双曲线的几何性质
课本温习
1．已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
C [由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝.]
2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
B [因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.]
3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于( )
A．2
B．2
C．4
D．4
C [由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.]
4．若实数k满足0A．实半轴长相等
B．虚半轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
D [若00，16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D.]
固基强能
5．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a，0)和(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D．2
D [直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，原点到直线l的距离d＝＝＝c，
即ab＝c2，所以a2(c2－a2)＝c4.
整理得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝，
又b>a>0，所以e2＝1＋>2，故e＝2.]
6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
A [曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3，0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选A.]
7.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线方程为________．
－y2＝1 [由题意可得解得
故所求双曲线方程为－y2＝1.]
8．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________．
(1，) [e2＝1＋，由a>1得1所以19．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________．
2 [双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则A(2，2b)，B(2，－2b)，|AB|＝4b，从而S△AOB＝×4b×2＝8.
解得b＝2，所以c2＝5，从而焦距为2.]
规范演练
10．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
[解] 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴设双曲线方程为－＝1.
又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，
得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．
[解] (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.
又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得：
即k2≠且k2<1.①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝，
由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋＋2＝，
于是>2，解此不等式得由①②得故k的取值范围是∪.双曲线的几何性质
课本温习
1．已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于( )
A．2
B．2
C．4
D．4
4．若实数k满足0A．实半轴长相等
B．虚半轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
固基强能
5．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a，0)和(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D．2
6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
7.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线方程为________．
8．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________．
9．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________．
规范演练
10．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．
