北师大版八年级数学下册一课一练试题 1.1《等腰三角形》习题（Word版 含答案）

1.1《等腰三角形》习题
一、选择题
1．如图，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A的度数是
(
)
A．50°
B．36°
C．40°
D．45°
2．如图，在△ABC
中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC
关于直线
EF对称，∠CAF=10°，连接
BB′，则∠ABB′的度数是(
)
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
3．如图，中，是的角平分线，的垂直平分线分别交于点，则下列结论不一定成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于(
)
A．30°
B．40°
C．45°
D．36°
5．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是(　　)
A．()n?75°
B．()n﹣1?65°
C．()n﹣1?75°
D．()n?85°
6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是(　　)
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
7．如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数(
)
A．
B．
C．
D．
8．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是(　　)
A．63°
B．65°
C．75°
D．84°
9．如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝
(
)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
10.如图，已知C是线段AB上的任意一点(端点除外)，分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD
；
②CN=CM；
③MN∥AB；
④∠CDB=∠NBE．
其中正确结论的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四个结论：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD
是等边三角形．其中正确的是(
)
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
二、填空题
1.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是__________(填序号)
2.如图，和都是等边三角形，∠EBD=78°，则∠AEB=_____度．
3.如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝_____．
4.如图，中，，，，，平分，与相交于点，则的长等于_____.
三、解答题
1.如图，点O为线段AB上的任意一点(不于A、B重合)，分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA=OC，OB=OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC=∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．
(1)试说明：CB=AD；
(2)若∠COD=70°，求∠APB的度数．
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延长BC至D，使BD＝BA，连接AD．点E在AC上，且CE＝CD，连接BE并延长BE交AD于点F．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)求证：BF是AD的垂直平分线；
(3)连接DE，若AB＝10，求△DCE的周长．
3．如图所示，在四边形中，，，，平分交边于点，求的长．
4．如图，已知等腰△ABC顶角∠A=36°．
(1)尺规作图：在AC上作一点D，使AD=BD；(保留作图痕迹，不必写作法和证明)
(2)求证：△BCD是等腰三角形．
5．如图，在和中，，，AC与BD相交于点O.
(1)求证：；
(2)是何种三角形？
6．已知∠MAN=30°，点B在射线AM上，且
AB=6，点C在射线AN上．
(1)若△ABC是直角三角形，求AC的长；
(2)若△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有
个；
(3)设BC=x，当△ABC唯一确定时，
直接写出的取值范围．
7.如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
(1)求证：BE=AD；
(2)求∠BFD的度数．
8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
(1)若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；
(2)若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形．
答案
一、选择题
1．A．2．C．3．D.4．D.5．C．6．B．7．D.
8．D．9．B.10.A．11.A．
二、填空题
1.①②④⑤
2.138
3.120°
4.3
三、解答题
1.
(1)∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOD=∠COB，
又∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOD≌△COB(SAS)，
∴CB=AD；
(2)∵∠COD=70°，
∴∠AOC=∠BOD==55°，
∴∠AOD=∠COD+∠BOD=125°=∠COB，
∵△AOD≌△COB，
∴∠DAO=∠BCO，
∴∠DAO+∠CBO=∠BCO+∠CBO，
∴180°-∠APB=180°-∠COB，
∴∠APB=∠COB=125°．
2.(1)证明：
∵∠ACB＝90°，CD是BC延长线，
∴∠ACD=∠ACB=90°．
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)由(1)知△ACD≌△BCE则∠CAD=∠CBE，
又∵∠AEF=∠BEC，
∴在△AEF与△BEC中∠AFE=∠BCE＝90°，
∴BF⊥AD，
又∵BD＝BA，
∴BF是AD的垂直平分线．
(3)∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA=ED，
又∵BC=AC，AB=BD=10，
∴△DEC的周长=ED+EC+CD=AC+CD=BC+CD=AB=10．
3．解：，
∵∠DAE=∠BEA
平分，
．
，
．
．
4．(1)如图1，作AB的垂直平分线，分别以点A、B为圆心，以大于为半径在AB上方画弧，在AB上方两圆弧交点为点M，分别以点A、B为圆心以大于为半径在AB下方画弧，在AB下方两圆弧交点为点N．过点M、N作直线MN，交AC于点D，点D即为所求．
(2)∵在等腰△ABC顶角∠A=36°
∴
∵AD=BD
∴∠ABD=∠A=36°
则∠DBC=36°
在△BCD中∠ACB=72°
∠DBC=36°
∠BDC=72°=∠ACB
∴△BCD是等腰三角形
5．(1)∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)；
(2)△OBC是等腰三角形，
理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形.
6．(1)当∠ABC=90°时，如图所示，
∵∠A=30°
∴BC=
∴设BC=x，则AC=2x
在Rt△ABC中，由勾股定理得
解得x=
∴AC=
当∠ACB=90°时，如图所示，
∵∠A=30°
∴BC=
∴AC=
(2)当AB为腰时，等腰三角形有两个，如图，
当AB为底时，等腰三角形有1个，如图
∴△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有3个
(3)根据三角形三边关系可知，△ABC唯一确定时，由(1)、(2)得，BC=3或BC≥6.
7.解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴BE=AD；
(2)∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
8.(1)∵∠BAC=60°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°﹣60°﹣70°=50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠ABC=25°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=90°，
∴∠AFB=∠FBD+∠BDF=115°．
(2)证明：∵∠ABE=30°，BE平分∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∵BD=DC，AD⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．