江苏省扬中市高中2021-2022学年高二上学期8月期初检测数学试题 Word版含答案

江苏省扬中市高中2021-2022第一学期初高二数学数学检测
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合，若，则的可能取值组成的集合为 （ ）
A. B. C. D.
2．已知复数为的共轭复数，则 （ ）
A. B. C. D.
3．为了评估某快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取名客户的评分，评分均在区间上，分组为，其频率分布直方图如图所示，规定评分在分以下表示对该公司的范围质量不满意，则这名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为 （ ）
A. B. C. D.
4．已知，则的大小关系为 （ ）
A. B. C. D.
5．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，且，则利用张衡的结论可得球的表面积为 （ ）
A. B. C. D.
6．已知四边形中，分别为的中点，, 若，则 （ ）
A. B. C. D.
7．在中，若，角A的平分线，则的面积为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，则不等式的解集为 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：）情况如图①，经过四个月的健身后，他们的体重（单位：）情况如图②.
对边健身前后，关于在内的肥胖者，下列结论正确的是 （ ）
A. 他们健身后，体重在内的肥胖者增加了名
B. 他们健身后，体重在内的人数没有改变
C. 因为体重在内的人数所占比例没有发生改变，所以说明健身队体重没有任何影响
D. 他们健身后，原来体重在内的肥胖者体重都有减少
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列关于的结论，正确的是 （ ）
A. 它的图象关于直线对称 B. 它的最小正周期为
C. 它的图象关于点对称 D. 它在上单调递增
11．如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，点分别是的中点，分别是上的两个动点，则 （ ）
A. 一定是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线所成的角为
D. 若的中点，则四棱锥外接球表面积为
12．若存在两个不相等的实数，使均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的是 （ ）
A. B. C. D.
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理，我们把可以构成一个直角三角形的一组正整数称为勾股数，现从这个正整数中随机抽取个数，则恰好构成勾股数的概率为 .
14．正实数满足，当取得最大时，的最大值为 .
15．已知函数（其中且的值域为R，则实数的取值范围为　 　；
16．在正方体中，点为棱上一点，且为棱的中点，平面与交于点，与交于点，则 , ,
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量.
（1）若，求的值；（2）若，求的值.
18．在中，角所对的边分别为a，b，c，．
（1）若面积为，求ab的值；（2）若，求．
19．从某高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，第组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）由频率分布直方图估计该校高三年级身高的中位数；（2）求在这名男生身高不低于的人中任意抽取人，则恰有人身高在内的概率.
20．已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中为关税的税率，且为市场价格，为正常数）且当时市场供应量曲线如图.（1）根据图象，求的值；（2）若市场需求量为，它近似满足，当时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于元，求税率的最小值.

21．如图①，在直角梯形中，已知，点是边的中点，将沿折起，使平面，连接，得到如图②所示的几何体.
（1）求证：；（2）若与其所在平面内的正投影所成角的正切值为，求点到平面的距离.
22．对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点，已知函数.（1）当时，求的不动点；（2）若函数有两个不动点，且.①求实数的取值范围；②设函数，求证：在上至少有两个不动点.
江苏省扬中市高中2021-2022第一学期初高二数学数学检测 答案版
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合，若，则的可能取值组成的集合为 （ D ）
A. B. C. D.
2．已知复数为的共轭复数，则 （ D ）
A. B. C. D.
3．为了评估某快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取名客户的评分，评分均在区间上，分组为，其频率分布直方图如图所示，规定评分在分以下表示对该公司的范围质量不满意，则这名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为 （ A ）
A. B. C. D.
4．已知，则的大小关系为 （ D ）
A. B. C. D.
5．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，且，则利用张衡的结论可得球的表面积为 （ B ）
A. B. C. D.
6．已知四边形中，分别为的中点，, 若，则 （ A ）
A. B. C. D.
7．在中，若，角A的平分线，则的面积为 （ C ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，则不等式的解集为 （ C ）
A. B. C. D.
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：）情况如图①，经过四个月的健身后，他们的体重（单位：）情况如图②.
对边健身前后，关于在内的肥胖者，下列结论正确的是 （ ABD ）
A. 他们健身后，体重在内的肥胖者增加了名
B. 他们健身后，体重在内的人数没有改变
C. 因为体重在内的人数所占比例没有发生改变，所以说明健身队体重没有任何影响
D. 他们健身后，原来体重在内的肥胖者体重都有减少
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列关于的结论，正确的是 （ BC ）
A. 它的图象关于直线对称 B. 它的最小正周期为
C. 它的图象关于点对称 D. 它在上单调递增
11．如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，点分别是的中点，分别是上的两个动点，则 （ BCD ）
A. 一定是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线所成的角为
D. 若的中点，则四棱锥外接球表面积为
12．若存在两个不相等的实数，使均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的是 （ BD ）
A. B. C. D.
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理，我们把可以构成一个直角三角形的一组正整数称为勾股数，现从这个正整数中随机抽取个数，则恰好构成勾股数的概率为 .
14．正实数满足，当取得最大时，的最大值为 .
15．已知函数（其中且的值域为R，则实数的取值范围为　 　；
16．在正方体中，点为棱上一点，且为棱的中点，平面与交于点，与交于点，则 , ,
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量.
（1）若，求的值；（2）若，求的值.
17．解：（1），
；
（2），
，
，
.
18．在中，角所对的边分别为a，b，c，．
（1）若面积为，求ab的值；（2）若，求．
18．解：（1）因为 ，
在中，由正弦定理，
得，化简得，
在中，由余弦定理得，，
因为，所以，
又面积为 ，可得，所以.
（2）因为,
在中，由正弦定理,所以
因为，所以
由（1）得，所以，
化简得，所以.
因为，所以，
所以，
所以.
19．从某高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，第组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）由频率分布直方图估计该校高三年级身高的中位数；（2）求在这名男生身高不低于的人中任意抽取人，则恰有人身高在内的概率.
19．解：（1）由频率分布直方图得频率为：
，
的频率为：，
中位数为：，
（2）在这名男生身高不低于的人中任意
抽取人，
中的学生人数为人，
中的学生人数为人，
所以在这名男生身高不低于的人中任意抽取人，
基本事件总数，
恰有一人身高在内包含的基本事件个数，
所以恰有一人身高在内的概率.
20．已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中为关税的税率，且为市场价格，为正常数）且当时市场供应量曲线如图.（1）根据图象，求的值；（2）若市场需求量为，它近似满足，当时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于元，求税率的最小值.
20．解：（1）由图可知，时有
，
（2）当时，得解得：
，
令，
则，对称轴，且开口向下；
时，取得最小值，此时，
所以税率的最小值为.
21．如图①，在直角梯形中，已知，点是边的中点，将沿折起，使平面，连接，得到如图②所示的几何体.
（1）求证：；（2）若与其所在平面内的正投影所成角的正切值为，求点到平面的距离.
21．解：（1），
平面，
又，
，
又折叠前后均有，
（2）由（1）知平面内的正投影为，
即为与其在平面内的正投影所成角,
依题意，
设，则，
，
即
由于，
由平面几何知识得，
，
，
设点到平面的距离为，
则，
，即点到平面的距离为
22．对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点，已知函数.（1）当时，求的不动点；（2）若函数有两个不动点，且.①求实数的取值范围；②设函数，求证：在上至少有两个不动点.
22．解：（1）当时，，
方程；
（2）①因为函数有两个不动点，
所以方程的两个实数根为，
记，则的零点为，
，
即实数的取值范围为；
②，
方程，
即，
所以有两个不相等的实数根.
设的两个实数根为，
因为函数图象的对称轴为，
所以，
记，
是方程的实数根，
所以的一个不动点，
，
因为，
，
且的图象在上的图象是不间断曲线，
所以使得，
又因为在是单调递增，所以，
所以的一个不动点，综上所述，在上至少有两个不动点.
10