湖南省怀化市新晃县2019-2020学年九年级下学期数学期末考试试卷（Word版 含解析）

2019-2020学年下学期湖南省新晃县九年级数学期末考试试卷
一．选择题
1．方程2x2＝4的解是（　　）
A．
B．2
C．
D．±2
2．若cos30°?sinα＝，则锐角α等于（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
3．下列函数中，图象是双曲线且经过点（2，﹣4）的是（　　）
A．y＝﹣2x
B．y＝﹣
C．y＝﹣
D．y＝x﹣6
4．若x＝1是方程x2+mx+3＝0的一个根，则方程的另一个根是（　　）
A．3
B．4
C．﹣3
D．﹣4
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（　　）
A．（x+2）2＝3
B．（x+2）2＝11
C．（x﹣2）2＝11
D．（x﹣2）2＝3
6．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝50°，∠B＝95°，则∠C1等于（　　）
A．50°
B．95°
C．35°
D．25°
7．当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24m，则该树高为（　　）
A．8m
B．4m
C．12m
D．12m
8．如图，在△ABC中，DE是它的中位线，BC＝2，有下面三个结论：①DE＝1；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．其中正确结论的个数有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
9．某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的180名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理成下表：
节水量/t
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
请你估计这180名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（　　）
A．180t
B．200t
C．216t
D．360t
10．关于x的一元二次方程（k+1）x2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣5
B．k＞﹣5且k≠﹣1
C．k≥﹣5
D．k≥﹣5且k≠﹣1
二．填空题
11．若，则＝　
　．
12．函数y＝中，若x＞2，则y的取值范围为　
　．
13．设x1，x2分别为一元二次方程x2+2019x+1＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2＝　
　．
14．如图所示，增加一个条件，可使△ABC∽△AED，这个条件可以是　
　．
15．将一块长8cm、宽6cm的矩形铁皮的四个角各截去一个面积相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积的，若设盒子的高为xcm，则列出的方程为　
　．
16．若反比例函数y＝（a是常数）的图象的同一支上有两点（x1，y1），（x2，y2），设b＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则一次函数y＝bx﹣b的图象不经过第　
　象限．
三．解答题
17解一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）（2x﹣1）2＝3（2x﹣1）．
18在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（6，4），C（0，6），将其顶点的坐标缩小为原来的，画出得到的四边形．并判断这两个四边形是位似图形吗？若是，位似比是多少？
19如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：AC2＝AD?AB．
（2）定义：若线段a，b，c满足条件c2＝ab，则称c是a，b的比例中项．比如（1）中的AC就是AD，AB的比例中项．请你判断图中CD是不是AD，BD的比例中项？说明理由．
20如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，sin∠ACB＝．
（1）求AC的长．
（2）求tan∠DAC?cos∠DAC的值．
21为执行“均衡教育”政策，某地区2017年投入教育经费2500万元，2019年投入教育经费3025万元．
（1）求2017年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）计算一下，该地区2017年到2019年共投入教育经费多少万元？
22近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　　度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
23如图，在矩形OABC中，A（3，0），C（0，2），F是AB上的一个动点，F不与A、B重合，过点F的反比例函数y＝的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式及△EFA的面积；
（2）当△EFA的面积为时，求F点的坐标．
24如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，DC?AC＝BC?AD，E为AB的中点，AC交DE于点F．
（1）求证：AC平分∠DAB
（2）求证：＝．
（3）若AD，AB的长是x2﹣11x+30＝0的两根，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．方程2x2＝4的解是（　　）
A．
B．2
C．
D．±2
【分析】先方程两边都除以2，再开方求出答案即可．
【解答】解：2x2＝4，
方程两边都除以2得：x2＝2，
开方得：x＝，
故选：C．
2．若cos30°?sinα＝，则锐角α等于（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵cos30°?sinα＝，
∴?sinα＝，
∴sinα＝×＝，
∴锐角α等于为30°．
故选：B．
3．下列函数中，图象是双曲线且经过点（2，﹣4）的是（　　）
A．y＝﹣2x
B．y＝﹣
C．y＝﹣
D．y＝x﹣6
【分析】设出反比例函数的解析式，把（﹣2，1）代入解析式，求出k的值，得到反比例函数的解析式，进行验证即可．
【解答】解：设函数解析式为y＝，
把（2，﹣4）代入解析式，得k＝2×（﹣4）＝﹣8．
故解析式为y＝﹣．
故选：C．
4．若x＝1是方程x2+mx+3＝0的一个根，则方程的另一个根是（　　）
A．3
B．4
C．﹣3
D．﹣4
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设另外一根为α，
由根与系数的关系可知：1×α＝3，
∴α＝3，
故选：A．
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（　　）
A．（x+2）2＝3
B．（x+2）2＝11
C．（x﹣2）2＝11
D．（x﹣2）2＝3
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣7＝0，
∴x2﹣4x+4＝11，
∴（x﹣2）2＝11，
故选：C．
6．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝50°，∠B＝95°，则∠C1等于（　　）
A．50°
B．95°
C．35°
D．25°
【分析】先由三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形的对应角相等得出∠C1＝∠C．
【解答】解：△ABC中，∵∠A＝50°，∠B＝95°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，
∵△ABC∽△A1B1C1，
∴∠C1＝∠C＝35°．
故选：C．
7．当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24m，则该树高为（　　）
A．8m
B．4m
C．12m
D．12m
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2BC，再根据勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：如图，∵太阳光与水平地面成30°，
∴AB＝2BC，
根据勾股定理，AC2+BC2＝AB2，
∵影长AC＝24m，
∴242+BC2＝4BC2，
解得BC＝8m．
故选：A．
8．如图，在△ABC中，DE是它的中位线，BC＝2，有下面三个结论：①DE＝1；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．其中正确结论的个数有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【分析】①根据中位线的性质结合BC＝2，即可得出DE＝1，①正确；②由DE是△ABC的中位线可得出DE∥BC，进而得出△ADE∽△ABC，②正确；③由DE是△ABC的中位线可得出点D是线段AB的中点，结合相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得出△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4，③正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵DE是△ABC的中位线，BC＝2，
∴DE＝BC＝1，①正确；
②∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，②正确；
③∵DE是△ABC的中位线，
∴点D是线段AB的中点．
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4，③正确．
综上所述：正确的结论有①②③．
故选：D．
9．某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的180名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理成下表：
节水量/t
0.5
1
1.5
2
人数
2
3
4
1
请你估计这180名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（　　）
A．180t
B．200t
C．216t
D．360t
【分析】先计算这10名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数180即可解答．
【解答】解：＝1.2（t），
180×1.2＝216（t），
答：估计这180名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是216t．
故选：C．
10．关于x的一元二次方程（k+1）x2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣5
B．k＞﹣5且k≠﹣1
C．k≥﹣5
D．k≥﹣5且k≠﹣1
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k+1≠0且△＝42﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝42﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣5且k≠﹣1．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．若，则＝　﹣2　．
【分析】根据比例的基本性质，可以用一个数分别表示出a和b，代入原式即可得出结果．
【解答】解：根据题意，
可设a＝2k，b＝3k．
则＝＝﹣2，
故填﹣2．
12．函数y＝中，若x＞2，则y的取值范围为　0＜y＜1　．
【分析】根据反比例函数的性质求解y的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝2＞0．
∴图象在第一象限，
∴y＞0，且y随x的增大而减小，
把x＝2代入反比例函数y＝中，y＝1，
∴y的取值范围是0＜y＜1．
故答案为：0＜y＜1．
13．设x1，x2分别为一元二次方程x2+2019x+1＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2＝　2020　．
【分析】先由根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2019，x1?x2＝1，再代入x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）计算可得．
【解答】解：根据题意知x1+x2＝﹣2019，x1?x2＝1，
则x1x2﹣x1﹣x2
＝x1x2﹣（x1+x2）
＝1+2019
＝2020，
故答案为：2020．
14．如图所示，增加一个条件，可使△ABC∽△AED，这个条件可以是　∠1＝∠B或∠2＝∠C或＝　．
【分析】根据题目所给的条件，利用利用一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，即可得出答案．此题答案不唯一．再找一个对应角相等的条件即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠EAD（公共角），
再由∠1＝∠B
或∠2＝∠C
或
，
可得△ABC∽△AED，
故答案为：∠1＝∠B
或∠2＝∠C
或
．
15．将一块长8cm、宽6cm的矩形铁皮的四个角各截去一个面积相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积的，若设盒子的高为xcm，则列出的方程为　x2﹣7x+4＝0　．
【分析】首先表示出无盖长方体盒子的底面长为（8﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，再根据盒子的底面积是原来铁皮的面积的可得方程（8﹣2x）（6﹣2x）＝8×6×．
【解答】解：设盒子的高为xcm，则无盖长方体盒子的底面长为（8﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
由题意得，（8﹣2x）（6﹣2x）＝8×6×，
整理得：x2﹣7x+4＝0，
故答案为：x2﹣7x+4＝0．
16．若反比例函数y＝（a是常数）的图象的同一支上有两点（x1，y1），（x2，y2），设b＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则一次函数y＝bx﹣b的图象不经过第　三　象限．
【分析】根据题意可以判断b的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝（a是常数）的图象的同一支上有两点（x1，y1），（x2，y2），b＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），
∴b＝（x1﹣x2）（﹣）＝﹣?（a2+1），
∵反比例函数y＝（a是常数）的图象的同一支上有两点（x1，y1），（x2，y2），
∴（x1﹣x2）2＞0，x1x2＞0，a2+1＞0，
∴b＜0
∴y＝bx﹣b不经过第三象限，
故答案为：三．
三．解答题
17解一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）（2x﹣1）2＝3（2x﹣1）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣2；
（2）x1＝，x2＝2．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）先移项，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
∴x﹣6＝0或x+2＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2；
（2）（2x﹣1）2＝3（2x﹣1）．
（2x﹣1）2﹣3（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣1﹣3）＝0，
则2x﹣1＝0或2x﹣4＝0，
解得x1＝，x2＝2．
18在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（6，4），C（0，6），将其顶点的坐标缩小为原来的，画出得到的四边形．并判断这两个四边形是位似图形吗？若是，位似比是多少？
【考点】坐标与图形性质；位似变换．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】画出得到的四边形如图所示，是位似图形，位似比为．
【分析】根据坐标与图形性质画出符合条件的四边形，根据位似图形的概念判断即可．
【解答】解：如图，四边形OA′B′C′即为所画的四边形，
∵四边形OA′B′C′与四边形OABC是相似形、对应点的连线都经过同一点O、对应边平行，
∴四边形OA′B′C′与四边形OABC是位似图形，位似比为．
19如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：AC2＝AD?AB．
（2）定义：若线段a，b，c满足条件c2＝ab，则称c是a，b的比例中项．比如（1）中的AC就是AD，AB的比例中项．请你判断图中CD是不是AD，BD的比例中项？说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）CD是AD，BD的比例中项．
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，进而证明结论；
（2）证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质、比例中项的定义证明即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD?AB．
（2）解：CD是AD，BD的比例中项，
理由如下：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ADC＝∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∴CD2＝AD?BD，即CD是AD，BD的比例中项．
20如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，sin∠ACB＝．
（1）求AC的长．
（2）求tan∠DAC?cos∠DAC的值．
【考点】角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）6；
（2）（详见解答）．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用直角三角形的边角间关系直接得结论
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
∵sin∠ACB＝＝，AB＝2，
∴＝．
∴AC＝6；
（2））在Rt△ADC中，
∵AC＝6，CD＝8，
∴AD＝10．
∵tan∠DAC＝＝＝，
cos∠DAC＝＝＝，
∴tan∠DAC?cos∠DAC＝×＝．
21为执行“均衡教育”政策，某地区2017年投入教育经费2500万元，2019年投入教育经费3025万元．
（1）求2017年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）计算一下，该地区2017年到2019年共投入教育经费多少万元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题；应用意识．
【答案】（1）这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）该地区2017年到2019年共投入教育经费8275万元．
【分析】（1）一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2018年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2018年的基础上再增长x，就是2019年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用（1）中求得的增长率来求2018年该地区将投入教育经费，然后求三年的教育经费的和．
【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意2018年为2500（1+x）万元，2019年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2＝3025，
解得x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）根据题意，得2500+2500（1+10%）+3025＝8275（万元）．
22近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　　度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计与概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．
【解答】解：（1）56÷28%＝200，
即本次一共调查了200名购买者；
（2）D方式支付的有：200×20%＝40（人），
A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示，
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）1600×＝928（名），
答：估计使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
23如图，在矩形OABC中，A（3，0），C（0，2），F是AB上的一个动点，F不与A、B重合，过点F的反比例函数y＝的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式及△EFA的面积；
（2）当△EFA的面积为时，求F点的坐标．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；三角形；推理能力．
【答案】（1）y＝，S△AEF＝；（2）F1（3，），F2（3，）．
【分析】（1）先写出点F的坐标，再求k，得到反比例函数解析式，将y＝2代入求出点E的坐标，从而求出△EFA的面积；
（2）先求点F的坐标为（3，），再求点E，表示出△EFA的面积，最后求出点F的坐标．
【解答】解：（1）∵点F是AB的中点，A（3，0），C（0，2），
∴F（3，1），AF＝1，
∴k＝3×1＝3，
∴y＝，
∴E（，2），
∴BE＝，
∴S△AEF＝×1×＝．
（2）设点F（3，），则AF＝，
∵点E的纵坐标为2，
∴E（，2），
∴BE＝3﹣，
∴S△AEF＝××（3﹣）＝，
解得：k1＝4，k2＝2，
∴F1（3，），F2（3，）．
24如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，DC?AC＝BC?AD，E为AB的中点，AC交DE于点F．
（1）求证：AC平分∠DAB
（2）求证：＝．
（3）若AD，AB的长是x2﹣11x+30＝0的两根，求的值．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；几何综合题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）．
【分析】（1）欲证明AC平分∠DAB，只要证明△DCA∽△CBA；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可知EC＝EA＝EB，推出∠DAC＝∠EAC＝∠ACE即可证明；
（3）由AD∥CE，可得＝＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DC?AC＝BC?AD，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△DCA∽△CBA，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC平分∠DAB；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，AE＝EB，
∴CE＝AE＝EB，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠ACE，
∴AD∥EC．
∴＝；
（3）解：∵AD，AB的长是x2﹣11x+30＝0的两根，
∴AD＝5，AB＝6，
∵∠ACB＝90°，AE＝EB，
∴CE＝AB＝3，AD∥CE，
∴＝＝，
∴＝．