(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2020—2021学年高二数学下学期
第七章
随机变量及其分布
单元测试
一、单选题（共12题；共60分）
1.抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合
，令事件
，
，则
的值为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】因为
，3，
，
，2，4，5，
，
，
，
所以
（B）
，
，
故
。
故答案为：B．
2.若
是离散型随机变量，
，
，且
.又已知
，
，则
的值为（???
）
A.?9???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】
B
【解析】由题设
，
.
可得
，
，
解得
或
（舍），
故
.
故答案为：B.
3.在某项测试中，测量结果
服从正态分布
，若
，则
（??
）
A.?0.4????????????????????????????????????????B.?0.8????????????????????????????????????????C.?0.6????????????????????????????????????????D.?0.2
【答案】
B
【解析】由正态分布的图像和性质得
.
故答案为：B
4.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量
，则
所有可能值的个数是（?????
）
A.?25??????????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?5
【答案】
C
【解析】依据题意，分析可得，这是有放回的抽样，号码之和可能的情况有：2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种情况。
故答案为：C。
5.已知随机变量
，若
，则
，
分别是(?
?)
A.?4和2.4????????????????????????????????B.?2和2.4????????????????????????????????C.?6和2.4????????????????????????????????D.?4和5.6
【答案】
A
【解析】
故答案为：A．
6.设随机变量X服从正态分布
，若
，则
（???
）
A.?0.35??????????????????????????????????????B.?0.6??????????????????????????????????????C.?0.7??????????????????????????????????????D.?0.85
【答案】
C
【解析】随机变量X服从正态分布
，因为
，所以
，
所以
，
故答案为：C.
7.设随机变量
，且
，则n为（???
）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
【答案】
C
【解析】
，
，
。
故答案为：C
8.已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(
??)
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】
C
【解析】解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4，
因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，
所以a=7。
故答案为：C.
9.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是(
??)
A.?6??????????????????????????????????????????B.?7??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?25
【答案】
C
【解析】列出所有可能取值如下表所示，由表格可知，所有可能取值为：
共
种。
?
1
2
3
4
5
1
?
2
3
4
5
2
2
?
6
8
10
3
3
6
?
12
15
4
4
8
12
?
20
5
5
10
15
20
?
故答案为：C.
10.已知正方形
，其内切圆
与各边分别切于点E，F，G、H，连接
，
，
，
．现向正方形
内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形
外，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】由题意，设正方形
的边长为
，则圆
的半径为
，面积为
；
正方形
的边长为
，面积为
；
所求的概率为
．
故答案为：B．
11.已知n是一个三位正整数，若n的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n为三位递增数．已知
，设事件A为“由
组成三位正整数”，事件B为“由
组成三位正整数为递增数”则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】因为
所以由
组成的三位正整数有
个，即
其中满足为递增数的有以下三类：
①当百位为2时，有1个，②当百位为3时，有
个
③当百位为4时，有
个
所以
所以
故答案为：B
12.已知随机变量
满足
，
，其中
.令随机变量
，则（???
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】随机变量
满足
,
,其中
.
则随机变量
的分布列为:
所以
随机变量
,
所以当
时,
,当
时,
所以随机变量
的分布列如下表所示(当
时,
只有一个情况,概率为1):
P
P
P
则
当
即
,解得
.所以A、B不符合题意.
恒成立.
所以C不符合题意,D符合题意
故答案为：D
二、填空题（共4题；共20分）
13.盒中有4个球，其中2个白球，2个黑球，从中随机取球，若每次取一个，不放回，取到黑球停止，则第二次取到黑球的概率
________；若每次取一个，放回，取到黑球停止，且取球次数不超过3次，设此过程取到白球的个数为
，则
________.
【答案】
；
【解析】由题意，若每次取一个，不放回，所以第一次取到的是白球，第二次取到黑球的概率为
；若每次取一个，放回，则白球的个数
的取值为
，则
，
，
，
则
.
故答案为：
；
.
14.对一个物理量做
次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差
，为使误差
在
的概率不小于0.9545，至少要测量________次（若
，则
）．
【答案】
32
【解析】根据正态曲线的对称性知：要使误差
在
的概率不小于0.9545，
则
且
，
，
所以
，
故答案为：32。
15.一夜之间，“地摊经济”火遍整个社交媒体，也成为了口罩、呼吸机、直播带货、头盔之后的又一个经济领域的热词，某地摊集中点在销告旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是
，连续两天顾客量超过1万人次的概率是
，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是________
.
【答案】
【解析】设事件A：该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次.
设事件B：随后一天的接纳顾客量超过1万人次.
根据条件有：
所以
故答案为：
16.袋中装有6个大小相同的球，其中3个白球?2个黑球?1个红球.现从中依次取球，每次取1球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束.用
表示终止取球时已取球的次数，则随机变量
的数学期望
________.
【答案】
【解析】根据题意
可取
，
，
，
故
.
故答案为：
.
三、解答题（共4题；共20分）
17.“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲?乙在相同的条件下轮流射击.每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分.已知甲?乙每次射中的概率分别为
，且各次射击互不影响.
（1）经过1轮射击打靶，记甲?乙两人的得分之和为X，求X的分布列；
（2）试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由.
【答案】
（1）解：X的可能取值为0，1，2，
由题意可知P(X=0)=
，
P(X=1)=
，
P(X=2)=
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
（2）解：经过2轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：
一是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，
二是甲累计得1分，此时乙累计得0分，
所以
，
经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有三种情况：
一是甲累计得3分，此时乙的累计得分低于3分，
二是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，
三是甲累计得1分，此时乙累计得0分，
所以
，
因为P2>P1
，
所以经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高.
【解析】（1）先求解
X的可能取值
，然后求解每个取值对应的概率，从而可得分布列；
（2）分别求解第2轮和第3轮射击打靶后，甲获胜的概率，然后比较两个概率的大小可得结论。
18.城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP)是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP日平均浓度(单位：
)在
时为一级水平，在
时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：
TSP日平均浓度
喷雾头个数
个
20
50
80
110
150
根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP日平均浓度
不高于
，
，
，
的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95.
（1）若单个喷雾头能实现有效降尘
，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数.
（2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP日平均浓度
不高于
，
，
，
的概率均相应提升了5%，求：
①该工地在未来10天中至少有2天TSP日平均浓度能达到一级水平的概率；(
，结果精确到0.001)
②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.
【答案】
（1）解：由已知条件和互斥事件的概率加法公式有
，
，
，
，
.
则智能设置喷雾头个数
的分布列为：
20
50
80
110
150
0.15
0.2
0.35
0.25
0.05
则
(个)
所以施工期间工地能平均有效降尘的立方米数为
（2）解：①由已知，该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP日平均浓度
达到一级水平的概率为
，
设未来
天中TSP日平均浓度能达到一级水平的天数为
，则
所以
故该工地在未来
天中至少有
天TSP日平均浓度能达到一级水平的概率约为
.
②该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP日平均浓度
对应喷雾头个数
的分布列为
TSP日平均浓度
喷雾头个数
个
20
50
80
110
150
0.2
0.2
0.35
0.25
0
则
(个)，
若只有当TSP日平均浓度在二级及以上水平时启用150个喷雾头，则启用喷雾头个数的期望值为
(个)，大于之前智能启用喷雾头个数的期望值69.5，由于单个喷雾头出水量一样，所以无法达到节水节能的目的.
【解析】（1）由已知条件和互斥事件事件的概率加法公式分别求出?，??，?，?，?，求出
，
施工期间工地能平均有效降尘的立方米数为
；
（2）①该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP日平均浓度达到一级水平的概率为
?，
设未来??天中TSP日平均浓度能达到一级水平的天数为??，则?
设未来??天中TSP日平均浓度能达到一级水平的天数为??，则??，由此能求出结果；
②该工地智能雾化喷淋降尘之后，求出TSP日平均浓度??对应喷雾头个数??的分布列，从而
?(个)，
若只有当TSP日平均浓度在二级及以上水平时启用150个喷雾头，则启用喷雾头个数的期望值为??(个)，大于之前智能启用喷雾头个数的期望值69.5，
由于单个喷雾头出水量一样，所以无法达到节水节能的目的.
19.2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为
，女生认为《少年的你》值得看的概率为
，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）
（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；
（2）设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望.
【答案】
（1）解：设X表示2名男生中认为值得看的人数，Y表示2名女生中认为值得看的人数.
设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A，.
又因为男生认为《少年的你》值得看的概率为
，女生值得看的概率为
所以
.
所以女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率为
（2）解：
的可能取值为0，1，2，3，4，.
，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
3
4
所以
，
所以数学期望为
.
【解析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，进而求出这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量ζ的可能的取值，再利用二项分布求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，进而求出随机变量ζ的分布列，再利用分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量ζ的数学期望。
20.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间
内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为
，
，
，
，
五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.
参考数据：若
，则
，
，
，
，
，
.
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数
和方差
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X（cm）近似服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样本方差
.
（i）求
；
（ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率.
【答案】
（1）解：由题知第三组的频率为
，
则第五组的频率为
，
第二组的频率为
，
所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，
故
，
（2）解：由题知
，
，
（i）
；
（ii）
，
故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率：
【解析】（1）根据题意先算出各组的频率，再利用公式即可求出平均数和方差；
（2）根据已知条件求出μ，σ的值．
（i）根据题意结合已知的数据，结合正态分布的对称性，容易求出所求结果；
（ii）根据题意首先求出对立事件（10人身高都在174.28之下）的概率，然后结果可求即可．2020—2021学年高二数学下学期
第七章
随机变量及其分布
单元测试
一、单选题（共12题；共60分）
1.抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合
，令事件
，
，则
的值为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.若
是离散型随机变量，
，
，且
.又已知
，
，则
的值为（???
）
A.?9???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?4
3.在某项测试中，测量结果
服从正态分布
，若
，则
（??
）
A.?0.4????????????????????????????????????????B.?0.8????????????????????????????????????????C.?0.6????????????????????????????????????????D.?0.2
4.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量
，则
所有可能值的个数是（?????
）
A.?25??????????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?5
5.已知随机变量
，若
，则
，
分别是(?
?)
A.?4和2.4????????????????????????????????B.?2和2.4????????????????????????????????C.?6和2.4????????????????????????????????D.?4和5.6
6.设随机变量X服从正态分布
，若
，则
（???
）
A.?0.35??????????????????????????????????????B.?0.6??????????????????????????????????????C.?0.7??????????????????????????????????????D.?0.85
7.设随机变量
，且
，则n为（???
）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
8.已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(
??)
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
9.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是(
??)
A.?6??????????????????????????????????????????B.?7??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?25
10.已知正方形
，其内切圆
与各边分别切于点E，F，G、H，连接
，
，
，
．现向正方形
内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形
外，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
11.已知n是一个三位正整数，若n的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n为三位递增数．已知
，设事件A为“由
组成三位正整数”，事件B为“由
组成三位正整数为递增数”则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
12.已知随机变量
满足
，
，其中
.令随机变量
，则（???
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
二、填空题（共4题；共20分）
13.盒中有4个球，其中2个白球，2个黑球，从中随机取球，若每次取一个，不放回，取到黑球停止，则第二次取到黑球的概率
________；若每次取一个，放回，取到黑球停止，且取球次数不超过3次，设此过程取到白球的个数为
，则
________.
14.对一个物理量做
次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差
，为使误差
在
的概率不小于0.9545，至少要测量________次（若
，则
）．
15.一夜之间，“地摊经济”火遍整个社交媒体，也成为了口罩、呼吸机、直播带货、头盔之后的又一个经济领域的热词，某地摊集中点在销告旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是
，连续两天顾客量超过1万人次的概率是
，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是________
.
16.袋中装有6个大小相同的球，其中3个白球?2个黑球?1个红球.现从中依次取球，每次取1球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束.用
表示终止取球时已取球的次数，则随机变量
的数学期望
________.
三、解答题（共4题；共20分）
17.“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲?乙在相同的条件下轮流射击.每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分.已知甲?乙每次射中的概率分别为
，且各次射击互不影响.
（1）经过1轮射击打靶，记甲?乙两人的得分之和为X，求X的分布列；
（2）试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由.
18.城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP)是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP日平均浓度(单位：
)在
时为一级水平，在
时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：
TSP日平均浓度
喷雾头个数
个
20
50
80
110
150
根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP日平均浓度
不高于
，
，
，
的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95.
（1）若单个喷雾头能实现有效降尘
，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数.
（2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP日平均浓度
不高于
，
，
，
的概率均相应提升了5%，求：
①该工地在未来10天中至少有2天TSP日平均浓度能达到一级水平的概率；(
，结果精确到0.001)
②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.
19.2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为
，女生认为《少年的你》值得看的概率为
，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）
（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；
（2）设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望.
20.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间
内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为
，
，
，
，
五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.
参考数据：若
，则
，
，
，
，
，
.
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数
和方差
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X（cm）近似服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样本方差
.
（i）求
；
（ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率.
