八年级数学下册试题 一课一练 1.2《直角三角形》习题-北师大版（word版含答案）

1.2《直角三角形》习题
一、选择题
1．如图，在中，，，AD是的中线，AE是的角平分线，交AE的延长线于点F，则DF的长是
A．2
B．4
C．5
D．
2．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为(　　)
A．2
B．2.5
C．3
D．4
3．如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为(
)
A．10米
B．15米
C．25米
D．30米
4.某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.
某同学用直线(虛线)表示小河，两点表示村庄，线段(实线)表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是(
).
A．
B．
C．
D．
5.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是
A．(0，0)
B．(0，1)
C．(0，2)
D．(0，3)
6.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(
)
A．2，
3，
4
B．4，6，7
C．3，4，
5
D．6，8，11
7.下列条件中，使不是直角三角形的是(
)
A．，，
B．
C．
D．
8.下列各组数中，以，，为边的三角形不是直角三角形的是(
)
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
9.以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是(
)
A．2，4，6
B．4，6，8
C．5，12，13
D．8，10，12
10.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠B＝∠C+∠A
B．a2＝(b+c)(b﹣c)
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．a：b：c＝3：4：5
11.下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是(　　)
A．4、5、6
B．5、12、13
C．3、4、5
D．1、、
12.由下列条件不能判定为直角三角形的是(
)
A．
B．
C．
D．，，
13.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是(
)
A．如果∠C－∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2－a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
二、填空题
1.如图，边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动点，连结CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连结DF．则在点E运动过程中，线段DF长度的最小值是__________．
2.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则在①3.6②4，③5.5，④7，这四个数中AP长不可能是_____
(填序号)
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为20，则平移距离为___________．
4.如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_______.
5.如图，将一幅三角尺如图所示叠放在一起，若AB=24cm，则阴影部分的面积是_
_．
三、解答题
1．如图，，，，，．求该图形的面积．
2．如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段AB的垂直平分线，已知线段DE=3．
(1)求CD的长；
(2)连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB
上一点，BD＝9，CD＝12
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC的长．
4．如图，在中，，点D是BC的中点，连接AD，，BE分别交AC，AD于点E、，若，求AF的长度．
5．如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC．
(1)求AC的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
6．如图，在四边形ABDC中，，，，，．
(1)连接BC，求BC的长；
(2)求的面积．
7．如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．
(1)在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB(点A与点不重合)(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求四边形ABCD的面积．
8．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
(1)求证：∠A＝90°；
(2)若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
9．在图中，A(1，3)，B(﹣2，0)和C(2，﹣4)是一个直角三角形的顶点．
(1)求AB和BC的长度，答案以根式表示；
(2)求△ABC的面积．
10.如图，已知在中，，为边的中点，过点作，，垂足分别为，.
(1)求证：；
(2)若，，求的周长.
11.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，求OM的长．
答案
一、选择题
1．C.2．A.3．B．4.C.5.D．6.C．7.C．8.B．
9.C．10.C.11.A．12.B.13.D.
二、填空题
1.3
2.④
3.4
4.3．
5.72cm2．
三、解答题
1．解：连接．
∵在中，，，
∴．
在中，
∵，
∴为直角三角形．
∴该图形的面积为．
2．解：(1)∵DE是线段AB的垂直平分线，AB=8
∴AE=EB=4，∠AED=90°；
在直角△ADE中，AE=4，DE=3，
∴；
∵AC=18，
∴DC=AC-AD=13；
(2)△BCD是直角三角形．
理由如下：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DB=AD=5；
在△BCD中，BD=5，BC=12，CD=13.
∵
∴
∴△BCD是直角三角形
3．证明：(1)
(2)
设
则
4．解：，
，
，
，
中，，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
．
5．(1)，
是直角三角形，
，
；
(2)，
，
是直角三角形，
则四边形ABCD的面积为，
，
，
即四边形ABCD的面积为84．
6．(1)∵在中，，，，
∴；
(2)∵，，，
∴，
即，
∴是直角三角形，且，
∴的面积为．
7．
解：(1)如图1所示，△A′BD即为所求；
(2)由(1)中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，如图2，
∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在△A′CD中，A′D=24，CD=7，
∴A′D2+CD2=576+49=625，
∵A′C2=625，
∴A′D2+CD2=A′C2．
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴S四边形A′BCD＝S△A′BC+S△A′CD
∵S△A'BD=S△ABD，
∴S四边形ABCD=S四边形A'BCD=234．
8．
(1)证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
(2)解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴CD＝BD＝5，
∴在中，．
9．(1)AB=，
BC=；
(2)∵
AC=，
且AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，
则△ABC的面积为．
10.(1)证明:
∵DE⊥AB,DF⊥A，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵D是BC的中点，
∴.BD=CD，
在△BED和△CFD中,
,
∴△BED≌△CFD，
∴DE=DF
；?
???
(2)解：∵AB=AC,
∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，
.∴∠B=60°，
∵∠BED=90°，
∴∠BDE=30°，
∴，
∵BE=1，
∴BD=2，
∴BC=2BD=4.
?∴△ABC的周长为12.
11.解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，∠AOB=60?，OP＝12，∴OD＝OP=6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝1，
∴OM＝OD－MD＝6－1＝5．