2020-2021学年山东省烟台市福山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制） （Word版含解析）

2020-2021学年山东省烟台市福山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，满分36分）.
1．函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠5 B．x＞3且x≠5 C．x≥3 D．x≥3且x≠5
2．下列计算正确的是（　　）
A．＝±4 B．﹣＝﹣8 C．＝2 D．﹣＝
3．反比例函数y＝图象上的两个点为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2，则下列关系成立的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
4．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　）
A．20m B．30m C．40m D．60m
6．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
7．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
8．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．书中有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”其大意是：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”若设宽为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2+（x﹣6.8）2＝100 B．x（x+6.8）＝100
C．x2+（x+6.8）2＝100 D．x（x﹣6.8）2＝100
9．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
10．如图，已知在?ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是（　　）
A．FA：FB＝1：2 B．AE：BC＝1：2
C．BE：CF＝1：2 D．S△ABE：S△FBC＝1：4
11．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25 B．30 C．35 D．40
二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．若，则＝　 　．
14．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为 　 　．
15．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 　 　米．
16．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH＝　 　．
17．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则的值为 　 　．
18．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，则△ACD的面积 　 　．
三、解答题（本大题共6个题.满分66分解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程）
19．（16分）计算：
（1）++6；
（2）﹣（×（）+；
用两种不同的方法解方程：x2+4x﹣5＝0．
（3）方法一：
（4）方法二：
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
21．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
22．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1：并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．并写出点B的对应点B2的坐标．
（3）△ABC内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标．
23．如图，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求四边形OCDB的面积．
24．如图，已知平行四边形OABC中，点O为坐标原点，点A（3，0），C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式：
（2）求四边形OABC的周长．
（第二部分：能力挑战，满分30分）四、附加题（本大题共2个题。满分30分本题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程）
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3．
（1）求证：△EGC∽△GFH；
（2）求AD的长；
（3）求HF的值．
26．（16分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE?AB＝DE?AP；
（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．
参考答案
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的
1．函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠5 B．x＞3且x≠5 C．x≥3 D．x≥3且x≠5
解：根据题意得：x﹣3≥0且x﹣5≠0，
解得x≥3且x≠5．
∴自变量x的取值范围是x≥3且x≠5．
故选：D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．＝±4 B．﹣＝﹣8 C．＝2 D．﹣＝
解：A、＝4，所以A选项不符合题意；
B、原式＝﹣8，所以B选项符合题意；
C、原式＝﹣2，所以C选项不符合题意；
D、原式＝﹣a＝﹣a?＝﹣，所以D选项不符合题意．
故选：B．
3．反比例函数y＝图象上的两个点为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2，则下列关系成立的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
解：根据反比例函数y＝图象上的两个点为（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2，不能确定两点所在的象限，
即不能判断y1和y2的大小，
故选：D．
4．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
解：设投影三角尺的对应边长为xcm，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴8：x＝2：5，
解得x＝20．
故选：A．
5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　）
A．20m B．30m C．40m D．60m
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴，
解得：AB＝40，
故选：C．
6．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，
△＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，
不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，
即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，
所以方程没有实数根，
故选：B．
7．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4．
故选：C．
8．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．书中有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”其大意是：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”若设宽为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2+（x﹣6.8）2＝100 B．x（x+6.8）＝100
C．x2+（x+6.8）2＝100 D．x（x﹣6.8）2＝100
解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
故选：C．
9．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴≈0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.24米．
故选：A．
10．如图，已知在?ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是（　　）
A．FA：FB＝1：2 B．AE：BC＝1：2
C．BE：CF＝1：2 D．S△ABE：S△FBC＝1：4
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴△DEC∽△AEF，
∴＝＝，
∵E为AD的中点，
∴CD＝AF，FE＝EC，
∴FA：FB＝1：2，A说法正确，不符合题意；
∵FE＝EC，FA＝AB，
∴AE：BC＝1：2，B说法正确，不符合题意；
∵∠FBC不一定是直角，
∴BE：CF不一定等于1：2，C说法错误，符合题意；
∵AE∥BC，AE＝BC，
∴S△ABE：S△FBC＝1：4，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
11．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴，
∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故选：C．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25 B．30 C．35 D．40
解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵EF＝AD，
∴EF＝BC，
∵AD∥BC，NG⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，
∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，
又∵MN＝AB＝6，
∴GN＝2，GM＝4，
∴S△BCG＝×10×4＝20，
∴S△EFG＝×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60，
∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35．
故选：C．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．若，则＝　　．
解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，
则．
故答案为：．
14．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为 　　．
解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴，
∴DE＝，
故答案为：．
15．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 　1　米．
解：设道路的宽为x m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
16．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH＝　2　．
解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DH＝EF，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即，
解得：EF＝4，
∴DH＝EF＝×4＝2，
故答案为：2．
17．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则的值为 　　．
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，
∴EH∥AD，GH∥CD，
∵EH∥AD，
∴＝＝，
∵GH∥CD，
∴＝＝＝．
故答案为．
18．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，则△ACD的面积 　18　．
解：∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，
∴点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），
∵点D为点C关于原点O的对称点，
∴D（0，﹣6），
∴CD＝2OC＝12，
∴△ACD的面积＝×CD?xA＝×12×3＝18，
故答案为18．
三、解答题（本大题共6个题.满分66分解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程）
19．（16分）计算：
（1）++6；
（2）﹣（×（）+；
用两种不同的方法解方程：x2+4x﹣5＝0．
（3）方法一：
（4）方法二：
解：（1）原式＝3+4﹣4+2
＝3+4﹣4+2+2
＝7；
（2）原式＝3﹣﹣（5﹣1）+
＝3﹣﹣4+﹣1
＝0；
（3）方法一：
原方程变形为x2+4x＝5，
∴x2+4x+4＝5+4，
∴（x+2）2＝9，
∴x+2＝±3，
∴x1＝﹣5，x2＝1．
方法二：
因式分解，得（x+5）（x﹣1）＝0，
于是得x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
21．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝xmm，AK＝（80﹣x）mm，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
22．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1：并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．并写出点B的对应点B2的坐标．
（3）△ABC内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，其中点B的对应点B1的坐标为（3，1）．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点B的对应点B2的坐标为（2，﹣6）；
（3）M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标（﹣2a，﹣2b）．
23．如图，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求四边形OCDB的面积．
解：（1）∵点A（a，8）在直线y＝2x上，
∴a＝4，A（4，8），
∵AB⊥y轴于点B，AB＝4BD，
∴BD＝1，即D（1，8），
∵点D在y＝上，
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）由，解得或（舍弃），
∴C（2，4），
∴S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ADC＝×4×8﹣×4×3＝10．
24．如图，已知平行四边形OABC中，点O为坐标原点，点A（3，0），C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式：
（2）求四边形OABC的周长．
解：（1）依题意有：点C（1，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝xy＝2，
∵A（3，0）
∴CB＝OA＝3，
又CB∥x轴，
∴B（4，2），
设直线OB的函数表达式为y＝ax，
∴2＝4a，
∴a＝，
∴直线OB的函数表达式为y＝x；
（2）作CD⊥OA于点D，
∵C（1，2），
∴OC＝，
在平行四边形OABC中，
CB＝OA＝3，AB＝OC＝，
∴四边形OABC的周长为：3+3+＝6+2，
即四边形OABC的周长为6+2．
（第二部分：能力挑战，满分30分）四、附加题（本大题共2个题。满分30分本题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程）
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3．
（1）求证：△EGC∽△GFH；
（2）求AD的长；
（3）求HF的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，
∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，
∴∠EGC＝∠GFH，
∴△EGC∽△GFH．
（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，
∴GH：AH＝2：3，
∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，
∴AG＝AB＝GH+AH＝20，
∴GH＝8，AH＝12，
∴AD＝AH＝12．
（3）解：在Rt△ADG中，DG＝＝＝16，
由折叠的对称性质可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，
∵HG2+HF2＝FG2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴HF＝6．
26．（16分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE?AB＝DE?AP；
（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．
【解答】（1）证明：如图①中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APB＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，
∴∠AGP＝∠APG，
∴AP＝AG，
∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，
∴PA＝PF，
∴PF＝AG，
∵AE⊥BD，PF⊥BD，
∴PF∥AG，
∴四边形AGFP是平行四边形，
∵PA＝PF，
∴四边形AGFP是菱形．
（2）证明：如图②中，
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴AE?AB＝DE?AP；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝，
∵AE⊥BD，
∴S△ABD＝?BD?AE＝?AB?AD，
∴AE＝，
∴DE＝＝，
∵AE?AB＝DE?AP；
∴AP＝＝．