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北师版九年级上册数学2.4
用因式分解法求解一元二次方程教学设计
课题
2.4
用因式分解法求解一元二次方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤;2.会用因式分解法解一元二次方程;
3.通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.
重点
会用因式分解法解一元二次方程.
难点
理解并应用因式分解法解一元二次方程.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：一元二次方程的求根公式是什么？2.一元二次方程的根的判别式是什么？b2-4ac3.b2-4ac的值与一元二次方程的根的关系：b2-4ac>0
有两个不相等的实数根b2-4ac=0
有两个相等的实数根b2-4ac<0
没有实数根想一想：若A×B=0，下面两个结论正确吗？（1）A和B都为0，即A=0，且B=0.（2）A和B至少有一个为0，即A=0或B=0.【思考】一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
学生思考回答问题。教师带领学生总结。
以问题串的形式引导学生思考,回忆用公式法解一元二次方程的方法,有利于学生衔接前后知识,形成清晰的知识脉络,为学生后面的学习作好铺垫。
讲授新课
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.小颖是这样计算的：由方程x2＝3x，得
x2－3x＝0.因此x＝，x1＝0，x2＝3.所以这个数是0或3.小颖的这个解法正确吗？小明是这样计算的：方程x2＝3x两边同时约去x，得x＝3.所以这个数是3.这个解法正确吗？教师解答：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误.小亮是这样计算的：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，即x(x－3)＝0.于是x＝0，或x－3＝0.因此x1＝0，x2＝3.所以这个数是0或3.这个解法正确吗？教师解答：小亮解法的依据：若AB=
0，则A=
0或B=
0.【思考】小亮是用什么方法解一元二次方程的？因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式.像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.适用范围：当一元二次方程为一般形式，方程一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可以用这种方法求解.想一想：怎样利用因式分解法解一元二次方程？移项，使方程的右边为0↓分解因式
↓方程化为两个一元一次方程↓写出方程两个解因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）整理方程，使其右边为0；（2）将方程左边分解因式，分解为两个一次式的乘积；（3）令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例】解下列方程：（1）5x2＝4x；
解：原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
（2）x(x－2)＝x－2.解：原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.解方程（1）x2-4=0
解：原方程可变形为
（x+2）（x-2）＝0，
x+2＝0，或x－2＝0,
∴x1＝-2，x2＝2
.（2）（x+1）2-25=0解：原方程可变形为
（x+1+5）（x+1-5）＝0，
（x+6）（x-4）＝0
x+6＝0，或x－4＝0,∴x1＝-6，x2＝4
.上面两个解方程利用什么方法分解因式？因式分解的主要方法:(1)提取公因式法(2)公式法:
a2－b2=(a+b)
(a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
小组内交流,选代表回答,及时让学生补充不同的思路,关注每一个学生的参与情况。学生思考回答问题。通过教师引导掌握因式分解法解一元二次方程的定义。学生思考利用因式分解法解一元二次方程的过程。学生完成课本例题，通过自主完成解题过程和教材对照，巩固解题步骤。学生利用公式法进行解题，了解解题的多样化。
通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法,在操作活动过程中,培养学生积极的情感、态度,提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.例题讲解中,第(1)题学生独自完成,考察了学生对引例的掌握情况,便于及时反馈。第(2)题体现了师生互动共同合作,进一步规范解题步骤,最后提出两个问题。问题进一步巩固因式分解法定义及解题步骤,而问题②体现了解题的多样化。
课堂练习
1.我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( A )A．转化思想
B．函数思想C．数形结合思想
D．公理化思想2.用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A )A．(2x－3)(3x－4)＝0
化为2x－3＝0或3x－4＝0B．(x＋3)(x－1)＝1
化为x＋3＝1或x－1＝1C．(x－2)(x－3)＝2×3
化为x－2＝2或x－3＝3D．x(x＋2)＝0
化为x＋2＝03.解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )A．直接开平方法
B．配方法C．公式法
D．因式分解法4.解下列方程：(1)x2－2x－3＝0；解：因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0.∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1.(2)(x＋2)2－8(x＋2)＋16＝0.解：将x＋2看作一个整体，因式分解，得[(x＋2)－4]2＝0，即(x－2)2＝0.解得x1＝x2＝2.5.由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋__2__)(x＋__4__)；(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.解：∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0，则x＋1＝0或x－4＝0，∴x1＝－1，x2＝4.(3)拓展：用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为0，±6，±15．6.【2020·黔东南州】若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为( B )A．16
B．24C．16或24
D．487.【2020·张家界】已知等腰三角形的两边的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( A )A．2
B．4
C．8
D．2或4
学生做练习，小组讨论答案。
该练习让学生对本节知识进行巩固,使学生更好地理解所学知识并灵活运用。同时学生通过独立思考及小组交流,寻找解决问题的方法,获得数学活动的经验,调动了学生学习的积极性,使学生在学习中获得快乐,在学习中感受数学的应用价值。
课堂小结
本节课你学到了什么？利用因式分解法解一元二次方程，能否分解因式是关键.
因此，要熟练掌握分解因式的知识，通过提高分解因式的能力，来提高用因式分解法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，若没有再考虑公式法.
学生在教师的引导下总结归纳。
鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。尽量让学生畅所欲言,在民主的氛围中培养学生归纳概括能力和语言表达能力。
板书
课题：2.4
用因式分解法求解一元二次方程一、因式分解法解方程的定义二、因式分解法解方程的步骤
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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2.4
用因式分解法求解一元二次方程
北师版
九年级上
新知导入
1.一元二次方程的求根公式：
2.一元二次方程的根的判别式：
b2-4ac
3.b2-4ac的值与一元二次方程的根的关系：
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
b2-4ac＜0
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
新知导入
想一想：若A×B=0，下面两个结论正确吗？
（1）A和B都为0，即A=0，且B=0.
（2）A和B至少有一个为0，即A=0或B=0.
×
√
【思考】一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
合作探究
【思考】一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.
由方程x2＝3x，得
x2－3x＝0.
因此x＝
，
x1＝0，x2＝3.
所以这个数是0或3.
这个解法正确吗？
合作探究
【思考】一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.
方程x2＝3x两边
同时约去x，得
x＝3.
所以这个数是3.
这个解法正确吗？
两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误.
合作探究
【思考】一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.
由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，
即x(x－3)＝0.
于是x＝0，或x－3＝0.
因此x1＝0，x2＝3.
所以这个数是0或3.
这个解法正确吗？
小亮解法的依据：
若AB=
0，则A=
0或B=
0.
新知讲解
【思考】小亮是用什么方法解一元二次方程的？
因式分解
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
把一个多项式化成几个整式的积的形式.
适用范围：
当一元二次方程为一般形式，方程一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可以用这种方法求解.
新知讲解
想一想：怎样利用因式分解法解一元二次方程？
由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，
即x(x－3)＝0.
于是x＝0，或x－3＝0.
因此x1＝0，x2＝3.
所以这个数是0或3.
移项，使方程的右边为0
分解因式
方程化为两个一元一次方程
写出方程两个解
新知讲解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）整理方程，使其右边为0；
（2）将方程左边分解因式，分解为两个一次式的乘积；
（3）令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
新知讲解
【例】解下列方程：
（1）5x2＝4x；
（2）x(x－2)＝x－2.
解：原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
解：原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
新知讲解
解方程
（1）x2-4=0
（2）（x+1）2-25=0
解：原方程可变形为
（x+2）（x-2）＝0，
x+2＝0，或x－2＝0,
∴x1＝-2，x2＝2
.
这一步利用什么方法分解因式？
解：原方程可变形为
（x+1+5）（x+1-5）＝0，
（x+6）（x-4）＝0
x+6＝0，或x－4＝0,
∴x1＝-6，x2＝4
.
新知讲解
(1)提取公因式法
(2)公式法:
a2－b2=(a+b)
(a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
因式分解的主要方法:
课堂练习
1.我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
A
课堂练习
2.用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
A．(2x－3)(3x－4)＝0
化为2x－3＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1
化为x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3
化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0
化为x＋2＝0
A
课堂练习
3.解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )
A．直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
D
课堂练习
4.解下列方程：
(1)x2－2x－3＝0；
解：因式分解，
得(x－3)(x＋1)＝0.
∴x－3＝0或x＋1＝0，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)(x＋2)2－8(x＋2)＋16＝0.
解：将x＋2看作一个整体，
因式分解，得
[(x＋2)－4]2＝0，
即(x－2)2＝0.
解得x1＝x2＝2.
拓展提高
5.由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；
2
4
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
拓展提高
解：∵x2－3x－4＝0，
∴(x＋1)(x－4)＝0，
则x＋1＝0或x－4＝0，
∴x1＝－1，x2＝4.
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
(3)拓展：用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为________________．
0，±6，±15
中考链接
6.【2020·黔东南州】若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为( )
A．16
B．24
C．16或24
D．48
B
中考链接
7.【2020·张家界】已知等腰三角形的两边的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( )
A．2
B．4
C．8
D．2或4
A
课堂总结
利用因式分解法解一元二次方程，能否分解因式是关键.
因此，要熟练掌握分解因式的知识，通过提高分解因式的能力，来提高用因式分解法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，若没有再考虑公式法.
本节课你学到了什么？
板书设计
课题：2.4
用因式分解法求解一元二次方程
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教师板演区
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学生展示区
一、因式分解法解方程的定义
二、因式分解法解方程的步骤
作业布置
课本
P47
练习题
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