2020—2021学年高二数学下学期
第六章
计数原理单元测试
一、单选题（共12题；共60分）
1.2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有
节车厢，两人进入车厢的方法数共有（?
）
A.?15种????????????????????????????????????B.?30种????????????????????????????????????C.?36种????????????????????????????????????D.?64种
2.某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（???
）
A.?15????????????????????????????????????????B.?20????????????????????????????????????????C.?258????????????????????????????????????????D.?30
3.
的展开式中，含
项的系数为（???
）
A.?45????????????????????????????????????????B.?-45????????????????????????????????????????C.?15????????????????????????????????????????D.?-15
4.在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（???
）
A.?11位????????????????????????????????????B.?12位????????????????????????????????????C.?13位????????????????????????????????????D.?14位
5.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为（???
）
A.?9?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?27?????????????????????????????????????????D.?36
6.
，则
（???
）
A.?49?????????????????????????????????????????B.?56?????????????????????????????????????????C.?59?????????????????????????????????????????D.?64
7.4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（???
）
A.?81?????????????????????????????????????????B.?64?????????????????????????????????????????C.?24?????????????????????????????????????????D.?16
8.设
，则
的值为（???
）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
9.在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（??
）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?21?????????????????????????????????????????C.?22?????????????????????????????????????????D.?24
10.6名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有（????）
A.?240种?????????????????????????????????B.?360种?????????????????????????????????C.?720种?????????????????????????????????D.?120种
11.从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中，选出3个偶数2个奇数重新排列，可得六位数的个数为（???）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
12.
展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（??
）
A.?5377?????????????????????????????????B.?﹣5377?????????????????????????????????C.?5375?????????????????????????????????D.?﹣5375
二、填空题（共4题；共20分）
13.某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有________种.
14.己知六个函数:①
;②
;③
;④
;⑤
;⑥
,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有________种.
15.定义
为集合
中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合
，集合M的所有非空子集依次记为
，则
________
16.已知g（x）是各项系数均为整数的多项式，f（x）=2x2﹣x+1，且满足f（g（x））=2x4+4x3+13x2+11x+16，则g（x）的各项系数之和为________．
三、解答题（共4题；共20分）
17.设
，
，其中
．
（1）当
时，求
的值；
（2）对
，证明：
恒为定值．
18.在集合
中，任取
个元素构成集合
.
若
的所有元素之和为偶数，则称
为
的偶子集，其个数记为
；若
的所有元素之和为奇数，则称
为
的奇子集，其个数记为
.
令
（1）当
时，求
的值；
（2）求
.
19.设
，
，在集合
的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加，和记为
,较小元素之和记为
.
（1）当
时,求
,
的值；
（2）求证:为任意的
,
，
为定值.
20.已知集合A=a1
，
a2
，
a3
，
…，an
，
其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n
，
求证：
；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2020—2021学年高二数学下学期
第六章
计数原理单元测试
一、单选题（共12题；共60分）
1.2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有
节车厢，两人进入车厢的方法数共有（?
）
A.?15种????????????????????????????????????B.?30种????????????????????????????????????C.?36种????????????????????????????????????D.?64种
【答案】
C
【解析】每位同学都可以进入地铁中的任何一节车厢，每个人都有6种方法，所以两人进入车厢的方法数共有
种方法.
故答案为：C
2.某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（???
）
A.?15????????????????????????????????????????B.?20????????????????????????????????????????C.?258????????????????????????????????????????D.?30
【答案】
C
【解析】由题意每小组中各队进行单循环比赛次数为
，
各小组的第一名再进行单循环比赛次数为
，
先后比赛的总次数为
.
故答案为：C
3.
的展开式中，含
项的系数为（???
）
A.?45????????????????????????????????????????B.?-45????????????????????????????????????????C.?15????????????????????????????????????????D.?-15
【答案】
A
【解析】由二项式定理
展开式中有
和
，
所以
的展开式中含
项的系数为
.
故答案为：:
A
4.在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（???
）
A.?11位????????????????????????????????????B.?12位????????????????????????????????????C.?13位????????????????????????????????????D.?14位
【答案】
B
【解析】设参赛选手共有
位，则总比赛场次为
，即
场，且
，
，
由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为
分且为偶数，
∴当
，得
；当
，
无整数解；
∴
(位).
故答案为：B.
5.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为（???
）
A.?9?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?27?????????????????????????????????????????D.?36
【答案】
B
【解析】根据珠算的运算法则及题干描述的操作，从个、十、百上珠中选1粒往下拨即
，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百即
或来自个、十、百中的两个即
，
则总数为
.
故答案为：B.
6.
，则
（???
）
A.?49?????????????????????????????????????????B.?56?????????????????????????????????????????C.?59?????????????????????????????????????????D.?64
【答案】
C
【解析】令
，
.
故答案为：C.
7.4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（???
）
A.?81?????????????????????????????????????????B.?64?????????????????????????????????????????C.?24?????????????????????????????????????????D.?16
【答案】
A
【解析】解：∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案．
故答案为：A
8.设
，则
的值为（???
）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
【答案】
C
【解析】
令
，可得：
令
，可得：
???
故答案为：
9.在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（??
）
A.?20?????????????????????????????????????????B.?21?????????????????????????????????????????C.?22?????????????????????????????????????????D.?24
【答案】
B
【解析】解：根据题意，要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则蓝色最多可以用4块，
分4种情况讨论：
①、6块广告牌都不用蓝色，即全部用红色，有1种情况；
②、6块广告牌有1块用蓝色，在6块广告牌选1块用蓝色即可，有C61=6种情况；
③、6块广告牌有2块用蓝色，先将4块红色的广告牌安排好，形成5个空位，在5个空位中任选2个，安排蓝色的广告牌，有C52=10种情况；
④、6块广告牌有3块用蓝色，先将3块红色的广告牌安排好，形成4个空位，在4个空位中任选3个，安排蓝色的广告牌，有C43=4种情况；
则一共有1+6+10+4=21种配色方案；
故答案为：B．
10.6名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有（????）
A.?240种?????????????????????????????????B.?360种?????????????????????????????????C.?720种?????????????????????????????????D.?120种
【答案】
A
【解析】其中甲乙两人必须排在一起则相当于将两人捆绑在一起，他们之间有两种情况，这样相当于总共有五个人在排队，共有种即种，再乘以2，得到240种，故选A.
11.从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中，选出3个偶数2个奇数重新排列，可得六位数的个数为（???）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】由题意知，本题是一个分步计数问题，首先从集合中选出3个偶数2个奇数，再把这五个数字重新排列，这个数字一定包含10，共C42C52
A55种结果，故选A．
12.
展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（??
）
A.?5377?????????????????????????????????B.?﹣5377?????????????????????????????????C.?5375?????????????????????????????????D.?﹣5375
【答案】A
【解析】解：（
﹣x）9展开式中的通项公式为：
Tr+1=C9r?（
）9﹣r?（﹣1）r?xr=（﹣1）r?C9r?29﹣r?x
，
令
=0，求得r=3，
所以展开式中常数项为（﹣1）3?C93?26=﹣5376，
令x=1可得展开式中各项系数之和为（2﹣1）9=1，
所以展开式中除常数项外的其余项的系数之和为1+5376=5377．
故选：A．
二、填空题（共4题；共20分）
13.某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有________种.
【答案】
20
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则甲有2种选择方法，
还剩下3种颜色，又由乙不购买“罗兰紫”，乙也有2种选择方法，
还剩下2种颜色，剩下的2人选择剩下的2种颜色，有
种选择方法，
则此时有
种购买方案；
②若甲不购买“亮黑色”或“星河银”，则甲有2种选择方法，
还剩下3种颜色，由其他三人购买，有
种选择方法，
则此时有
种选择方法，
则一共有
种不同的购买方案。
故答案为：20。
14.己知六个函数:①
;②
;③
;④
;⑤
;⑥
,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有________种.
【答案】
12
【解析】对于①,因为
,定义域为
且满足
,故为偶函数;
对于②,因为
,定义域为
且满足
,故为偶函数;
对于③,因为
,定义域为
,故非奇非偶函数;
对于④,因为
,定义域为
且满足
,故为奇函数;
对于⑤,因为
,定义域为
且满足
,故为奇函数;
对于⑥,因为
,根据函数图象可知为非奇非偶函数.
综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数.
任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:
当选1奇和
偶时,
种;
当选2奇和
偶时,
种;
当选1奇,
偶,
非奇非偶时,
种.
?
一共有
种选法.
故答案为:
.
15.定义
为集合
中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合
，集合M的所有非空子集依次记为
，则
________
【答案】
【解析】设
设
中只有1个元素，
中有2个元素，
中有3个元素，
中有4个元素，
由二项定理可知
令
，
?,
?
.
故答案为：
16.已知g（x）是各项系数均为整数的多项式，f（x）=2x2﹣x+1，且满足f（g（x））=2x4+4x3+13x2+11x+16，则g（x）的各项系数之和为________．
【答案】5
【解析】解：f（g（x））=2[g（x）]2﹣g（x）+1=2x4+4x3+13x2+11x+16，
依题意，可设g（x）=x2+ax+b，
∴g（x）的各项系数和为1+a+b=g（1）；而2[g（1）]2﹣g（1）+1=2?14+4?13+13?12+11?1+16，
∴2[g（1）]2﹣g（1）﹣45=0．
∴g（1）=﹣
或5
∵g（x）是各项系数均为整数的多项式，故g（1）不可能是分数，舍去﹣
，
∴g（1）=5，
∴g（x）的各项系数之和为5．
故答案为：5
三、解答题（共4题；共20分）
17.设
，
，其中
．
（1）当
时，求
的值；
（2）对
，证明：
恒为定值．
【答案】
（1）解：当
时，
，
又
，
所以
.
（2）解：
?
?
?
即
，
由累乘可得
，
又
，
所以
．
即
恒为定值1．
【解析】（1）在计算P（n，1）时，注意将转化为
，
是本题的关键。
（2）在（1）的基础上，得到
P
(
n
,
m
)
=?
P
(
n
?
1
,
m
)
，再运算即得答案。
18.在集合
中，任取
个元素构成集合
.
若
的所有元素之和为偶数，则称
为
的偶子集，其个数记为
；若
的所有元素之和为奇数，则称
为
的奇子集，其个数记为
.
令
（1）当
时，求
的值；
（2）求
.
【答案】
（1）解：当
时，集合为
，
当
时，偶子集有
，奇子集有
，
，
；
当
时，偶子集有
，奇子集有
，
，
；
当
时，偶子集有
，奇子集有
，
，
（2）解：当
为奇数时，偶子集的个数
，
奇子集的个数
，
所以
．
当
为偶数时，偶子集的个数
，
奇子集的个数
，
所以
．
一方面，
所以
中
的系数为
；
另一方面，
，
中
的系数为
，
故
．
综上，
【解析】（1）由已知当
时，集合为
，
利用已知偶子集与奇子集的概念，分别令m=1，m=2，m=3，即可求出
的值；
（2）分两种情况讨论m，
当
为奇数时，得到偶子集与奇子集的个数，可得
，
当
为偶数时，
得到偶子集与奇子集的个数，可得
，
分两种情况讨论即可求出.
19.设
，
，在集合
的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加，和记为
,较小元素之和记为
.
（1）当
时,求
,
的值；
（2）求证:为任意的
,
，
为定值.
【答案】
（1）解：当
时，集合
的所有元素个数为2的子集为
，
，
，
所以
，
（2）解：当
，
时，依题意，
?
?
?
则
?
?
?
．
所以
.
又
?
，
所以
，
所以
（定值）．
【解析】（1）先求出集合{1,2,3}
的所有元素个数为2的子集，再由已知计算出a
,
b
的值即可.
（2）先利用组合及组合数公式写出b的表达式，利用二项式系数的性质求出a的表达式，再利用等差数列的前n项和公式求出a+b的表达式，即可证明为定值.
20.已知集合A=a1
，
a2
，
a3
，
…，an
，
其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n
，
求证：
；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？
【答案】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．
由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．
（Ⅱ）证明：因为ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有
个值，所以
．
又集合A=2，4，8，，2n
，
任取ai+aj
，
ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
当j≠l时，不妨设j＜l，则ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al
，
即ai+aj≠ak+al
．
当j=l，i≠k时，ai+aj≠ak+al
．
因此，当且仅当i=k，j=l时，ai+aj=ak+al
．
即所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，
所以
．
（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3．
不妨设a1＜a2＜a3＜…＜an
，
可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an﹣1+an
，
所以ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数，即l（A）≥2n﹣3．
事实上，设a1
，
a2
，
a3
，
，an成等差数列，
考虑ai+aj（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，
当i+j≤n时，ai+aj=a1+ai+j﹣1；
当i+j＞n时，ai+aj=ai+j﹣n+an；
因此每个和ai+aj（1≤i＜j≤n）等于a1+ak（2≤k≤n）中的一个，
或者等于al+an（2≤l≤n﹣1）中的一个．
所以对这样的A，l（A）=2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3
【解析】（Ⅰ）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l（P）和l（Q）；（Ⅱ）先由ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有
个值，可得
；再利用定义推得所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．（Ⅲ）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜＜an
，
所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an﹣1+an
．
由此即可证明l（A）的最小值2n﹣3．
