边的垂线，即添加辅助线，这是解决此类问题的基本方法.
变式练习：
两块完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在△ABC的边AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定（
A?)
在ZA的平分线上
B.在AC边的高上
C.在AB边的中线上???
D.以上都有可能
如图，已知AB//CD，AD⊥CD，AE⊥BC，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B的度数为（
C
)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
第2题
第3题
如图，在ΔABC中，0是ΔABC内一点，且点0到ΔABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC＝125°
如图，已知D，E，F分别是ΔABC的三边上的点，CE＝BF，且ΔDCE?的面积与ΔDBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC.
证明：如图，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.
∵ΔDCE的面积与ΔDBF的面积相等，
CE·DN=BF·DM.
∵CE=BF,∴DN=DM.又DN⊥AC，DM⊥AB，∴AD平分∠BAC.?
题型二
角的平分线的性质与判定的综合应
例2、如图，ΔABC的两个外角的平分线BP与CP相交于点P．求证：∠1＝∠2．
证明：如图，过点P分别作PE⊥AB的延长线于点E，PG⊥AC的延长线于点PH⊥BC于点H
∵BP是∠EBC的平分线，PE⊥AB,PH⊥BC,
∴PE＝PH.同理可证PG＝PH，∴PE＝PG.
又PE⊥AB，PG⊥AC，∴AP是∠BAC的平分线.
∴∠1=∠2.
方法总结:有关角的平分线的几何问题中常见的添加辅助线的
方法：若OP为∠AOB的平分线，则：
（1）向角的另一边作垂线段，构造直角三角形，如图①；
（2）作对折线，即在OA上截取OC＝0D，构造全等三角形，如图②.
变式练习：
1、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数是（
B
）
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
如图，BP，CP分别是ΔABC的外角∠MBC，∠BCN的平分线，PMLAB于点M，
PN⊥AC于点N．若∠BAC＝44°，求∠BAP的度数
解：如图，过点P作PD⊥BC?于点D.?
∵BP是∠MBC的?平分线，PM⊥AB，PD⊥BC,?
∴PM＝PD.同理，PN＝PD，
∴PM=PN.
又PM⊥AB，PN⊥AC，∴AP平分∠BAC.
∴∠BAP=∠BAC=x44°=22°.
基础练习：
1、如图，在ΔABC中，作∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是（
C?)?
A.AF平分BC
B.AF⊥BC
C.AF平分∠BAC
D.以上结论都正确
2、如图，在RtΔABC中，C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且DE＝DC．若
∠A＝36°，则∠DBC的度数为??27°
第1题
第2题
第3题
3、如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，若∠MON＝50°，C为OA上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为??55°
4、如图，CA＝CB，点E在BC上，点D在AC的延长线上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于点F，连接CF.
（1）求证：AF⊥BD；
（2）求证：CF平分∠AFD．
证明：（1）证ΔACE≌ΔBCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，
∴∠AFB=∠ACE=90°,∴AF⊥BD;?
（2）过点C分别作CM上AE于点M．CN⊥BD于点N，
证△ACM≌ΔBCN.∴CM＝CN.∴.CF平分∠AFD.?
5、如图，D为ΔABC外一点，DA＝DB，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∠DAC=∠DBE.?
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若EC＝1，BC＝4，求AC的长．
（1）证明略
（2）在RtΔDCF与RtΔDCE中，DC=DC,?DE=DF,?
..RtΔDCF≌RtΔDCE(HL),∴CF=CE=1.?
∵ΔDAF≌ΔDBE，∴AF＝BE＝BC＋CE＝5，∴AC＝AF＋CF＝6．
综合应用
6、在ΔABE与ΔACD中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝α，BE与CD交于点O，连接AO.?
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：OA平分∠BOD；
（3）当α＝30°时，直接写出∠AOC的度数为??105°
解：（1）∵∠BAC＝∠EAD，．∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD.在ΔABE与ΔACD中：
AB=AC,∠BAE=∠CAD.AE=AD.
∴ΔABE≌ΔACD(SAS),∴BE=CD;?
（2）过点A作AM⊥BE，AN⊥CD，垂足为M，N，则∠AMB＝∠ANC＝90°
∵ΔABE≌ΔACD，
∴∠B=∠C.?
在ΔABM与ΔACN中：∠B=∠C，∠AMB＝∠ANC，AB=AC,∴ΔABM≌ΔACN（AAS），
∴AM＝AN.
∵AM⊥BE.AN⊥CD，∴OA平分∠BOD；
（3）105°；
∵∠B＝∠C．∴∠BOC＝∠BAC＝30°，∴∠BOD＝150°．
∴OA平分∠BOD．
∴∠AOD=∠AOB=75°,∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=105°.?
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)