2020-2021学年黑龙江省绥化市绥棱县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） （Word版含解析 ）

2020-2021学年黑龙江省绥化市绥棱县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一.单项选择题（每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各图给出了变量x与y之间的函数是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算结果正确的是（　　）
A．＝ B．3﹣＝3 C．＝ D．＝5
4．矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（　　）
A．12 B．10 C．7.5 D．5
5．正方形具备而菱形不具备的性质是（　　）
A．四条边都相等
B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直平分
D．每条对角线平分一组对角
6．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝9，b＝41，c＝40 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝11，b＝12，c＝15
7．关于函数y＝﹣x﹣2的图象，有如下说法：
①图象过点（0，2）；
②图象与x轴的交点是（2，0）；
③由图象可知y随x的增大而增大；
④图象不经过第一象限；
⑤图象是与y＝﹣x+2平行的直线．
其中正确的说法有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
9．一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，海分30分）
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．函数y＝（k+1）x+（k2﹣1）是正比例函数，则k的值为　 　．
13．数据“1，2，1，3，3”，则这组数据的方差是　 　．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是　 　．
15．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+＝0，则（）2021的值是 　 　．
16．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　 　．
17．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝　 　．
18．如图，?ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，点E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为　 　cm．
19．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是　 　．
20．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+x+1过一定点A，坐标系中有点B（2，0）和点C，要使以A、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为　 　．
三、解答题（满分60分）
21．计算：
（1）
（2）．
22．当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市3000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图如图，解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽测了 　 　名学生；
（2）参加抽测的学生的视力的众数在 　 　范围内；中位数在 　 　范围内；
（3）若视力为4.9及以上为正常，试估计该市学生的视力正常的人数约为多少？
23．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
24．观察下列各式及其验证过程：
验证：＝；
验证：＝＝＝；
验证：＝；
验证：＝＝＝．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
25．甲乙两车分别从M、N两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的距离S（千米）与甲车出发时间t（小时）之间的函数图象，其中D点表示甲车到达N地，停止行驶．
（1）M、N两地的距离　 　千米；乙车速度是　 　；a＝　 　．
（2）乙出发多长时间后两车相距330千米？
26．如图，在平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝　 　°时，四边形ACED是正方形，请说明理由．
27．甲市火车货运站现有苹果1530吨，梨1150吨，安排一列货车将这批苹果和梨运送到乙市．这列货车可以挂A、B两种不同规格的货箱共50节，已知用一节A型货箱的运费是0.5万元，用一节B型货箱的运费用是.0.8万元．
（1）设运输这批苹果和梨的总运费为y（万元），用A型货箱的节数为x（节），试写出y与x的函数关系式．
（2）已知35吨苹果和15吨梨可装满一节A型货箱，25吨苹果和35吨梨可装满一节B型车厢，请问运输所有苹果和梨的方案共有几种，请设计出来．
（3）利用函数的性质说明，在第（2）问的方案中，那种方案的运费最少，最少运费用是多少？
28．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
参考答案
一.单项选择题（每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
2．下列各图给出了变量x与y之间的函数是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、B、C中对于x的值y的值不是唯一的，因而不符合函数的定义；
D、符合函数定义．
故选：D．
3．下列计算结果正确的是（　　）
A．＝ B．3﹣＝3 C．＝ D．＝5
解：A、原式不能合并，错误；
B、原式＝2，错误；
C、原式＝＝，正确；
D、原式＝，错误，
故选：C．
4．矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（　　）
A．12 B．10 C．7.5 D．5
解：如下图所示：矩形ABCD，对角线AC＝BD＝15，∠AOD＝∠BOC＝60°
∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OD＝OC＝OB＝×15＝7.5（矩形的对角线互相平分且相等）
又∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OD＝AD＝7.5，
∵∠COD＝120°＞∠AOD＝60°
∴AD＜DC
所以该矩形较短的一边长为7.5，
故选：C．
5．正方形具备而菱形不具备的性质是（　　）
A．四条边都相等
B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直平分
D．每条对角线平分一组对角
解：A、正方形和菱形均具有，故不正确；
B、菱形的四个角相等但不一定是直角，故正确；
C、正方形和菱形均具有此性质，故不正确；
D、正方形和菱形均具有此性质，故不正确；
故选：B．
6．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝9，b＝41，c＝40 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝11，b＝12，c＝15
解：A、因为92+402＝412，能构成直角三角形，此选项错误；
B、因为52+122＝132，能构成直角三角形，此选项错误；
C、因为32+42＝52，故能构成直角三角形，此选项错误．
D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．
故选：D．
7．关于函数y＝﹣x﹣2的图象，有如下说法：
①图象过点（0，2）；
②图象与x轴的交点是（2，0）；
③由图象可知y随x的增大而增大；
④图象不经过第一象限；
⑤图象是与y＝﹣x+2平行的直线．
其中正确的说法有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
解：①令x＝0，则y＝﹣2，
∴图象过（0，﹣2）点，正确；
②令y＝0，解得x＝﹣2，
∴图象与x轴交点是（﹣2，0），错误；
③∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，错误；
④∵k＜0，b＝﹣2＜0，
∴图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，正确；
⑤∵y＝﹣x+2与y＝﹣x﹣2的k值相同，
∴图象与直线y＝﹣x+2的图象平行，正确；
故选：C．
8．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B结论正确；
当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形，故C结论正确；
当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形，故D结论不正确，
故选：D．
9．一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，
一次函数y＝mx+n的图象一、二、三象限，
正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，
一次函数y＝mx+n的图象一、三、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，C选项符合；
（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，
一次函数y＝mx+n的图象二、三、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，
一次函数y＝mx+n的图象一、二、四象限，
正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，无符合项．
故选：C．
10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF；故①正确；
∵∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF，
∴∠BFM＝∠BFC，
∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，
∴∠BFE＝∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN＝180°，
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥EN，故②正确；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF＝FN，
∴BE＝BN，
假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，
则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE，
而明显BE＝BN＞BC，
∴△BEN不是等边三角形；故③错误；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；
故④正确．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，海分30分）
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥0且x≠2　．
解：根据题意得：x≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥0且x≠2．
12．函数y＝（k+1）x+（k2﹣1）是正比例函数，则k的值为　1　．
解：根据题意得：k+1≠0且k2﹣1＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
13．数据“1，2，1，3，3”，则这组数据的方差是　0.8　．
解：数据“1，2，1，3，3”平均数＝＝2，
S2＝[（1﹣2）2+（2﹣1）2+…+（3﹣2）2]＝＝0.8，
故答案为0.8．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到斜边AB的距离是　7.2　．
解：如图，设点C到斜边AB的距离是h，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝＝＝15，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?h，
∴h＝＝＝7.2．
故答案为：7.2．
15．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+＝0，则（）2021的值是 　﹣1　．
解：∵|x﹣3|+＝0，
∴x﹣3＝0，y+3＝0，
即x＝3，y＝﹣3，
∴（）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　5或　．
解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：＝；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：＝5；
综上，第三边的长为：5或．
故答案为：5或．
17．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝　5　．
解：
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ＝CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，
即NQ＝5，
∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，
故答案为：5．
18．如图，?ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，点E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为　4　cm．
解：∵?ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD＝13cm，OB＝OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝3cm，
∴AB＝5cm，AD＝8cm．
∴BC＝AD＝8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE＝BC＝4cm；
故答案为：4．
19．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是　16　．
解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB＝∠EFB′＝60°，∠B＝∠A′B′F＝90°，∠A＝∠A′＝90°，AE＝A′E＝2，AB＝A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF＝∠EFB＝∠EB′F＝60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，
∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，
∴B′E＝4，
∴A′B′＝2，即AB＝2，
∵AE＝2，DE＝6，
∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB?AD＝2×8＝16．
故答案为：16．
20．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+x+1过一定点A，坐标系中有点B（2，0）和点C，要使以A、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为　（﹣2，1），（2，﹣1）或（2，1）　．
解：不论x为何值，当x＝0时，一定有y＝1，
则A的坐标是（0，1），
当OA是对角线时，对角线的中点是（0，），则BC的中点是（0，），设C的坐标是（x，y），
的（2+x）＝0，且（0+y）＝，
解得：x＝﹣2，y＝1，
则C的坐标是（﹣2，1）；
同理，当OB是对角线时，C的坐标是（2，﹣1）；
当OC是对角线时，此时AB是对角线，C的坐标是（2，1）．
故答案是：（﹣2，1），（2，﹣1）或（2，1）．
三、解答题（满分60分）
21．计算：
（1）
（2）．
解：（1）原式＝2+﹣+
＝3﹣．
（2）原式＝3﹣1﹣3﹣1++1
＝﹣1．
22．当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市3000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图如图，解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽测了 　150　名学生；
（2）参加抽测的学生的视力的众数在 　4.26～4.55　范围内；中位数在 　4.26～4.55　范围内；
（3）若视力为4.9及以上为正常，试估计该市学生的视力正常的人数约为多少？
解：（1）由图表可得出：本次抽样调查共抽测了（30+50+40+20+10）＝150（名）学生；
故答案为：150；
（2）∵4.26～4.55范围内的数据最多，
∴参加抽测的学生的视力的众数在4.26～4.55范围内；
∵150个数据最中间是：第75和76个数据，
∴中位数是第75和76个数据的平均数，
而第75和76个数据在4.26～4.55范围内，
∴中位数在4.26～4.55范围内；
故答案为：4.26～4.55，4.26～4.55；
（3）∵视力为4.9及以上为正常，样本中有20+10＝30（人），
∴3000×＝600（人），
答：该市学生的视力正常的人数约为600人．
23．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
解：（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；
（2）所作图形如图所示：
，
点B'的坐标为：（0，﹣6）；
（3）当以AB为对角线时，点D坐标为（﹣7，3）；
当以AC为对角线时，点D坐标为（3，3）；
当以BC为对角线时，点D坐标为（﹣5，﹣3）．
24．观察下列各式及其验证过程：
验证：＝；
验证：＝＝＝；
验证：＝；
验证：＝＝＝．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
解：（1）．验证如下：
左边＝＝＝＝＝右边，
故猜想正确；
（2）．证明如下：
左边＝＝＝＝＝右边．
25．甲乙两车分别从M、N两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的距离S（千米）与甲车出发时间t（小时）之间的函数图象，其中D点表示甲车到达N地，停止行驶．
（1）M、N两地的距离　560　千米；乙车速度是　100km/h　；a＝　　．
（2）乙出发多长时间后两车相距330千米？
解：（1）t＝0时，S＝560，
所以，M、N两地的距离为560千米；
甲车的速度为：（560﹣440）÷1＝120km/h，
设乙车的速度为xkm/h，
则（120+x）×（3﹣1）＝440，
解得x＝100；
相遇后甲车到达N地的时间为：（3﹣1）×100÷120＝小时，
所以，a＝（120+100）×＝千米；
（2）设直线BC的解析式为S＝k1t+b1（k1≠0），
将B（1，440），C（3，0）代入得，
，
解得，
所以，S＝﹣220t+660，
当﹣220t+660＝330时，解得t＝1.5，
所以，t﹣1＝1.5﹣1＝0.5；
直线CD的解析式为S＝k2t+b2（k2≠0），
点D的横坐标为+3＝，
将C（3，0），D（，）代入得，
，
解得，
所以，S＝220t﹣660（3≤t≤）
当220t﹣660＝330时，解得t＝4.5，
所以，t﹣1＝4.5﹣1＝3.5，
答：乙出发0.5小时或3.5小时后两车相距330千米．
26．如图，在平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝　45　°时，四边形ACED是正方形，请说明理由．
【解答】证明：（1）∵O是CD的中点，
∴DO＝CO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠OCE，
在△ADO和△ECO中，
，
∴△AOD≌△EOC（ASA）；
（2）解：当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形，
∵∠B＝45°和∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∵△AOD≌△EOC，
∴AO＝EO，
∵DO＝CO，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴BC＝CE，
∵∠BAE＝90°，
∴AC＝CE，
∴平行四边形ACED是菱形，
∵∠B＝∠AEB，BC＝CE，
∴AC⊥BE，
∴四边形ACED是正方形．
故答案为：45．
27．甲市火车货运站现有苹果1530吨，梨1150吨，安排一列货车将这批苹果和梨运送到乙市．这列货车可以挂A、B两种不同规格的货箱共50节，已知用一节A型货箱的运费是0.5万元，用一节B型货箱的运费用是.0.8万元．
（1）设运输这批苹果和梨的总运费为y（万元），用A型货箱的节数为x（节），试写出y与x的函数关系式．
（2）已知35吨苹果和15吨梨可装满一节A型货箱，25吨苹果和35吨梨可装满一节B型车厢，请问运输所有苹果和梨的方案共有几种，请设计出来．
（3）利用函数的性质说明，在第（2）问的方案中，那种方案的运费最少，最少运费用是多少？
解：（1）由题意得：y＝0.5x+0.8（50﹣x）＝﹣0.3x+40，故所求函数关系为y＝﹣0.3x+40；
（2）根据题意可列不等式组
，
解得：28≤x≤30，
∴x＝28，29，30，
共有3种方案．
①A28 B22
②A29 B21
③A30 B20；
（3）∵y＝﹣0.3x+40，k＝﹣0.3＜0，
∴x值越大，y值越小，
因此方案③运费最少
当x＝30时，总运费最少，即y最少＝﹣0.3×30+40＝31（万元）．
28．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．