江苏省扬中市高中2022届高三上学期8月期初检测数学试题 Word版含答案

江苏省扬中市高中2021-2022第一学期初高三数学数学检测
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．已知复数，设复数，则的虚部是 （ ）
A． B． C． D．
2．若为锐角，，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象如图所示，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．设等差数列的前项和为，首项，公差，则最大时，的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知函数关于对称，且周期为，当时，，则 （ ）
A． B． C． D．
7．棱长为的正方体中，点分别为棱的中点，则过三点的平面截正方体所得截面面积为 （ ）
A． B． C． D．
8．设分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．设，随机变量的分布列是：
则当在内增大时，下列说法正确的是 （ ）
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
10．已知函数图象的一条对称轴为，且在内单调递减，则以下说法正确的是 （ ）
A．是其中一个对称中心 B．
C．在上单调递增 D．
11．甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的胜负是相互独立的，则下列说法正确的是 （ ）
A．甲队以获胜的概率为 B．甲队以获胜的概率为
C．乙队获胜的概率为 D．乙队获胜的概率为
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则下列说法正确的是 （ ）
A．椭圆的短轴长为 B．当最大时，
C．离心率为 D．的最小值为
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．若存在实数，使得关于的不等式成立，则的取值范围是 .
14．设口袋中有黑球、白球共个，从中任取个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 .
15．某电子商务公司对名网络购物者年
度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）
都在区间内，其频率分布直方图如图所示，
则直方图中的 ；在这些购物者中，消费
金额在区间内的购物者的人数为 .
16．已知正实数满足，则的最小值为 ，的最大值为 .
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设的定义域为，且为奇函数，当时，（1）求当时，的解析式；（2）解不等式：.
18．已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若.
（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.
19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，四边形PACQ为矩形，PA=1，且平面PACQ⊥平面ABCD.（1）求BP与平面ACQP所成角的余弦值；（2）求二面角B-PQ-D的大小；（3）求点C到平面BPQ的距离.
20．已知椭圆的左、右焦点分别是，点为椭圆短轴的端点，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.
21．在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节，预赛有人参赛，先从预赛学生中随机抽取人的成绩得到如图所示的频率分布直方图.
（1）若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机抽取人，求至少人成绩不低于分的概率；（2）有频率分布直方图可以认为，该市全体成绩预赛的学生成绩服从正态分布，其中可以近似为名学生的预赛平均成绩，，试估计全市参加预赛的学生中参加不低于分的人数.
（3）预赛成绩不低于分的学生可以成绩复赛，复赛规则如下：①每人复赛初始分均为分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第题时扣掉分；③每答对一题加分，答错既不加分也不扣分；④答完题后参赛学生的最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，对他的答题数量应为多少？
(参考数据：，若，则
.
22．已知函数为自然对数的底数）.
（1）若，请判断函数的单调性；（2）若，当时，都有成立，求实数的取值范围.
江苏省扬中市高中2021-2022第一学期初高三数学数学检测 答案
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．已知复数，设复数，则的虚部是 （ A ）
A． B． C． D．
2．若为锐角，，则 （ B ）
A． B． C． D．
3．在中，，则 （ C ）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象如图所示，则 （ D ）
A． B．
C． D．
5．设等差数列的前项和为，首项，公差，则最大时，的值为 （ B ）
A． B． C． D．
6．已知函数关于对称，且周期为，当时，，则 （ B ）
A． B． C． D．
7．棱长为的正方体中，点分别为棱的中点，则过三点的平面截正方体所得截面面积为 （ C ）
A． B． C． D．
8．设分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为 （ D ）
A． B． C． D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．设，随机变量的分布列是：
则当在内增大时，下列说法正确的是 （ ABD ）
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
10．已知函数图象的一条对称轴为，且在内单调递减，则以下说法正确的是 （ AD ）
A．是其中一个对称中心 B．
C．在上单调递增 D．
11．甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的胜负是相互独立的，则下列说法正确的是 （ AC ）
A．甲队以获胜的概率为 B．甲队以获胜的概率为
C．乙队获胜的概率为 D．乙队获胜的概率为
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则下列说法正确的是 （ ABCD ）
A．椭圆的短轴长为 B．当最大时，
C．离心率为 D．的最小值为
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．若存在实数，使得关于的不等式成立，则的取值范围是 .
14．设口袋中有黑球、白球共个，从中任取个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 .
15．某电子商务公司对名网络购物者年
度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）
都在区间内，其频率分布直方图如图所示，
则直方图中的 ；在这些购物者中，消费
金额在区间内的购物者的人数为 .
16．已知正实数满足，则的最小值为 ，的最大值为 .
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设的定义域为，且为奇函数，当时，（1）求当时，的解析式；（2）解不等式：.
17．解：（1）时，，
当时，，
即；
（2）不等式可化为：
①，
②，
综上所述：所求不等式的解集为
18．已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若.
（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.
18．解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则由，
；
（2）由，
则，
即，
，
，
19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，四边形PACQ为矩形，PA=1，且平面PACQ⊥平面ABCD.（1）求BP与平面ACQP所成角的余弦值；（2）求二面角B-PQ-D的大小；（3）求点C到平面BPQ的距离.
19．解：（1）由题意，建立如图所示空间直角坐标系：
则：，
所以 ，
平面ACQP的一个法向量是，
设BP与平面ACQP所成的角为，
所以，所以.
（2）因为，
所以，
设平面BPQ的一个法向量为，
则，即，
令，则，所以，设平面DPQ的一个法向量为，
则，即，令，则，所以，
所以，因为，所以.
（3）因为，所以，因为平面BPQ的一个法向量为，
所以点C到平面BPQ的距离.
20．已知椭圆的左、右焦点分别是，点为椭圆短轴的端点，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.
20．解：（1）由已知得，又，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：已知点，当直线斜率不存在时显然不满足题意，
所以直线斜率存在，设直线：，
由于直线，关于直线对称，则直线：，
设，
联立，
（方程有一解是），同理，
则，
所以直线的斜率为定值.
21．在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节，预赛有人参赛，先从预赛学生中随机抽取人的成绩得到如图所示的频率分布直方图.
（1）若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机抽取人，求至少人成绩不低于分的概率；（2）有频率分布直方图可以认为，该市全体成绩预赛的学生成绩服从正态分布，其中可以近似为名学生的预赛平均成绩，，试估计全市参加预赛的学生中参加不低于分的人数.
（3）预赛成绩不低于分的学生可以成绩复赛，复赛规则如下：①每人复赛初始分均为分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第题时扣掉分；③每答对一题加分，答错既不加分也不扣分；④答完题后参赛学生的最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，对他的答题数量应为多少？
(参考数据：，若，则
.
21．解：（1）由题意得样本中成绩不低于分的学生有
人，
其中成绩优良人数为
人，
则至少人成绩不低于分的概率为
；
（2）由题意可知平均值，
所以，
所以,
所以估计全市参加预赛学生中成绩不低于分的人数为人；
（3）设为甲答对题数，则，所以，
记甲答完题所加分数为，则，所以，
依题意为获取得题的资格，甲要花掉分数为，
记甲答完题分数为，则，
由于，所以当时，取得最大值为，
即成绩的最大值为时，答题量为
22．已知函数为自然对数的底数）.
（1）若，请判断函数的单调性；（2）若，当时，都有成立，求实数的取值范围.
22．解：（1）易知，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以单调递增；
（2）不妨设，则，等价于，
记，等价于在单调递增，
即，在上恒成立，
设，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
所以.
10